tag:blogger.com,1999:blog-6611739970438620014.post2081994688896644893..comments2024-03-06T21:55:35.650+01:00Comments on weblog de philippe roux: Valeur principale de 1/xphilippe rouxhttp://www.blogger.com/profile/01271040699850652913noreply@blogger.comBlogger14125tag:blogger.com,1999:blog-6611739970438620014.post-31108928005326582452022-07-12T14:13:13.217+02:002022-07-12T14:13:13.217+02:00Merci, très intéressant!Merci, très intéressant!Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6611739970438620014.post-63054864993650481252016-01-27T21:33:14.015+01:002016-01-27T21:33:14.015+01:00ça mériterai effectivement un article car définir ...ça mériterai effectivement un article car définir proprement $T=Pf(1/x^+)$ n'est pas si simple, les définitions suivantes ne marchent pas :<br />$$\langle T,\phi \rangle=\lim_{\varepsilon\to0}\int_\varepsilon^\infty {\phi(x)\over x} dx~~<br />ou~~\int_0^\infty {\phi(x)-\phi(0)\over x} dx~~... $$<br />Si c'est bien définit on doit trouver que $Pf(1/x)=Pf(1/x^-)+Pf(1/x^+)$ .philippe rouxhttps://www.blogger.com/profile/01271040699850652913noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6611739970438620014.post-38224811224950279392016-01-27T19:38:13.435+01:002016-01-27T19:38:13.435+01:00SVP quel est le lien entre la valeur principale $V...SVP quel est le lien entre la valeur principale $Vp(1/x)$ les parties finies $Pf(1/x^+)$ , $Pf(1/x^-)$avec $x^+=max(x,0)$ et $x^-=max(-x,0)$Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6611739970438620014.post-78441434542281718642014-06-27T01:17:25.182+02:002014-06-27T01:17:25.182+02:00MERCI BIEN MERCI BIEN Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/16699659742070444547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6611739970438620014.post-5147174817973227162014-05-17T23:32:44.021+02:002014-05-17T23:32:44.021+02:00Attention :seule la masse de Dirac en a=0 est pai...Attention :seule la masse de Dirac en a=0 est paire! Reprend la démonstration précédente :<br />$$\langle \check{\delta},\phi\rangle=\langle \delta,\check{\phi}\rangle=\dots $$<br />c'est beaucoup plus facile qu'avec ${\rm VP}{1\over x}$, si tu n'y arrives pas c'est que tu n'as pas compris la réponse d'avant.philippe rouxhttps://www.blogger.com/profile/01271040699850652913noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6611739970438620014.post-34138586914153594662014-05-16T20:02:36.623+02:002014-05-16T20:02:36.623+02:00comment montrer la parité de la masse de dirac au ...comment montrer la parité de la masse de dirac au point a Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/16699659742070444547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6611739970438620014.post-51090852346609273662014-05-10T11:40:26.215+02:002014-05-10T11:40:26.215+02:00merci bien
merci bien <br />Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/16699659742070444547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6611739970438620014.post-69276110037016895092014-05-09T22:23:51.820+02:002014-05-09T22:23:51.820+02:00Comme à chaque fois il faut repartir de la définit...Comme à chaque fois il faut repartir de la définition de la propriété en terme d'action sur une fonction test, et calculer explicitement l'action de la distribution (avec les "crochets" $\langle.,.\rangle$). Ici, pour une fonction test $\phi$, être une fonction paire c'est vérifier que <br />$$\check{\phi}(x)=\phi(-x)=\phi(x)~~~\forall x$$<br /> et $\check{\phi}(x)=\phi(-x)=-\phi(x)$ pour une fonction impaire. On peut donc prendre pour définition de distribution impaire l'égalité $\check{u}=-u$ (et $\check{u}=u$ dans le cas pair), en prenant pour définition de $\check{u}$ :<br />$$ \langle \check{u},\phi\rangle =\langle u,\check{\phi} \rangle$$<br />de telle sorte que la définition reste cohérente pour une distribution régulière associée à la fonction u :<br />$$ \langle \check{u},\phi\rangle = \int_{\mathbb R} u(-x) \phi(x)dx =\int{\mathbb R} u(t) \phi(-t)dt=\langle u,\check{\phi} \rangle,~~\forall \phi \in{\mathbb D}$$<br />Grâce au changement de variable -x=t. Appliquons cette définition à une distribution ${\rm VP}{1\over x}$ :<br />$$\begin{eqnarray*}<br />\langle\check{{\rm VP}{1\over x}} ,\phi \rangle<br />&=& \langle {\rm VP}{1\over x},\check{\phi}\rangle<br />= \lim_{\varepsilon\to0}\int_{\vert x\vert>\varepsilon}{1\over x}\phi(-x) dx<br />\\&=& \lim_{\varepsilon\to0}\int_{\vert -t\vert>\varepsilon}{1\over -t}\phi(t) dt<br />= \lim_{\varepsilon\to0}\int_{\vert t\vert>\varepsilon}-{1\over t}\phi(t) dt<br />\\&=&\langle-{{\rm VP}{1\over x}} ,\phi \rangle <br />\end{eqnarray*}$$<br />c'est encore le changement de variable -x=t qui permet de faire sortir le "-" de $\phi$ (le $dx\to-dt$ étant absorbé par le changement d'ordre des bornes d?intégration).philippe rouxhttps://www.blogger.com/profile/01271040699850652913noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6611739970438620014.post-43198219206747735992014-05-09T15:26:53.114+02:002014-05-09T15:26:53.114+02:00sil vous plait comment on démontre la parité de va...sil vous plait comment on démontre la parité de valeur principal ? Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/16699659742070444547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6611739970438620014.post-61701471724704597182014-01-23T20:24:13.497+01:002014-01-23T20:24:13.497+01:00D'ACCORD ET MERCI INFINIMENT POUR VOTRE INTÉRÊ...D'ACCORD ET MERCI INFINIMENT POUR VOTRE INTÉRÊTAnonymoushttps://www.blogger.com/profile/14631273677331458136noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6611739970438620014.post-61589533674933168512014-01-21T13:06:05.637+01:002014-01-21T13:06:05.637+01:00comme dit dans ce billet le support de $VP{1\over ...comme dit dans ce billet le support de $VP{1\over x}$ est $\mathbb R$ et son support singulier est $\{0\}$. Ça mériterai peut être un billet supplémentaire pour tout bien expliquer :-) Pour faire simple, si on prend une fonction test $\varphi(x)\geq 0$ dont le support ne contient pas le point $x= 0$ alors la distribution s'exprime par :<br />$$\langle VP{1\over x},\varphi(x)\rangle=\int_{\mathbb R} {\varphi(x)\over x} dx=\int_{{\rm supp }\varphi} {\varphi(x)\over x} dx$$<br />c'est donc la distribution associée à la fonction $x\mapsto {1\over x}$, donc une distribution régulière, et comme cette fonction ne s'annule pas sur ${\mathbb R}^*$ il s'agit bien du support régulier de la distribution car :<br />$$\langle VP{1\over x},\varphi(x)\rangle=\int_{{\rm supp }\varphi}\underbrace{ {\varphi(x)\over x}}_{\geq 0} dx=0\Rightarrow \varphi(x)=0,~~\forall x$$<br />Si on prend une fonction test $\varphi(x)\geq 0$ avec ${\rm supp}(\varphi)\subset[-K,K]$, mais non nulle en $x=0$, alors les choses sont beaucoup plus compliquées! En utilisant un DL :<br />$$ \varphi(x)=\varphi(0)+\varphi'(0)x+x^2\theta(x),~~~\theta(x)\mathop{\longrightarrow}_{x\to 0}0$$<br />et la formule (2) on peut montrer que la distribution dépend directement de $\varphi'(0)$ :<br />$$\langle VP{1\over x},\varphi\rangle= \int_{0}^{+\infty} {1\over x}(\varphi(x)-\varphi(-x)) dx<br />= \int_{0}^{K} 2\varphi'(0)+x\theta(x) dx=2K\varphi'(0)+\dots$$<br />donc le seul moyen d'obtenir 0 quelque soit la fonction test est d'avoir $\varphi'(0)=0$. Conclusion est dans le support de $VP{1\over x}$. Ça montre aussi que $VP{1\over x}$ est certainement d'ordre 1 uniquement à cause du point $x=0$, donc que la distribution ne peut pas être régulière en ce point.<br /><br />Pour comprendre en détail il faut probablement relire les billets <a href="http://rouxph.blogspot.fr/2012/03/support-dune-distribution.html" rel="nofollow"> support d'une distribution</a> et <a href="http://rouxph.blogspot.fr/2012/12/ordre-dune-distribution.html" rel="nofollow"> ordre d'une distribution </a>philippe rouxhttps://www.blogger.com/profile/01271040699850652913noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6611739970438620014.post-16809310045467873282014-01-21T12:14:25.082+01:002014-01-21T12:14:25.082+01:00S'il vous plaît c'est urgent les examens s...S'il vous plaît c'est urgent les examens sont à la porte quel est le support de la valeur principale et commet le déterminer MerciAnonymoushttps://www.blogger.com/profile/14631273677331458136noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6611739970438620014.post-72281548306737186152012-04-08T22:21:37.188+02:002012-04-08T22:21:37.188+02:00Dans l'absolu tu as raison Valvino, cependant ...Dans l'absolu tu as raison Valvino, cependant j'ai toujours gardé l'écriture <.,.> pour deux raisons :<br />- d'abord j'ai souvent la flemme d'écrire \langle et \rangle :-) <br />- ensuite il y a des cas où lorsque \langle et \rangle s'adaptent à la hauteur de la formule qu'ils encadrent, je trouve alors qu'ils deviennent moins "lisibles" que les <.,.>philippe rouxhttps://www.blogger.com/profile/01271040699850652913noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6611739970438620014.post-32854256999741763082012-04-08T19:34:15.089+02:002012-04-08T19:34:15.089+02:00Juste une petite remarque esthétique, utiliser \la...Juste une petite remarque esthétique, utiliser \langle et \rangle au lieu de < et > est mieux pour écrire le crochet de dualité. Par exemple ca évite d'avoir le signe > collé au signe =.Valvinohttps://www.blogger.com/profile/02011369974746372762noreply@blogger.com