Dérivation des distributions

Lors du premier cours que j'ai eu sur la théorie des distributions, le professeur commença par dire  : "le but de cette théorie est de calculer la dérivée de la fonction de Heaviside"






ce cours commençait donc directement par ouvrir la boite de Pandore que constituait la dérivation de fonctions  seulement $C^1$ par morceaux ... c'est ce qui a dû m'attirer !!  Comme toujours avec les distributions, pour pouvoir définir une propriété  il faut commencer par le cas où la distribution $T$ est celle associée à une fonction régulière  $f$ ($C^\infty$ par exemple). On veut alors que la distribution $T'$ soit celle associée à la fonction $f'$ :

$$ <T',\phi>=\int_{\mathbb R} f'(x) \phi(x)dx ~~~~\forall \phi\in {\mathcal D}$$

 cette expression fait évidement penser à la formule d'intégration par parties, en tenant compte du fait que $\phi$ est à support compact on obtient immédiatement que :

$$<T',\phi>=\int_{\mathbb R} f'(x) \phi(x)dx=\underbrace{\left[f(x)\phi(x)\right]_{-\infty}^{+\infty} }_{=0}=-\int_{\mathbb R} f(x) \phi'(x)dx=-<T,\phi'>$$

comme $\phi'$ est aussi une fonction test cette formule permet bien de définir correctement la dérivé de $T$.

Définition $T'$,la dérivé de $T\in {\mathcal D}'$, est définie par  $<T',\phi>=-<T,\phi'>$  $\forall \phi\in {\mathcal D}$

la linéarité de $T'$ est évidente, il faut juste vérifier que $T'$ est bien bornée pour la topologie de ${\mathcal D}'$, ce qui découle du fait que $T$ est bornée :

$$\vert <T',\phi>\vert  =\vert <T,\phi'>\vert\leq \sum_{n=1}^{N_K}C_{n,K}\Vert\partial^n\phi'\Vert_{\infty,K}=\sum_{n=1}^{N_K}C_{n,K}\Vert\partial^{n+1}\phi\Vert_{\infty,K},~~~~\forall \phi\in {\mathcal D}$$
au passage on peut remarquer que l'ordre de $T'$ est toujours un de plus que l'ordre de $T$.

Cette définition permet de donner un sens à la dérivation de fonctions qui ne le sont pas au sens "classique", pour le voir appliquons cette formule à la fonction valeurs absolue $f(x)=\vert x\vert$. Cette fonction est dérivable pour tout $x\neq 0$ et sa dérivée $f'$ est bien une fonction localement intégrable

$$f(x)= \left\{\begin{array}{rcl}x&si& x\geq 0\\
-x&si & x\leq 0\\ \end{array}\right.
\Longrightarrow  f'(x)={\rm sign}(x)= \left\{\begin{array}{rcl}1&si& x> 0\\
-1&si & x< 0\\ \end{array}\right.$$

on retrouve exactement le même résultat au sens des distributions en intégrant par parties :

 $$\begin{eqnarray}<f',\phi>&=&-<f,\phi'>=\int_{-\infty}^0 x \phi'(x)dx+\int_0^{\infty}-x\phi'(x)dx\\
 &=&\underbrace{\left[x\phi(x)\right]_{-\infty}^0}_{=0}-\int_{-\infty}^0 \phi(x)dx
+\underbrace{\left[-x\phi(x)\right]_{0}^{+\infty}}_{=0}-\int_0^{+\infty} - \phi(x)dx\\
&=& \int_{-\infty}^{\infty}{\rm sign}(x)\phi(x)dx=<{\rm sign}(x),\phi>
\end{eqnarray}$$


Mais si nous appliquons maintenant cette formule à la fonction de Heaviside
$$H(x)=\left\{\begin{array}{rcl}1&si& x\geq 0\\
0&si & x< 0\\ \end{array}\right.
\Longrightarrow  H'(x)=0~~p.p.t.~x\in{\mathbb R}$$
 on ne trouve pas exactement le même résultat

$$<H',\phi>=-<H,\phi'>=-\int_{\mathbb R}H(x) \phi'(x)dx=-\int_0^{+\infty} \phi'(x)dx=\left[-\phi(x)\right]_{0}^{+\infty}=\phi(0)=<\delta,\phi>$$

on reconnait donc ici que $H'=\delta$. Du point de vu "classique" la dérivée de $H$ au sens des distribution est bien  presque partout égale à $0$ comme sa dérivée au sens classique, mais il vient s'ajouter un terme contenant la distribution de Dirac localisé au point de discontinuité de $H$. Ce résultat se généralise à toute fonction $C^1$ par morceau par la formule des sauts qu'on peut résumer par "on ajoute à la dérivé usuelle des distributions de Dirac multipliées par la hauteur du saut à chaque point de discontinuité":

Théorème (formule des sauts) Soit $T_f$ la distribution associée à une fonction $f\in{\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R}) $ supposée $C^1$ par morceaux $$\exists I\subset {\mathbb Z},\exists (x_n)_{n\in I}\subset {\mathbb R},~\forall n\in I~\left[x_n<x_{n+1}~~et~~ f\in C^1(]x_n,x_{n+1}[) ~~et~~ \exists f(x_n^\pm)=\lim_{h\to 0^\pm}f(x_n+h)\right]$$ alors au sens des distributions on a que $$T_{f}'=T_{f'}+\sum_{n\in I}(f(x_n^+)-f(x_n^-))\delta_{x_n}$$ ou $f'$ est égale presque partout à la dérivée de $f$ au sens usuel et $\delta_{x_n}$ est la distribution de Dirac en $x_n$  ($<\delta_{x_n},\phi>=\phi(x_n)$).

Si on applique ce résultat à la fonction ${\rm sign}(x)$ on trouvera bien  que ${\rm sign}'(x)=2\delta_0(x)$ ce qui est cohérent avec le fait que ${\rm sign}(x)=2H(x)-1\Rightarrow {\rm sign}'(x)=2 H'(x)-0=2\delta_0(x)$.