calcul de séries et bug dans wxmaxima

Le calcul formel/numérique sur ordinateur et son utilisation  dans l'enseignement des mathématiques fait beaucoup fantasmer :certain pensent qu'avec le bon logiciel on peut résoudre n'importe quelle équation bien mieux qu'un humain et sans avoir besoin d'étudier beaucoup de mathématiques d'autres n'ont aucune confiance en ces outils et pensent qu'il ne peuvent que diminuer nos capacités de calcul et ensuite de raisonnement en mathématiques. La réalité me semble souvent bien plus complexe que cela et la confrontation des deux approches m'amène parfois à comprendre bien plus de choses que la question de départ ...  un petit exemple au travers des formes closes que je viens d'obtenir pour les deux séries Fourier ci-dessous :

deux séries numériques calculées par le théorème de Dirichlet

dessins de fractales avec Maxima

Depuis quelques mois je m'intéresse de plus en plus au logiciel de calcul formel Maxima. Moins populaire que Sage et son interface intégrée à tout navigateur il est pourtant bien plus léger et très complet. Les différentes interfaces graphiques permettant d'accéder à Maxima offrent la possibilité d'effectuer de nombreux tracés géométriques en s'appuyant sur Gnuplot. Il y a par exemple plusieurs fonctions prédéfinies pour tracer les fractales  les plus célèbres.

calculs de divergence et rotationnel avec Maxima

Le 30 septembre 2017 dernier nous apprenions la mort , à seulement 51 ans, du mathématicien Russe Vladimir Voevodsky. Médaillé Fields en 2002, pour sa démonstration de la célèbre conjecture de Milnor, une partie de son travail s'est révélée fausse près de 10 ans plus tard! Prenant conscience de la complexité croissante des preuves mathématiques il avait réorienté ses recherches vers le domaine des assistants de preuve formelle ,comme COQ , et voulait fournir aux mathématiciens des outils pour écrire et vérifier plus rigoureusement des preuves. Dans la croyance populaire on imagine qu'il suffirait de cliquer sur un bouton pour vérifier ou même démontrer un énoncé, évidement la réalité est bien différente et une preuve assistée par un logiciel  se révèle souvent très technique. On peut s'en rendre compte en s'intéressant au calcul formel avec des logiciels populaires comme Maxima. Démontrer les formules qui expriment la divergence où le rotationnel d'une fonction vectorielle dans un système de coordonnées non-cartésien   demande beaucoup d'habileté mathématique. C'est un bon exemple pour comprendre et réfléchir à ce que représente un calcul assisté par ordinateur ...

$$ \begin{align*}
{\rm div}({\bf A})
&=\partial_x {\bf A}_x+\partial_y{\bf A}_y+\partial_z{\bf A}_z
\\&={\frac {1}{r}} {\partial_r (rA_{r})}+{\frac {1}{r}}{\partial_\theta  A_{\theta }}+{\partial_z A_{z}}\\
\begin{array}{c}{\bf rot}({\bf A})\\~ \\ ~\end{array}&\begin{array}{c}= \\~ \\ ~\end{array}
\begin{pmatrix} {\partial_y \mathrm{A}_z } - {\partial_z \mathrm{A}_y} \\
{\partial_z \mathrm{A}_x } - {\partial_x \mathrm{A}_z }\\
{\partial_x \mathrm{A}_y } - {\partial_y \mathrm{A}_x } \end{pmatrix}
\begin{array}{c}= \\~ \\ ~\end{array}
 \begin{array}{r}
\left(\frac{1}{r}{\partial_\theta \mathrm{A}_z} - {\partial_z \mathrm{A}_\theta}\right) \mathbf{e_r} \\
+ \left({\partial_z \mathrm{A}_r} - {\partial_r \mathrm{A}_z}\right)\mathbf{e_\theta} \\
+\frac{1}{r}\left({\partial_r}(r \mathrm{A}_\theta) - {\partial_\theta \mathrm{A}_r}\right) \mathbf{e_z}
\end{array}
\end{align*}$$