Divergences entre matlab et octave

Matlab™ ©®  est un des premiers logiciel de calcul numérique créé à la fin des années 80, il reste très utilisé dans le domaine industriel  malgré une syntaxe parfois archaïque et l'existence d'alternatives libres comme GNUoctave, Scilab, ou même Python! Chaque année quand je dois utiliser ce logiciel pour illustrer des cours de calcul numérique, je prépare mes scripts avec GNUoctave et évidement lors des TP je découvre de nouvelles  aberrations "fonctionnalités" toujours plus stupéfiantes  ...

comportement différent entre matlab et GNUoctave
lors de la résolution d'un système linéaire 

Les pionnières du calcul numérique et de l'informatique

Comme tout les ans le 8 Mars, décrété journée internationale des droits des femmes par l'ONU, est l'occasion de dénoncer le manque de féminisation des secteurs liés aux sciences, au numériques et à l’ingénierie. La situation qui n'était déjà pas très bonne en France, elle s'est encore dégradée avec la réforme du BAC et la situation inquiète même maintenant les organisations patronales dans l'industrie, c'est dire ! Dans l'enseignement supérieur chacun essaie d'apporter ça contribution pour combattre le préjugés sexistes  qui perdure dans les sciences, à moi d'apporter la mienne (toute modeste). A force de dénoncer l'absence des femmes en mathématiques et dans le numérique on finit par oublier qu'elles n'en ont jamais été absentes mais que bien souvent leur travail a été invisibilisé. Rien de mieux que de faire de jolis posters pour rappeler cela!

 

                




















alors connaissez vous  ces femmes ?

Ordres de grandeur et unités

On a beaucoup parlé ces dernières semaines du rejet dans l'océan pacifique des stocks d'eau contaminés par la catastrophe de Fukushima. Quand on écoute les informations on entend des chiffres énormes comme  1 million de m³ d'eau contaminé avec une radioactivité de 140000Bq/L  mais au final :

quelle quantité de Tritium va être rejeté dans l'océan
pacifique à Fukushima et qu'est ce que ça veut dire en réalité ?

 Les chiffres seuls ne permettent pas de se représenter le problème, il faut pouvoir comparer et pour cela les sciences  nous donnent deux outils : les ordres de grandeurs  et  les unités.  

 

article de presse  avant le rejet dans l'océan d'eau
contaminé au tritium par la catastrophe de Fukushima
source : lemonde.fr

 

Nombres de Bell et formule de Dobinski

En mathématiques des concepts relativement simples peuvent conduire à des formules complexes dont les preuves sont des bijoux d’ingéniosité. Un bon exemple sur lequel je viens de travailler quelques jours : Les nombres de Bell (ainsi nommés en l’honneur du mathématicien Eric Temple Bell) qui désignent le nombre de partitions d’un ensemble à \(n\) éléments distincts. Un peu comme pour la factoriel, il n’existe pas d’expression analytique "simple" de cette suite \(B_n\) de nombres entiers mais on trouve quand même un équivalent pour \(n\to\infty\) faisant intervenir la fonction W de Lambert:

Théorème Moser-Wyman 1955 Quand \(n\to\infty\) on a l’équivalent : \[B_n\sim_\infty{ e^{p-1}p^{n-p}\over \sqrt{\ln(p)}}\sim_\infty\left({n\over W(n)}\right)^{n+{1\over2}} e^{{n\over W(n)}-n-1}{1\over \sqrt{n}}\] où \(n=p\ln(p)\Leftrightarrow p={n\over W(n)}\sim_{\infty }{n\over \ln(n)}\) et \(W\) est la fonction de Lambert.

Diagrammes de Voronoï et Algorithm de Lloyd

Il m'arrive souvent de voir passer de jolies animations avec des diagrammes de Voronoï, mais je n'avais jamais trouvé l'occasion d'en faire une par moi même,. c'est bien dommage car la manipulation des diagramme de Voronoï est excellent un exercice de modélisation, qui peut se faire avec des structures de données très simples et permet ensuite d'obtenir des sorties graphiques amusantes. Donc aujourd'hui je vous propose d'explorer ce sujet avec l'algorithme de Lloyd.

calcul de séries et bug dans wxmaxima

Le calcul formel/numérique sur ordinateur et son utilisation  dans l'enseignement des mathématiques fait beaucoup fantasmer :certain pensent qu'avec le bon logiciel on peut résoudre n'importe quelle équation bien mieux qu'un humain et sans avoir besoin d'étudier beaucoup de mathématiques d'autres n'ont aucune confiance en ces outils et pensent qu'il ne peuvent que diminuer nos capacités de calcul et ensuite de raisonnement en mathématiques. La réalité me semble souvent bien plus complexe que cela et la confrontation des deux approches m'amène parfois à comprendre bien plus de choses que la question de départ ...  un petit exemple au travers des formes closes que je viens d'obtenir pour les deux séries Fourier ci-dessous :

deux séries numériques calculées par le théorème de Dirichlet

Théorème spectral en dimension infinie

Je termine enfin cette série de billets la théorie spectrale en dimension infinie pour les opérateurs non-bornées  par le théorème spectral.  En dimension finie ce théorème affirme que tout opérateur auto-adjoint est diagonalisable, c’est à dire qu’on peut trouver une base orthonormée \(({\bf e}_n)_{\mathbb N}\) de l’ev \(\mathcal H\) telle que
\[A{\bf u}=\sum_{n\in I}\lambda_n\langle{\bf u},{\bf e}_n\rangle \, {\bf e}_n\] où \((\lambda_n)_{I}\) est l’ensemble des valeurs propres de \(A\). Ce théorème se généralise en dimension infinie mais sous une forme bien plus complexe car le spectre n’est alors plus limité a un ensemble discret de valeurs propres.

Théorème spectral Soit \(A\) un opérateur auto-adjoint sur un espace de Hilbert \( \mathcal H\) alors il existe une mesure spectrale \(E(\lambda)\) telle que :  
\[A=\int_{\mathbb R} \lambda\,d\, E(\lambda)
\Leftrightarrow
\forall {\bf u}\in{\mathcal H},\,
\langle A{\bf u},{\bf u}\rangle=\int_{\mathbb R} \lambda\,d\langle E(\lambda){\bf u},{\bf u}\rangle\]

série entière et fonction de Lambert

Depuis quelques temps je suis un compte Twitter appelé  improov_Maths qui diffuse des questions mathématiques de type concours CPGE à la formulation très courte  et de difficultés variées. Je me suis pris au jeux de résoudre ces questions, surtout quand elles proposent des calculs de séries comme celle ci-dessous, et bien sûr le tout en moins de 288 caractères! 

Opérateurs non-bornés et opérateur adjoint

En dimension finie toutes les applications linéaires sont continues, mais ce n’est plus le cas en dimension infinie. Dans ce contexte on dit qu’une application \(A:{\mathcal H}\longrightarrow{\mathcal G}\) est bornée sur l’espace vectoriel normé \(\mathcal H\) si : \[\exists C>0,\, \forall {\bf u}\in{\mathcal H},\, \Vert A{\bf u}\Vert \leq C\Vert {\bf u}\Vert\] la plus petite constante \(C\) vérifiant l’inégalité précédente étant la norme \(\Vert A\Vert\) de l’opérateur. S’il n’existe pas de telle constante on dit que \(A\) est non-bornée. Beaucoup d'opérateurs bien connus des espaces de fonctions sont des opérateurs non-bornés , comme la dérivation par exemple. Sous certaines conditions on peut étendre les propriétés des opérateurs bornées aux opérateurs non-bornées, en particulier les notions de spectre  dont j'ai parlé dans un précédent billet.

Théorie spectrale en dimension infinie

Pour une application linéaire \(A:{\mathcal H}\longrightarrow{\mathcal H}\) sur un espace vectoriel normé \(\mathcal H\) le spectre de l’opérateur \(A\) est l’ensemble des valeurs \(\lambda\in{\mathbb C}\) telles que \(A-\lambda\,Id\) ne soit pas inversible. Si \(\mathcal H\) est un espace vectoriel de dimension finie le spectre se réduit à l’ensemble des valeurs propres de \(A\) : \[\sigma(A)=\{\lambda \in{\mathbb C}\vert \exists {\bf u}\neq {\bf 0},\; A{\bf u}=\lambda\,{\bf u}\}\] Il n’en va pas de même dans les espaces vectoriels normés de dimension infinie (espace de Banach) où la notion de spectre est beaucoup plus riche et complexe. Il existe plusieurs subdivisions du spectre qu’on a souvent tendance à mélanger . Pour s’y retrouver il vaut mieux avoir en tête quelques exemples simples pour chaque type de spectre.

une fonction deval pour octave

Résoudre  numériquement une équation différentielle est une fonctionnalité très importante pour un logiciel de calcul numérique comme Scilab, Matlab® ou Octave ... chacun de ces logiciels possède des fonctions pour résoudre ce type de problème, leurs syntaxes sont très proches mais pas forcément compatibles. Si Scilab a choisit de développer sa propre syntaxe  Octave a fait le choix d'être un clone libre de Matlab® et donc de coller au plus près de sa syntaxe. Au contraire Matlab® à tout intérêt  à ne pas être compatible avec un logiciel libre qui proposerait les mêmes fonctionnalités. La question des équations différentielles donne un bon exemple de ce jeu du chat et de la souris entre un modèle propriétaire et son clone libre.

Une série de Fourier exotique

Les exemples de séries de Fourier qui sont utilisés sont presque toujours des fonctions $C^1$ par morceaux dont les coefficients sont des fractions rationnelles en $n$ vérifiant une asymptotique $c_n\sim_\infty {1\over n^a}$ avec $a\in{\mathbb N}$ . Le plus souvent on peut vérifier que $a=1$ pour des fonctions discontinue  et $a\geq 2$ pour des fonctions continues, pourtant on peut avoir des séries de Fourier avec des comportements plus exotiques correspondant à des fonctions continues mais pas $C^1$ par morceaux. Je suis tombé un peu par hasard sur un tel exemple assez facilement calculable que je n'ai retrouvé nulle part avant (mais peut être l'avez vous déjà rencontré?) :

transformation et critère d'Abel pour les séries

J'ai écrit de nombreux billets sur les différents outils qui permettent de discuter la convergence de séries numériques, il manquait à ce panorama un outil : le critère d'Abel. Autrefois très utilisé il tend a  disparaître de l'enseignement sur les séries  pourtant il permet de justifier la convergence de séries comme $\sum{\sin(n)\over n}$ ou $\sum {(-1)^n\over n}$

Théorème (critère d'Abel) Soient $(a_n)_{\mathbb N},(b_n)_{\mathbb N}$ deux suites si $A_n=\sum_{k=0}^na_k$  est bornée et $(b_n)_{\mathbb N}$ est positive et décroissante vers 0  alors on a $ \sum_{k=0}^\infty a_kb_k$  converge

Problème de Bâle et série télescopique

Lorsque j'étais lycéen une des questions qui m'a donnée motivé à poursuivre mes études supérieur dans le domaine des mathématiques était le démonstration de la solution au problème de Bâle $ \sum_{k=1}^\infty {1\over k^2}={\pi^2\over 6}$. Il existe des centaines de démonstrations de cette formule, souvent très compliquées, mais je suis tombé récemment sur un article en donnant une preuve très simple  puisque j'aurais pu la comprendre avec  mes seules connaissance de terminales C. Si j'avais connu cette démonstration j'aurais peut être fait autre chose que des mathématiques :-)

A short elementary proof of ∑1/k^2=π^2/6, Daniel Daners

tracé d'une surface et noeud de trèfle

L'informatique fait souvent croire qu'a l'aide d'un ordinateur on peut réaliser  des opérations très complexes sans comprendre où maîtriser les théories mises en œuvre. Ce mythe est très populaire quand il s'agit de mathématique, a tel point que Claude Allègre, alors ministre de l'éducation nationale, déclarait dans le journal France-soir, du 29/11/99 : "Les maths sont en train de se dévaluer de manière quasi inéluctable. Désormais, il y a des machines pour faire les calculs". Pourtant tracer le graphe  d'une simple surface demande un minimum de compréhension mathématique quelque soit le logiciel utilisé. Petit exemple avec la jolie surface  engendrée par un cercle se déplaçant le long d'un nœud de trèfle!

Transformée de Fourier de sech

Les cas où on peut calculer exactement la transformation de Fourier d'une fonction ne sont pas fréquents, quand on fait le tour des ressources disponibles sur le net on se rend compte qu'on retombe toujours sur les mêmes exemples : fonction porte, Gaussienne, Lorentzienne ... alors pour sortir  un peu de l'ordinaire voici le calcul de la transformée de Fourier de la fonction ${\rm sech}(x)= {1\over \cosh(x)}$ :

$$ \widehat{\rm sech}(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty}  e^{-ix\xi} {1\over \cosh(x)}dx=\pi \,{\rm sech}\left({\pi\xi\over 2}\right)~~~~(1)$$

calculs de divergence et rotationnel avec Maxima

Le 30 septembre 2017 dernier nous apprenions la mort , à seulement 51 ans, du mathématicien Russe Vladimir Voevodsky. Médaillé Fields en 2002, pour sa démonstration de la célèbre conjecture de Milnor, une partie de son travail s'est révélée fausse près de 10 ans plus tard! Prenant conscience de la complexité croissante des preuves mathématiques il avait réorienté ses recherches vers le domaine des assistants de preuve formelle ,comme COQ , et voulait fournir aux mathématiciens des outils pour écrire et vérifier plus rigoureusement des preuves. Dans la croyance populaire on imagine qu'il suffirait de cliquer sur un bouton pour vérifier ou même démontrer un énoncé, évidement la réalité est bien différente et une preuve assistée par un logiciel  se révèle souvent très technique. On peut s'en rendre compte en s'intéressant au calcul formel avec des logiciels populaires comme Maxima. Démontrer les formules qui expriment la divergence où le rotationnel d'une fonction vectorielle dans un système de coordonnées non-cartésien   demande beaucoup d'habileté mathématique. C'est un bon exemple pour comprendre et réfléchir à ce que représente un calcul assisté par ordinateur ...

$$ \begin{align*}
{\rm div}({\bf A})
&=\partial_x {\bf A}_x+\partial_y{\bf A}_y+\partial_z{\bf A}_z
\\&={\frac {1}{r}} {\partial_r (rA_{r})}+{\frac {1}{r}}{\partial_\theta  A_{\theta }}+{\partial_z A_{z}}\\
\begin{array}{c}{\bf rot}({\bf A})\\~ \\ ~\end{array}&\begin{array}{c}= \\~ \\ ~\end{array}
\begin{pmatrix} {\partial_y \mathrm{A}_z } - {\partial_z \mathrm{A}_y} \\
{\partial_z \mathrm{A}_x } - {\partial_x \mathrm{A}_z }\\
{\partial_x \mathrm{A}_y } - {\partial_y \mathrm{A}_x } \end{pmatrix}
\begin{array}{c}= \\~ \\ ~\end{array}
 \begin{array}{r}
\left(\frac{1}{r}{\partial_\theta \mathrm{A}_z} - {\partial_z \mathrm{A}_\theta}\right) \mathbf{e_r} \\
+ \left({\partial_z \mathrm{A}_r} - {\partial_r \mathrm{A}_z}\right)\mathbf{e_\theta} \\
+\frac{1}{r}\left({\partial_r}(r \mathrm{A}_\theta) - {\partial_\theta \mathrm{A}_r}\right) \mathbf{e_z}
\end{array}
\end{align*}$$

valeurs propres de l'oscillateur harmonique quantique

la physique quantique  fournie de nombreuses équations  dont la résolution conduit à des problèmes d'équations au dérivées partielles difficiles à résoudre sauf dans quelques cas "modèles" dont l'étude est très importante aussi bien pour la physique que pour les mathématiques.  Parmi ces problèmes un des plus fameux est celui des valeurs propres de l'oscillateur harmonique quantique :

$$ H u(x)=-\Delta u(x)+x^2 u(x)=\lambda u(x),~~~u\in{\mathbb L}^2({\mathbb R})$$

premières valeurs et vecteur propres de l'oscillateur harmonique quantique

Tracer l'ensemble de Mandelbrot

Quand on parle de fractale on pense immédiatement à l'ensemble de Mandelbrot. Si cet ensemble a été découvert au début du XXième siècle par Gaston Julia et Pierre Fatou, mais c'est Benoît Mandelbrot qui va en donner les premières représentation graphiques dans les années 1980 ! Aujourd'hui on peut tracer ce mystérieux ensemble en quelques lignes de code (avec Scilab par exemple) et un joli argument mathématique  ...

méthode d'amorçage-pompage pour comparaisons asymptotiques

Dans notre système universitaire, l'enseignement des outils de comparaison asymptotique se limite  en général à l'étude des développements limités (DL).  Si cet outil est incontournable son apprentissage se réduit bien souvent à connaître par cœur une liste de DL usuels (les séries géométrique et exponentielle ou la formule du binôme étendue aux exposants non entiers) et quelques techniques de combinaison. La question des développements asymptotiques (DA) est souvent bien plus difficile  à aborder, c'est bien dommage,  car elle fourni des problèmes  pas forcément plus difficiles techniquement mais plus profond conceptuellement et qui illustrent parfaitement cette citation de Bertrand Russell :

image wikipédia

Je vous propose donc d'étudier le problème suivant , familier de ceux qui connaisse le théorème de raréfaction des nombres premier  :

«trouver un développement asymptotique  de la solution
$x$ de l'équation $x\ln(x)=t$ quand $t\to\infty$ »