Nombres de Bell et formule de Dobinski

En mathématiques des concepts relativement simples peuvent conduire à des formules complexes dont les preuves sont des bijoux d’ingéniosité. Un bon exemple sur lequel je viens de travailler quelques jours : Les nombres de Bell (ainsi nommés en l’honneur du mathématicien Eric Temple Bell) qui désignent le nombre de partitions d’un ensemble à \(n\) éléments distincts. Un peu comme pour la factoriel, il n’existe pas d’expression analytique "simple" de cette suite \(B_n\) de nombres entiers mais on trouve quand même un équivalent pour \(n\to\infty\) faisant intervenir la fonction W de Lambert:

Théorème Moser-Wyman 1955 Quand \(n\to\infty\) on a l’équivalent : \[B_n\sim_\infty{ e^{p-1}p^{n-p}\over \sqrt{\ln(p)}}\sim_\infty\left({n\over W(n)}\right)^{n+{1\over2}} e^{{n\over W(n)}-n-1}{1\over \sqrt{n}}\] où \(n=p\ln(p)\Leftrightarrow p={n\over W(n)}\sim_{\infty }{n\over \ln(n)}\) et \(W\) est la fonction de Lambert.

calcul de séries et bug dans wxmaxima

Le calcul formel/numérique sur ordinateur et son utilisation  dans l'enseignement des mathématiques fait beaucoup fantasmer :certain pensent qu'avec le bon logiciel on peut résoudre n'importe quelle équation bien mieux qu'un humain et sans avoir besoin d'étudier beaucoup de mathématiques d'autres n'ont aucune confiance en ces outils et pensent qu'il ne peuvent que diminuer nos capacités de calcul et ensuite de raisonnement en mathématiques. La réalité me semble souvent bien plus complexe que cela et la confrontation des deux approches m'amène parfois à comprendre bien plus de choses que la question de départ ...  un petit exemple au travers des formes closes que je viens d'obtenir pour les deux séries Fourier ci-dessous :

deux séries numériques calculées par le théorème de Dirichlet

série entière et fonction de Lambert

Depuis quelques temps je suis un compte Twitter appelé  improov_Maths qui diffuse des questions mathématiques de type concours CPGE à la formulation très courte  et de difficultés variées. Je me suis pris au jeux de résoudre ces questions, surtout quand elles proposent des calculs de séries comme celle ci-dessous, et bien sûr le tout en moins de 288 caractères! 

Une série de Fourier exotique

Les exemples de séries de Fourier qui sont utilisés sont presque toujours des fonctions $C^1$ par morceaux dont les coefficients sont des fractions rationnelles en $n$ vérifiant une asymptotique $c_n\sim_\infty {1\over n^a}$ avec $a\in{\mathbb N}$ . Le plus souvent on peut vérifier que $a=1$ pour des fonctions discontinue  et $a\geq 2$ pour des fonctions continues, pourtant on peut avoir des séries de Fourier avec des comportements plus exotiques correspondant à des fonctions continues mais pas $C^1$ par morceaux. Je suis tombé un peu par hasard sur un tel exemple assez facilement calculable que je n'ai retrouvé nulle part avant (mais peut être l'avez vous déjà rencontré?) :

transformation et critère d'Abel pour les séries

J'ai écrit de nombreux billets sur les différents outils qui permettent de discuter la convergence de séries numériques, il manquait à ce panorama un outil : le critère d'Abel. Autrefois très utilisé il tend a  disparaître de l'enseignement sur les séries  pourtant il permet de justifier la convergence de séries comme $\sum{\sin(n)\over n}$ ou $\sum {(-1)^n\over n}$

Théorème (critère d'Abel) Soient $(a_n)_{\mathbb N},(b_n)_{\mathbb N}$ deux suites si $A_n=\sum_{k=0}^na_k$  est bornée et $(b_n)_{\mathbb N}$ est positive et décroissante vers 0  alors on a $ \sum_{k=0}^\infty a_kb_k$  converge

Problème de Bâle et série télescopique

Lorsque j'étais lycéen une des questions qui m'a donnée motivé à poursuivre mes études supérieur dans le domaine des mathématiques était le démonstration de la solution au problème de Bâle $ \sum_{k=1}^\infty {1\over k^2}={\pi^2\over 6}$. Il existe des centaines de démonstrations de cette formule, souvent très compliquées, mais je suis tombé récemment sur un article en donnant une preuve très simple  puisque j'aurais pu la comprendre avec  mes seules connaissance de terminales C. Si j'avais connu cette démonstration j'aurais peut être fait autre chose que des mathématiques :-)

A short elementary proof of ∑1/k^2=π^2/6, Daniel Daners

La formule de Stirling

Quand on me demande ce qui m'a donné envie de faire des mathématiques il me vient toujours  deux formules à l'esprit : la série $\sum_{k\geq 1}{1\over k^2}={\pi^2\over 6}$ (question aussi appelée "problème de Bâle") et la formule de Stirling:

$$n!=1\times 2\times \dots\times n\sim_\infty \left({n\over e}\right)^n\sqrt{2\pi n}
\Leftrightarrow
\lim_{n\to\infty} {n!\over \left({n\over e}\right)^n\sqrt{2\pi n}}=1$$

le fait qu'un objet  défini uniquement à partir de nombres entiers puisse conduire à une formule contenant $\pi$ (et même combinant $e,\pi$ et $\sqrt{~}$ dans le cas de $n!$)  m'a tout de suite fasciné, et en rentrant à l'université  je voulais absolument comprendre "la" démonstration  de telles curiosités mathématiques. Vingt-cinq ans après je suis toujours impressionné de la richesse de ces deux problèmes, l'étude de leurs démonstrations conduit toujours à l'introduction de méthodes  mathématiques fondamentales que je décris souvent sur ce blog. Laissez moi vous en donner un petit aperçu dans le cas de formule de Stirling.

calcul de zeta(1/2)

On retrouve souvent  dans les articles de vulgarisation mathématique les questions relatives  au calcul de la "somme"
$$1+2+3+\dots+n+... = -{1\over 12} $$
ces articles de vulgarisation mentionnent parfois que le résultat $-{1\over 12}$ correspond en fait à la valeur de $\zeta(-1)$  mais ils n'abordent pas en général  la théorie qui justifie ce résultats,  qui repose sur le prolongement analytique de la fonction $\zeta(x)$ de Riemann. Dans mon billet précédent  j'ai montré que quand $0<x<1$ ce prolongement  correspondait au  terme constant du développement asymptotique de la série de Riemann d'exposant $x$ , soit dans le cas $x=1/2$ :

$$\sum_{k=1}^n{1\over k^{1/2}}=\sum_{k=1}^n{1\over \sqrt{k}}=
2\sqrt{n}+\zeta(1/2)+{\mathcal O}\left({1\over \sqrt{n}}\right)$$
Cette  définition  d'apparence bien compliquée permet de tenter le calcul  d'une valeur approchée  de $\zeta(1/2)$ avec un maximum de décimales  :

Cet exercice  est un petit concentré de techniques simples mais terriblement  efficaces dans l'étude des séries numériques : combinaisons de séries convergentes, utilisation de séries télescopiques, accélération de la convergence, équivalents séries/intégrales, expressions conjuguée de radicaux ...

Prolongement analytique de la fonction zeta

La fonction Zeta de Riemann $\zeta(x)$ est un des objets mathématiques les plus intéressant, car elle intervient naturellement aussi bien  en analyse qu'en théorie des nombres. Classiquement elle est définie par la valeur de la  série de Riemann  pour l'exposant $x$ quand celle-ci est convergente soit :
$$\zeta(x)=\sum_{k=1}^\infty {1\over k^x},~~~~\forall x,~~\Re(x)>1$$
Cependant en utilisant la théorie des fonctions analytiques, la  fonction  $\zeta$ peut être prolongée  à tout ${\mathbb C}\setminus\{1\}$. En particulier on peut la définir dans la bande $0<\Re(x)<1$, très importante en théorie des nombres, par le développement asymptotique suivant quand $n\to\infty$ :
$$\sum_{k=1}^n{1\over k^x}={n^{1-x}\over 1-x}+\zeta(x)+{\mathcal O}\left({1\over n^x}\right),~~~ \forall x\neq1,~~\Re(x)>0$$

le graphe de la fonction Zeta de Riemann obtenu avec le logiciel SAGE

convergence vs divergence d'une série

Décider de la convergence ou de la divergence d'une série est un exercice classique d'analyse. Il  existe une multitude de critères différents pour répondre à cette question, individuellement chaque critère est assez simple à utiliser quand on le teste sur les séries adaptées, mais dans la pratique face à une série quelconque il est facile de s'y perdre. Pour s'en sortir il faut  bien comprendre  l'ordre dans lequel  considérer chaque critère. Étudiant  c'est en visualisant les liens entre ces critères sous forme d'un diagramme que j'ai vraiment réussi à    les retenir et à les comprendre. En guise d'exercice de rentrée j'ai essayé de reconstituer avec LaTeX/pstricks ce "flow chart" stocké dans ma mémoire , voilà le résultat :

"flow chart" pour la convergence/divergence d'une série

La formule de Shannon

Voici une formule très utilisée par les spécialistes du traitement du signal et qui  est un  concentré des  résultats d'analyse de Fourier :

Théorème de Shannon Soit $\omega_0>0$  et $E=\left\{f\in{\mathbb L}^2({\mathbb R})\vert {\rm supp} \widehat{f}\subset [-\omega_0,\omega_0]\right\}$ alors pour tout $f\in E$  et $T\leq \pi/\omega_0$ on a :
$$f(x)=\sum_{n\in{\mathbb Z}} f(nT) {\sin(\pi(x/T-n))\over \pi(x/T-n)}$$

Ce résultat à des applications pratiques très importantes car il permet de reconstruire une fonction à partir d'un simple échantillonnage (la donnée des $(f(nT))_{n\in{\mathbb Z}} $  ) pourvu que la cadence $T$ de l'échantillonnage soit suffisamment rapide comparée à l'étalement du spectre de $f$ dans $[-\omega_0,\omega_0]$. En images voilà ce que ça donne :

Quand la cadence n'est pas suffisante la série  convergence mais pas vers $f$ !! On parle alors de recouvrement (repliement) du spectre (ou plus souvent  d'aliasing en anglais) effet qu'on retrouve souvent en imagerie numérique.

Preuve assitée par ordinateur

Au mois de Mai dernier H. A. Helfgott  a publié une preuve de la version faible de la conjecture de Goldbach qui a fait grand bruit. La preuve repose sur un résultat antérieur (le Théorème de Vinogradov) affirmant que  la conjecture est vraie pour tout $n\geq n_0$  avec $n_0=e^{3100}\approx 2 \times 10^{1346}$ mais l'auteur améliore la borne $n_0$ jusqu'à l'amener à $10^{30}$ rendant ainsi possible une vérification exhaustive des cas manquant ... en d'autre termes cette preuve repose  en partie sur l'utilisation d'un ordinateur !

La question de l'utilisation d'un outil "mécanique" pour effectuer une preuve (en entier ou en partie) est un sujet assez polémique dans le monde des mathématiques, comme ce fut le cas pour  la preuve du théorème des quatre couleurs proposée  en 1976 par K. Appel et W. Haken . Pour vous inviter à réfléchir sur le sujet je vous propose d'étudier la  preuve  assistée par ordinateur d'un résultat étonnant sur la série $\sum_{k\in{\mathbb Z}}e^{-k^2/2}$ :

$$\sum_{k=-10}^{10}e^{-k^2/2}\approx 2.5066283...\approx \sqrt{2\pi}~~~ \textrm{à}~~ 10^{-8}~~\textrm{près}$$
pourtant $\sum_{k\in{\mathbb Z}}e^{-k^2/2}\neq \sqrt{2\pi}$  plus précisément on peut  montrer que :
$$10^{-8}<\sum_{k=-\infty}^{+\infty}e^{-k^2/2}-\sqrt{2\pi}<2\times10^{-8}$$

Une formule d'Euler-MacLaurin simplifiée

La formule de Euler-MacLaurin  est un outil très utile pour étudier l'asymptotique de séries divergentes  ou le reste de séries convergentes. Voici deux formules de ce type un peu différentes de celles qu'on trouve en général dans les livres de maths, mais tout à fait équivalentes et qui me semblent plus naturelles :

Théorème  soient {.} la fonction définie par "{t}= partie décimale de t" et $f\in C^1({\mathbb R})$ alors
$$\sum_a^b f(k)=  \int_{a-1}^b f(t) dt+ \int_{a-1}^b \{t\}f'(t)  dt ~~~~\forall a,b\in{\mathbb Z}~~~ (1)$$

Théorème  soient $\beta(t)= {\{t\}^2-\{t\}\over 2}$ et $f\in C^2({\mathbb R})$ alors
$$\sum_a^b f(k)=  \int_{a-1}^b f(t) dt+ {f(b)-f(a-1)\over 2}-\int_{a-1}^b \beta(t)f''(t)  dt  ~~~~\forall a,b\in{\mathbb Z}~~~(2)$$

C'est avec ce type de formule qu'on obtient facilement l'asympotique bien connue de la série harmonique :
$$\sum_1^n {1\over k}= \ln(n) +\gamma +{1\over 2n}+O\left({1\over n^2}\right)~~{\rm quand} ~~n\to\infty~~{\rm avec}~~\gamma\in[0,1]$$

les graphes des fonctions {t} et $\beta(t)$

Accélération de la convergence et séries télescopiques

Une série $\sum_{k\geq 1} u_k$  est dite télescopique  si son terme général peut  s'écrire sous la forme $u_k=w_k-w_{k+1}$, dans ce cas les sommes partielles de $\sum_{k\geq 1} u_k$  se calculent très facilement par développement :
$$\sum_{k=1}^n u_k= \sum_{k=1}^n w_k - w_{k+1}=(w_1-w_2)+(w_2-w_3)+\dots+(w_{n-1}-w_n)+(w_n-w_{n+1})=w_1-w_{n+1}$$
si en plus $(w_n)$ possède une limite nulle quand $n\longmapsto\infty$ on obtient facilement la convergence et la valeur de la série :

Théorème des séries télescopiques
Soit $u_k=w_k-w_{k+1}$  avec $w_k\mathop{\longrightarrow}_{k\longmapsto\infty} 0$  alors la série $\sum_{k=1}^\infty u_k$  converge et $\sum_{k=1}^\infty u_k=w_1$

Hélas il est rare qu'une série soit télescopique mais bien souvent on peut tirer partie d'une approximation par une série télescopique  $u_k\sim w_k-w_{k+1}$ pour accélérer la convergence d'une série.

Méthode d'accélération de la convergence d'une série Soit $u_k=w_k-w_{k+1}+r_k$  avec $w_k\mathop{\longrightarrow}_{k\longmapsto\infty} 0$  et  $\sum_{k=1}^\infty u_k$  converge alors $\sum_{k=1}^\infty r_k$ converge aussi et $\sum_{k=1}^\infty u_k=w_1+ \sum_{k=1}^\infty r_k$. En particulier si on a $r_k=o(u_k)$  alors la série $\sum_{k=1}^\infty r_k$ converge plus rapidement que $\sum_{k=1}^\infty u_k$  et permet de calculer plus précisément cette dernière.

calcul d'une série alternée par séparation des termes pairs et impairs

Une technique très classique dans le calcul des séries numériques consiste à séparer les termes de rang pairs et impairs :
$$\sum_{n\in{\mathbb N}} (-1)^nu_n=\sum_{n\in{\mathbb N}} u_{2n} -\sum_{n\in{\mathbb N}} u_{2n+1}~~et~~\sum_{n\in{\mathbb N}} u_n=\sum_{n\in{\mathbb N}} u_{2n} +\sum_{n\in{\mathbb N}} u_{2n+1} $$
lorsque 2 des quatre séries sont convergente, et de valeurs connues, on en déduit facilement que les deux autres convergent et on peut alors obtenir leurs valeurs par combinaisons linéaires. En particulier :
$$\sum_{n\in{\mathbb N}} (-1)^nu_n=2\sum_{n\in{\mathbb N}} u_{2n} -\sum_{n\in{\mathbb N}} u_n $$
Cette technique  (que j'ai déjà utilisé ici et là) permet de montrer que:
$$\begin{eqnarray*}
\sum_{n=0}^\infty{(-1)^n\over 1+n^2}
&=&{(\pi+2)e^\pi+(\pi-2)\over 2(e^{\pi}-1)}-{(\pi+1)e^{2\pi}+\pi-1\over 2(e^{2\pi}-1)}\\
&=&{\pi{\rm csch}(\pi)+1\over 2}\approx 0.6360145274911\dots
\end{eqnarray*}$$

Formule sommatoire de Poisson

Voici un petit calcul de série amusant :
 $$ \sum_{n=0}^\infty{1\over 1+n^2}={(\pi+1)e^{2\pi}+\pi-1\over 2(e^{2\pi}-1)}={\pi{\rm coth}(\pi)+1\over 2}\approx 2.07667404746858\dots $$
la solution repose sur une formule que j'aime beaucoup la formule sommatoire de Poisson :

Théorème   Soit $f\in{\cal S}({\mathbb R})$ alors $$\displaystyle  \sum_{n\in{\mathbb Z}}\widehat{f}(n)={ 2\pi}\sum_{n\in{\mathbb Z}} f({2\pi}n)$$

Sophomore's Dream

Aujourd'hui, en consultant mon flux sur google+, je suis tombé hier sur l'image suivante qui sert d'affiche aux BSSM2012 (Brussels Summer School of Mathematics):

resommation des séries divergentes et théorie des distributions

Je suis tombé il y a quelques semaine sur une page web regroupant les actes des journées mathématiques X-UPS  et en particulier sur ceux de l'année 1991 consacrées aux séries divergentes et procédés de resommation  un sujet qui, lors de mes études, m'a toujours été présenté comme la part obscure de l’œuvre d'Euler ... c'est donc un bon sujet de "divertissement mathématique" en ce début de vacances :-). Le document commence d'ailleurs par une succulente  citation de Heaviside :

"This series is divergent, therefore we may be able to do something with it."

Limite d'une série semi-convergente et asymptotique d'une série divergente

Comme je le disais dans mon billet sur les séries de Fourier j'ai toujours été attiré par les formules exprimant simplement la somme d'une série, c'est une des choses qui m'a donné envie de faire des maths ! La première qui m'ait intéressé  est la formule suivante :

$$ \sum_{k=1}^\infty  {(-1)^k\over k} =-\ln(2)~~~~~~~~~~~~ (1)$$

Jouons avec les séries de Fourier!

J''ai toujours été attiré par les résultats donnant la valeur de séries d'apparence simple  comme $\zeta(2)=\sum_{k=1}^\infty {1\over k^2}={\pi^2\over 6}$. Alors lorsque je me retrouve à enseigner les séries de Fourier, j'ai toujours envie de sortir des exemples ''classiques'' de calculs de séries de Fourier qui finissent par retomber sur le calcul de $\zeta(2),\eta(2),\zeta(4),\eta(4),\dots$ après des calculs hors de porté de mes étudiants. Je me suis donc intéressé à la recherche d'autres formules et je suis tombé avec surprise sur des formules  simples mais intéressantes à démontrer (y compris pour trouver des sujets d'exercices) que je n'avais jamais rencontré lors de mes études. Ces formules sont obtenues en utilisant le théorème de Dirichlet :

Théorème de Dirichlet

Soit $f$ une fonction  $2\pi-$périodique et $C^1$ par morceau (donc admettant en chaque $x\in{\mathbb R}$ des limites finies pour $\lim_{t\to x^\pm}f(t)=:f(x^\pm)$ et $\lim_{t\to x^\pm}f'(t)=:f'(x^\pm)$  ) alors $f$ est ``presque partout" égale à sa série de Fourier : $$(1)~~~~\forall x\in{\mathbb R},~~~~  \sum_{k\in{\mathbb Z}} c_k(f) e^{ikx}=\left\{\begin{array}{ccl} f(x) &si& f\textrm{ continue en }x\\ &&\\ {f(x^+)+f(x^-)\over 2} &si&f \textrm{ discontinue en }x \end{array} \right.$$
où $\displaystyle c_k(f)={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi} e^{-ikx} f(x) dx$.