Support d'une distribution

La théorie des distributions a été conçue  pour étendre des notions bien définies pour des fonctions régulières à des fonctions plus générales (non-dérivables, définies presque partout, ....). Pourtant des notions simples sont parfois difficiles à définir pour des distributions, par exemple : la notion de support. Pour une fonction $f$, disons $C^\infty$ sur ${\mathbb R}$, le support est défini par

$$ {\rm supp} (f)=\overline{\{x\in {\mathbb R}~\vert~ f(x)\neq 0\}}$$

Pour des fonctions moins régulières (définies seulement "presque partout") la définition ci-dessus pose problème (voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Support_de_fonction  ) et on doit adopter une définition du support beaucoup moins intuitive.


$$ {\rm supp} (f)=\left( \cup_{U\in E} U\right)^c,~~~~{\rm avec} ~~~~E=\{U~ouvert~\vert~f(x)=0~~p.p.t.~x\in U\}$$



 Pour une distribution $T$ il faut maintenant définir son support en fonction de son action sur les fonctions test $\phi$.  Pour que cette définition soit compatible avec la définition classique il faut que pour une distribution régulière, c'est à dire associée à une  fonction $f\in{\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$, on ait :

$${\rm supp}(\phi)\subset ({\rm supp }(T))^c\Longrightarrow <T,\phi>=\int_{\mathbb R} f(x) \phi(x) dx=0$$

Définition   le support d'une distribution est défini par
$${\rm supp }(T)=\left(\cup_{U\subset E} U \right)^c,~~~~{\rm avec} ~~~~E=\{U~ouvert~\vert~\forall \phi\in C^\infty_0(U),<T,\phi>=0\}$$

et on a bien alors que

 Propriété le support de la distribution $T$ associée à la fonction $f\in{\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$ vérifie ${\rm supp }(T)={\rm supp }(f)$

Évidement cette définition fait "peur" et est très peu enseignée, c'est dommage car elle permet de jolis raisonnements. Par exemple si on considère la distribution de Dirac $\delta$ définie par $<\delta, \phi>=\phi(0),\forall \phi\in{\mathcal D}$ alors son support est réduit à $0$

$$\left[{\rm supp}(\phi)\subset {\mathbb R}^*\Rightarrow \phi(0)=0\right]\Rightarrow {\rm supp}(\delta)=\{0\}$$

Ceci nous permet de démontrer facilement qu'il n'existe pas de fonction $f\in{\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$ qui permette de définir la distribution de Dirac par une intégrale $ <\delta,\phi>=\phi(0)=\int_{\mathbb R} f(x) \phi(x) dx$ puisque  à ce moment là on aurait que:

$${\rm supp }(\delta)=\{0\}\Longrightarrow f(x)=0~~p.p.t. x\in {\mathbb R}\Longrightarrow  \delta=0$$

C'est cet exemple qui amène à distinguer deux parties dans le support  d'une distribution :

Définition  Pour une distribution $T$ on appelle :

• support régulier le plus grand ouvert où $T$ peut être définie par une fonction régulière ($C^\infty$) soit ${\rm supp_{reg} }(T)={\cup_{U\in S} U }$ avec
  $$S=\{U~ouvert~\vert~\exists f\in C^\infty(U),~\forall \phi\in C^\infty_0(U),<T,\phi>=\int_{\mathbb R} f(x) \phi(x) dx\}$$
• le reste du support étant le  support singulier  ${\rm supp_{sing} }(T)={\rm supp }(T)\setminus {\rm supp_{reg} }(T)$ 

On pourra remarquer que le support et le support singulier sont des fermés alors que le support régulier est ouvert. Pour finir on pourra calculer ces différents support  pour la fonction de Heaviside

$$H(x)=\left\{\begin{array}{rcl}1 &si & x\geq 0\\&&\\0 &&sinon\\ \end{array}\right.\Longrightarrow \left\{\begin{array}{rcl } {\rm supp }(H)&=&[0;+\infty[\\{\rm supp_{reg} }(H)&=&]0;+\infty[\\{\rm supp_{sing}}(H)&=&\{0\}\\\end{array}\right.$$