Topologie sur les distributions

La théorie des distributions permet d'étendre aux fonctions définies "presque partout" des notions définies au départ seulement pour des fonctions "régulières"  en exprimant leur action sur des fonctions tests. Ces fonctions tests sont choisies pour avoir les meilleurs propriétés possibles, à savoir elles sont $C^\infty$ à support compact, ensemble qui est noté  $C^\infty_0({\mathbb R })$ ou encore ${\mathcal D}$. La distribution $T$ associée à une fonction $f$ est donc définie comme une forme linéaire et continue sur  ${\mathcal D}$ (d'où la notation ${\mathcal D}'$ pour l'ensemble des distributions) exprimée par l'intégrale :

$$(1)~~~~~~<T,\phi>=\int_{\mathbb R} f(x)\phi(x) dx,~~~~\forall \phi\in {\mathcal D}$$



il est clair que $<T,.>$ est linéaire, mais vérifier la continuité de $T$ nécessite de comprendre les topologies associées à ${\mathcal D}$ et ${\mathcal D}'$ et ça c'est plus compliqué ... à tel point que c'est passé sous silence dans la plupart des cours sur les distributions (surtout ceux destinées à des étudiants ayant plutôt fait de la physique).

Pour définir une topologie sur ${\mathcal D}$ il suffit de décrire à quelle condition une suite de fonctions tests $\phi_n$ tend vers 0 (la fonction nulle), mais ce n'est pas si facile! L'idée de départ est d'imposer la décroissance des normes de toutes les dérivées de $\phi_n$ sur tout compact

$$ \forall k\geq 0,\forall K\textrm{   compact}, \Vert \partial^k \phi_n\Vert_{\infty,K}\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty}0$$

Si c'était possible ${\mathcal D}$  serait complet pour la famille de semi-normes $\Vert \partial^k \cdot \Vert_{\infty,K}$   et serait un espace de Fréchet qui posséderait donc une métrique (une distance) ... hélas ça ne marche pas comme le montre le cas de la bosse glissante :

(si l'image ci-dessous ne s'anime pas c'est que votre navigateur ne lit pas les images png animées)

Les dérivés de cette suite de fonctions $\phi_n(t)=\phi(t-n)$ tendent vers 0 sur tout compact mais pourtant la suite ne tend pas vers 0! On est donc obligé d'ajouter une condition pour que le support des $\phi_n$ soit contenu dans un compact fixe (ce qui fait de  ${\mathcal D}$  une limite inductive d'espaces de Fréchet ) :

Topologie de ${\mathcal D}$
$$\phi_n\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty}0\Leftrightarrow \exists K\textrm{ compact}, \left[\forall n,~{\rm supp }\phi_n\subset K~~{\rm et}~~\forall k\geq 0, \Vert\partial^k \phi_n\Vert_{\infty,K}\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty}0\right]$$

Maintenant  la topologie sur ${\mathcal D}'$ est celle induite par   ${\mathcal D}$, communément appelée "topologie  faible-*", elle s'exprime "simplement" par  :

Topologie de ${\mathcal D}'$
$$T\textrm{ continue sur }{\mathcal D} \Leftrightarrow <T,\phi_n>\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty}0~~~~  \forall (\phi_n)\subset {\mathcal D} ,~~ \phi_n\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty}0$$
 Pour cela il suffit de vérifier que
$$\forall K\textrm{ compact},\exists C_K,N_K\geq 0,~~\vert <T,\phi>\vert \leq \sum_{n=0}^{N_K} C_K\Vert \partial^n\phi\Vert_{\infty,K},~~~~\forall \phi\in { C}^\infty_0(K)$$
Le maximum des $N_K$ (par rapport au choix de  K) est l'ordre de la distribution T.

Pour en revenir à la formule (1), la continuité de la distribution $T$ associée à une fonction $f$ nécessite en plus que $f$ soit au moins   localement intégrable ($f\in{\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$) car alors  :


$$\vert <T,\phi>\vert \leq \int_{\mathbb R} \vert f(x)\vert~ \vert \phi(x)\vert dx
\leq \int_{K} \vert f(x)\vert \Vert \phi \Vert_{\infty,K} dx =C_K\Vert \phi \Vert_{\infty,K} ,~~~~\forall \phi\in { C}^\infty_0(K)$$

au passage on voit que toute fonction localement intégrable est une distribution d'ordre 0.On pourra montrer de la même manière que  la distribution de Dirac, définie par $<\delta, \phi>=\phi(0),~~\forall \phi\in{\mathcal D}$ ,  est aussi une distribution d'ordre 0.  Par contre une fonction comme $(x\longmapsto {1\over x})\notin{\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$ ne peut pas définir une distribution ....Mais ça c'est une autre histoire!