orbites des planètes

lorsque je suis entré à l'université un des premiers cours que j'attendais avec impatience était le cours de mécanique. Ce cours devait nous amener à la résolution exacte du problème à deux corps  permettant de comprendre les mouvements planétaires à l'intérieur du système solaire. Mais la résolution exacte du système étant très technique un modèle approché permet de comprendre tout aussi efficacement ces mouvements. J'avais alors construit un modèle approché simplifiant beaucoup les calculs tout en gardant une bonne approximation de la réalité. Au bout du compte ce modèle  m'a surtout permis de comprendre l'importance des méthodes mathématiques  d'approximations et leur intérêt par rapport à la résolution exacte d'une équation.

orbite elliptique autour du soleil

Les équations du problème à deux corps

Pour établir les équations du mouvement des planètes dans leur plan orbital (on admettra que ces orbites sont planes) le plus pratique est de représenter la position $x$ de la planète (de masse m=1) par un nombre complexe écrit sous forme polaire $x=re^{i\theta}$, le Soleil (de masse M) se trouvant à l'origine des coordonnées. En dérivant cette expression par rapport au temps $t$ on obtient l'accélération de la planète :
$$x=re^{i\theta}\Rightarrow x'=(r'+ir\theta')e^{i\theta}\Rightarrow x''=[(r''-r\theta'^2)+i(2r'\theta'+r\theta'')]e^{i\theta}$$


en appliquant le principe fondamental de la dynamique ( masse x accélération = somme des forces) à cette planète soumise à une force de module ${1\over r^2}$ dirigée vers l'origine (on peut se placer  dans un système d'unités ou ${\cal G} M=1$ et $m=1$ pour simplifier les calculs) on arrive alors à l'équation :
$$x''=-{1\over r^2}e^{i\theta}\Longleftrightarrow \left\{
\begin{array}{rcl}
r''-r\theta'^2&=&-{1\over r^2}\\
2r'\theta'+r\theta''&=&0\\
\end{array}
\right.$$
la deuxième équation se ramène facilement à :
$$2r'\theta'+r\theta''=(r^2\theta')'=0\Longrightarrow r^2\theta'=C=C^{ste}$$
c'est la loi des aires : les aires balayées par $x(t)$, en des temps égaux, sont égales  

les secteurs en rouge et vert doivent avoir la même aire s'ils sont parcourus en des temps égaux

Cette loi permet de transformer la première équation différentielle en une équation à une seule inconnue :
$$r''-r\theta'^2=-{1\over r^2}\Leftrightarrow r''-r\left({C\over r^2}\right)^2=-{1\over r^2}
\Leftrightarrow r''+{1\over r^2}-{C^2\over r^3}=0$$
équation qui se ramène aussi par intégration à
$$r'\left(r''+{1\over r^2}-{C^2\over r^3}\right)=\left({1\over2}r'^2+{C^2\over 2r^2}-{1\over r}\right)'=0
\Longrightarrow {1\over2}r'^2+\underbrace{{C^2\over 2r^2}-{1\over r}}_{F(r)}=E=C^{ste}$$
c'est la loi de conservation de l'énergie dans le système à deux corps.  La somme de l'énergie cinétique ${1\over2}r'^2$ et de l'énergie potentielle $F(r)$ est donc constante. Ici l'énergie potentielle est la somme d'une partie d'origine gravitationnelle $-{1\over r}$ et du potentiel centrifuge ${C^2\over 2r^2}$. En d'autres termes le mouvement d'une planète est un équilibre entre l'attraction gravitationnelle du soleil et la force centrifuge du mouvement de rotation.

Un modèle mathématique approché
Si on étudie de plus près la fonction d'énergie potentielle $F(r)$ :

on se rend compte qu'elle possède un minimum en
$${d\over dr}F(r)=-{C^2\over r^3}+{1\over r^2}=0 \Longrightarrow r_0=C^2$$
ce minimum est donc  un point d'équilibre stable de l'équation différentielle autour duquel il peut y avoir de petites oscillations. Il est donc légitime d'approcher l'énergie potentielle autour du point d'équilibre par son polynôme de Taylor de degré 2(en pointillés bleu sur la figure) :
$$ F(r)={C^2\over 2r^2}-{1\over r}= F(r_0)+{F''(r_0)\over 2}(r-r_0)^2 +O((r-r_0)^3)$$
ce qui donne après calcul de $F''(r_0)={3C^2\over r_0^4}-{2\over r_0^3}={1\over r_0^3}$
$$F(r)\approx -{1\over 2r_0}+{1\over 2r_0^3}(r-r_0)^2$$
en redérivant  on obtient une équation linéaire d'ordre 2  :
$${1\over2}r'^2-{1\over 2r_0}+{1\over 2r_0^3}(r-r_0)^2=C^{ste}\Longrightarrow (r-r_0)''+{1\over r_0^3}(r-r_0)=0$$
Du fait du développement de Taylor ce modèle n'est valable qu'à $O((r-r_0)^2)$, c'est à dire seulement pour de petites oscillations autour du point d'équilibre. Cette équation est la même que celle  du pendule simple (linéarisé) et se résout facilement  :
$$u''+\omega^2u=0\Longrightarrow u=\alpha\cos(\omega t)+\beta\sin(\omega t),~~~~\alpha,\beta=C^{ste}$$
en posant  $u=r-r_0$ et en prenant comme origine des temps le passage au périgée on obtient donc :
$$r(t)=r_0(1-e\cos(\omega t)) ~~avec ~~\omega^2= {1\over r_0^3}={4\pi^2\over T^2}$$
ou $e$ donne l'ordre de grandeur des écarts au point d'équilibre. Il reste à trouver l'expression de l'angle $\theta$ en fonction du temps, en partant de la loi des aires :
$$\theta'={C\over r^2}={C\over r_0^2(1-e\cos(\omega t))^2}= {r_0^{-3/2}}(1+2e\cos(\omega t)+O(e^2))$$
Comme on travaille à $O((r-r_0)^2)=O(r_0^2e^2)$ près on peut simplifier et écrire que $\theta$  :
$$\theta'\approx  \omega + 2\omega e\cos(\omega t)$$
on intègre facilement l'équation pour obtenir :
$$\theta(t)= \omega t+2e\sin(\omega t)+O(e^2)$$

Comparaison avec la solution exacte

On peut comparer les résultats précédents par rapport à la solution exacte du problème à deux corps. Dans les conditions de validité de de nos approximations le mouvement décrit correspond au orbites  elliptique d'équation. Cette première loi de Kepler s'écrit :
$$r(t)={r_0\over 1+e\cos(\theta)}\approx r_0(1-e\cos(\theta) +O(e^2))$$
on retrouve donc bien une orbite elliptique à $O(e^2)$ près avec $e$ qui est l'excentricité de l'orbite. Pour les planètes principales l'excentricité est de l'ordre de quelques \% l'erreur relative du modèle approché est donc de l'ordre de $e^2\approx 10^{-4}$ ce qui est faible. Pour des planètes comme mars ou Mercure qui ont une excentricité de l'ordre de $0.1$  la précision est encore acceptable puisque $e^2\approx 10^{-2}$.

 On peut aussi comparer à cette précision la différente entre anomalie vraie $\theta$ (l'angle avec la direction du périhélie) et anomalie moyenne $\omega t$ (si la trajectoire était parcoure à vitesse uniforme $\omega={2\pi/T}$ ) qu'on appelle équation du temps :
$$\theta(t)=\omega t+2e\sin(\omega t)+O(e^2)$$
c'est bien le résultat qu'on obtient après de longs calculs en utilisant l'équation de Kepler reliant l'anomalie moyenne et l'anomalie vraie via l'anomalie excentrique E :
$$\omega t=E -e\sin(E)~~~~\tan(\theta/2)=\sqrt{1+e\over 1-e}\tan(E/2)$$
en réinjectant cette approximation dans $r(t)$ on trouve bien
$$r(t)\approx r_0(1-e\cos(\theta) +O(e^2))\approx r_0(1-e\cos(\omega t) +O(e^2))$$
Pour finir le demi-grand-axe de l'ellipse étant
$$2a={r_0\over 1+e}+{r_0\over 1-e}={2r_0\over 1-e^2}\Longrightarrow a={r_0\over 1-e^2}\approx r_0+O(r_0e^2)$$
La $3^\text{ième}$ loi de Kepler, qui lie le demi-grand axe $a$ à la période orbitale $T$, est donc aussi vérifié à $O(e^2)$ près :
$${a^3\over T^2}={4\pi^2\over {\cal G} M}=4\pi^2\approx {r_0^3\over T^2}$$