Un calcul de transformée de Fourier

Ca y est, c'est la rentrée! Mais  les mathématiques n'ont pas forcément été absentes des deux mois de "vacances" ... au contraire c'est l'occasion de rechercher de nouvelles idées dans une période où l'on est (un peu) libéré des contraintes d'enseignement! L'occasion pour moi de plancher sur la transformation de Fourier (TF), un outil très utile en analyse, dont la définition la plus simple ^a est donnée par une intégrale dépendant d'un paramètre :
$$ {\mathcal F}f(\xi)= \hat{f}(\xi)=\int_{\mathbb R} e^{-i\xi x} f(x) dx~~~~~~(1)$$
 de telle sorte que, en utilisant le théorème de convergence dominée,  ${\mathcal F}$ est une application linéaire et continue de l'espace des fonctions intégrables dans celui des fonctions continues et bornées:
$$ {\mathcal F} :{\mathbb L}^1({\mathbb R})\longrightarrow C^0\cap {\mathbb L}^\infty({\mathbb R})$$



Il est en général très difficile de trouver l'expression analytique de la transformé de Fourier d'une fonction simple. Les trois exemples les plus simples de fonctions dont la TF est explicitement calculable  sont les suivants :

• la fonction porte
  $$f(x)={\bf 1}_{[-1;1]}(x) \Longrightarrow \hat{f}(\xi)=2{\sin(\xi)\over \xi}$$
• la densité gaussienne
  $$f(x)=e^{- x^2/2} \Longrightarrow \hat{f}(\xi)=\sqrt{2\pi}e^{- \xi^2/2}$$
• et la densité de Cauchy
  $$f(x)=e^{-\vert x\vert} \Longrightarrow \hat{f}(\xi)={2\over 1+ \xi^2}$$

sorti de ces trois exemples on dispose de formules pour  calculer les TF d'autres fonctions 

• formule de dérivation
  $$f, x\mapsto xf(x)\in {\mathbb L}^1(\mathbb R) \Longrightarrow {d\over d\xi}\hat{f}(\xi)=-i {\mathcal F}(xf(x))(\xi)$$
• formule de multiplication
  $$f,f'\in {\mathbb L}^1(\mathbb R) \Longrightarrow  {\mathcal F}(f')(\xi)=i\xi\hat{f}(\xi)$$
• formule de convolution
  $$f,g\in {\mathbb L}^1(\mathbb R) \Longrightarrow  {\mathcal F}(f*g)(\xi)=\hat{f}(\xi)\times \hat{g}(\xi)$$

ces formules ne sont valables que si les fonctions qui apparaissent sont intégrables puisque leur justification reposent sur une convergence dominée (ou le théorème de Fubini pour la convolution). La formule de dérivation permet de montrer par récurrence le théorème suivant :

Théorème si $f$ est à décroissance rapide quand $t\to\infty$ alors $\hat{f}\in C^\infty({\mathbb R})$

En cherchant des exemples de calculs de TF faisant intervenir ce genre de formules je suis tombé sur le cas suivant :

$$f(t)=\sqrt{t}e^{-t}H(t),~~~~g(t)={1\over \sqrt{t}}e^{-t}H(t)$$

où H est la fonction de Heaviside. Tout d'abord il faut remarquer que $f$, $f'$, $g$ et $t\mapsto tg(t)$ sont bien intégrables :

• quand $t<0$ la fonction est nulle grâce au facteur H(t)
• quand $t\to\infty$ la décroissance est exponentielle grâce à $e^{-t}$
• en $t=0$ la singularité est au plus en $t^{-1/2}$ donc intégrable d'après le critère de Riemann 

ceci permet d'appliquer les formules de dérivation/multiplication à f et g pour obtenir :

$${d\over d\xi}\hat{g}(\xi)=-i {\mathcal F}(xg(x))(\xi)= -i\hat{f}(\xi)$$

et en considérant que $ f'(t)= {1\over 2}g(t)-f(t)$ presque partout (voir le billet sur la dérivation des distributions )

$$ {\mathcal F}(f')(\xi)= {\mathcal F}\left({1\over 2}g(x)-f(x) \right)(\xi)={1\over 2}\hat{g}(\xi)-\hat{f}(\xi) = i\xi\hat{f}(\xi)$$

On peut alors combiner les deux équations pour obtenir :

$${d\over d\xi}\hat{g}(\xi)=-i{\hat{g}(\xi) \over 2(1+i\xi)}=-{i+\xi \over 2(1+\xi^2)}\hat{g}(\xi) $$

mais comme $\hat{g}$ est une fonction $C^\infty$ (puisque $g$ est à décroissance rapide) et que
$$-{i+t \over 2(1+t^2)} = \left( -{i\over 2}\arctan(t)-{1\over 4}\ln(1+t^2) \right)'$$

on obtient :

$$\hat{g}(\xi)=C{\exp(-i\arctan(\xi)/2) \over (1+\xi^2)^{1/4}} $$

où C est une constante, et par suite

$$\hat{f}(\xi)={\hat{g}(\xi) \over 2(1+i\xi)}=C{\exp(-i\arctan(\xi)/2) \over 2(1+i\xi)(1+\xi^2)^{1/4}} $$

il ne reste plus qu'à trouver la constante C. Dans ce cas c'est la formule de Plancherel  qui va nous y aider :

Théorème de Plancherel si $f\in {\mathbb L}^1\cap {\mathbb L}^2(\mathbb R)$ alors $ \hat{f}\in{\mathbb L}^2({\mathbb R})$ et avec la définition (1) on a que  $$ \int_{\mathbb R}\vert  \hat{f}(\xi)\vert^2 d\xi=2\pi \int_{\mathbb R}\vert  f(x)\vert^2 dx $$

ici  g n'est pas de carré intégrable (à cause du $1\over \sqrt{t}$) mais f l'est. En appliquant la formule on obtient alors :

$$ \int_{\mathbb R}\vert  \hat{f}(\xi)\vert^2 d\xi=
 \int_{\mathbb R} {C^2 \over 4(1+\xi^2)^{3/2}} d\xi=
2\pi \int_{\mathbb R}\vert  f(x)\vert^2 dx=2\pi \int_0^\infty t e^{-2t} dx={\pi\over 2}$$
comme
$$ \int_{\mathbb R} {1 \over (1+t^2)^{3/2}} dt=2\Rightarrow C^2=\pi$$

eton obtient finalement que :

$$\hat{g}(\xi)={\sqrt{\pi}}{\exp(-i\arctan(\xi)/2) \over (1+\xi^2)^{1/4}} $$

et
$$\hat{f}(\xi)={\sqrt{\pi}\over 2}{(1-i\xi) \over (1+\xi^2)^{5/4}} \exp(-i\arctan(\xi)/2)$$

Ça ferait un beau sujet de DS sur la transformation de Fourier! 

a. il en existe d'autres qui diffèrent d'une constante mais qui sont  tout à fait équivalentes au niveau des propriétés mathématiques