Transformée de Fourier de VP1/x

Dans deux billets précédents j'avais expliqué comment définir précisément la distribution VP1/x et la transformation de Fourier d'une distribution   la suite logique de tout cela était d'écrire un billet sur le calcul de la transformée de Fourier de la distribution VP 1/x  ! Le résultat (assez important en traitement du signal) est :
$$ \widehat{VP {1\over x}}(\xi) = {-2i\pi}\left(H(\xi) -{1\over 2}\right)={-i\pi}~{\rm sign }(\xi)~~~{\rm et}~~~\widehat{\rm sign}(\xi)=2i VP {1\over \xi}$$
où $H$ est la fonction de Heaviside et ${\rm sign}(x)=2H(x)-1$ est la fonction "signe de x" ( valant 1 si $x>0$ et -1 si $x<0$).


 1 Préliminaires
 Rappelons les définitions que j'ai donné dans mes précédents billets :

• pour VP 1/x
  $$<VP{1\over x},\phi>=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{\vert x\vert>\varepsilon} {1\over x}\phi(x) dx= \int_{0}^{+\infty} {1\over x}(\phi(x)-\phi(-x)) dx ,~~~~\forall \phi\in{\mathcal D}({\mathbb R})$$
• pour la TF d'une distribution T
  $$ <\widehat{T},f>= <T,\widehat{f}>~~~~\forall f\in{\cal D}~~{\rm avec}~~  ({\mathcal F}f)(\xi)=\widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb R} e^{-ix\xi}f(x) dx$$

Un des gros problèmes pédagogique lorsqu'on veut expliquer des théorèmes sur la transformation de Fourier (TF) est de bien séparer les choses entre "avant" et "après" l'application de la TF. C'est pour cette raison qu'on choisit des variables différentes :

• $x$ pour "avant" l'application de la TF
• $\xi$ pour "après" l'application de la TF

A cause de la définition de la TF des distributions par un crochet de dualité ces conventions se retrouvent souvent inversées quand on travaille avec des distributions !!!!   Ce qui ne simplifie pas l'exposé des preuves à des étudiants qui découvrent ces outils en quelques semaines  ... On peut s'en convaincre facilement avec le théorème suivant :

Théorème de Dérivation/multiplication Soit T une distribution tempérée alors 
$$\widehat{\partial_\xi T}= ix\widehat{T}~~~{\rm et}~~~\widehat{ \xi T}= i {\partial_x}\widehat{T}$$

Ces formules se démontrent facilement pour une fonction de la classe de Schwartz à partir de la définition :
$$({\mathcal F}f)(\xi)=\widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb R} e^{-ix\xi}f(x) dx$$

• la première en dérivant par rapport à $\xi$ sous le signe $\int$
• la seconde en intégrant par parties, par rapport à $x$

ensuite il suffit d'utiliser la dualité ${\cal S}/{\cal S}'$ pour étendre le résultat aux distributions tempérées :

• comme $f\in{\cal S}({\mathbb R})\Rightarrow x\mapsto x f(x) \in{\cal S}({\mathbb R})$
  $$ <\widehat{\partial_\xi T},f>= <\partial_\xi T,\widehat{f}>=-<T,\partial_\xi\widehat{f}>=-<T,\widehat{(-ixf(x))}>=<\widehat{T},ixf(x)>=<ix\widehat{T},f(x)>$$
• comme $f\in{\cal S}({\mathbb R})\Rightarrow  f' \in{\cal S}({\mathbb R})$
  $$ <\widehat{\xi T},f>= <\xi T,\widehat{f}>=<T,\xi\widehat{f}>=<T,\widehat{(-i\partial_x f(x))}>=<\widehat{T},-i\partial_xf(x)>=<i\partial_x\widehat{T},f(x)>$$

De même on peut étendre la formule d'inversion de Fourier aux distributions tempérées :

Théorème d'inversion de la TF Soit T une distribution tempérée alors  on appelle $\check{T}$ la distribution tempérée définie par
$$ <\check{T},\phi(x)>=<T,\phi(-x)>~~~~\forall \phi\in{\cal S}({\mathbb R})$$
alors on a la formule 
$$\widehat{T}=S\Rightarrow \widehat{S}=2\pi \check{T}$$

On remarquera que pour une distribution régulière$T$ associée à une fonction $f$ la distribution $\check{T}$ est aussi régulière et associée à la fonction $x\mapsto f(-x)$.

2 Démonstration

La démonstration repose en fait sur l'utilisation des formules du théorème de dérivation/multiplication. Comme $x VP {1\over x}=1$  on en déduit facilement que
$$ \widehat{ \left(\xi VP {1\over \xi}\right) }= \widehat{ 1}= {2\pi}\delta$$
donc
$$ i{\partial_x} \widehat{ \left(VP {1\over \xi}\right)}= { 2\pi}\delta$$
en se rappelant que $\delta$ est la dérivée de la fonction de Heaviside et qu'une "primitive" au sens des distributions est bien définie à une constante près (cf . billet Théorie des distributions ) on obtient :
$$ \widehat{ \left(VP {1\over \xi}\right)}= {- 2i\pi}H(x)+C^{ste}$$
reste à trouver la constante ... Pour celà il suffit d'appliquer $ \widehat{ \left(VP {1\over \xi}\right)}$  à une fonction Gaussienne dont on connait la TF :
$$ \phi(x)=e^{-x^2/2}\Rightarrow \widehat{ \phi}(\xi)=\sqrt{2\pi}e^{-\xi^2/2}=\sqrt{2\pi}\phi(\xi)$$
alors on a 
$$ \begin{eqnarray*}
< \widehat{ \left(VP {1\over \xi}\right)},\phi(x)>&= &<{- 2i\pi}H(x)+C^{ste},\sqrt{2\pi}\phi(x)>\\
&=& \sqrt{2\pi}\left( {-2i\pi}\int_0^{+\infty}e^{-x^2/2}dx + C^{ste}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}dx\right)\\
&=&\left({-2i\pi}+2C^{ste}\right) \sqrt{2\pi}\int_0^{+\infty}e^{-x^2/2}dx
\end{eqnarray*}$$
d'un autre coté pour la fonction de Gauss on a $\phi(x)=\phi(-x)$, donc
$$ < \widehat{ \left(VP {1\over \xi}\right)},\phi(x)>= < \left(VP {1\over \xi}\right),\sqrt{2\pi}\phi(\xi)>
= \int_{0}^{+\infty} {1\over \xi}(\underbrace{\phi(\xi)-\phi(-\xi)}_{=0}) d\xi=0 $$
ce qui permet de calculer la constante
$${- 2i\pi}+2C^{ste}=0\Rightarrow C^{ste}={i\pi}$$
d'où le résultat :
$$ \widehat{VP {1\over x}} = {-2i\pi}H(\xi)+{i\pi}={i\pi}~{\rm sign }(\xi)$$
enfin en appliquant le formule d'inversion :
$$ \widehat{{\rm sign }}(\xi)={2\pi\over i\pi}\check{VP {1\over \xi}}= 2iVP {1\over \xi}$$