\widehat{VP {1\over x}}(\xi) = {-2i\pi}\left(H(\xi) -{1\over 2}\right)={-i\pi}~{\rm sign }(\xi)~~~{\rm et}~~~\widehat{\rm sign}(\xi)=2i VP {1\over \xi}
où H est la fonction de Heaviside et {\rm sign}(x)=2H(x)-1 est la fonction "signe de x" ( valant 1 si x>0 et -1 si x<0).
1 Préliminaires
Rappelons les définitions que j'ai donné dans mes précédents billets :
- pour VP 1/x
<VP{1\over x},\phi>=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{\vert x\vert>\varepsilon} {1\over x}\phi(x) dx= \int_{0}^{+\infty} {1\over x}(\phi(x)-\phi(-x)) dx ,~~~~\forall \phi\in{\mathcal D}({\mathbb R}) - pour la TF d'une distribution T
<\widehat{T},f>= <T,\widehat{f}>~~~~\forall f\in{\cal D}~~{\rm avec}~~ ({\mathcal F}f)(\xi)=\widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb R} e^{-ix\xi}f(x) dx
- x pour "avant" l'application de la TF
- \xi pour "après" l'application de la TF
Théorème de Dérivation/multiplication Soit T une distribution tempérée alors
\widehat{\partial_\xi T}= ix\widehat{T}~~~{\rm et}~~~\widehat{ \xi T}= i {\partial_x}\widehat{T}
Ces formules se démontrent facilement pour une fonction de la classe de Schwartz à partir de la définition :\widehat{\partial_\xi T}= ix\widehat{T}~~~{\rm et}~~~\widehat{ \xi T}= i {\partial_x}\widehat{T}
({\mathcal F}f)(\xi)=\widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb R} e^{-ix\xi}f(x) dx
- la première en dérivant par rapport à \xi sous le signe \int
- la seconde en intégrant par parties, par rapport à x
- comme f\in{\cal S}({\mathbb R})\Rightarrow x\mapsto x f(x) \in{\cal S}({\mathbb R})
<\widehat{\partial_\xi T},f>= <\partial_\xi T,\widehat{f}>=-<T,\partial_\xi\widehat{f}>=-<T,\widehat{(-ixf(x))}>=<\widehat{T},ixf(x)>=<ix\widehat{T},f(x)> - comme f\in{\cal S}({\mathbb R})\Rightarrow f' \in{\cal S}({\mathbb R})
<\widehat{\xi T},f>= <\xi T,\widehat{f}>=<T,\xi\widehat{f}>=<T,\widehat{(-i\partial_x f(x))}>=<\widehat{T},-i\partial_xf(x)>=<i\partial_x\widehat{T},f(x)>
Théorème d'inversion de la TF Soit T une distribution tempérée alors on appelle \check{T} la distribution tempérée définie par
<\check{T},\phi(x)>=<T,\phi(-x)>~~~~\forall \phi\in{\cal S}({\mathbb R})
alors on a la formule
\widehat{T}=S\Rightarrow \widehat{S}=2\pi \check{T}
<\check{T},\phi(x)>=<T,\phi(-x)>~~~~\forall \phi\in{\cal S}({\mathbb R})
alors on a la formule
\widehat{T}=S\Rightarrow \widehat{S}=2\pi \check{T}
On remarquera que pour une distribution régulièreT associée à une fonction f la distribution \check{T} est aussi régulière et associée à la fonction x\mapsto f(-x).
2 Démonstration
La démonstration repose en fait sur l'utilisation des formules du théorème de dérivation/multiplication. Comme x VP {1\over x}=1 on en déduit facilement que
\widehat{ \left(\xi VP {1\over \xi}\right) }= \widehat{ 1}= {2\pi}\delta
donc
i{\partial_x} \widehat{ \left(VP {1\over \xi}\right)}= { 2\pi}\delta
en se rappelant que \delta est la dérivée de la fonction de Heaviside et qu'une "primitive" au sens des distributions est bien définie à une constante près (cf . billet Théorie des distributions ) on obtient :
\widehat{ \left(VP {1\over \xi}\right)}= {- 2i\pi}H(x)+C^{ste}
reste à trouver la constante ... Pour celà il suffit d'appliquer \widehat{ \left(VP {1\over \xi}\right)} à une fonction Gaussienne dont on connait la TF :
\phi(x)=e^{-x^2/2}\Rightarrow \widehat{ \phi}(\xi)=\sqrt{2\pi}e^{-\xi^2/2}=\sqrt{2\pi}\phi(\xi)
alors on a
\begin{eqnarray*} < \widehat{ \left(VP {1\over \xi}\right)},\phi(x)>&= &<{- 2i\pi}H(x)+C^{ste},\sqrt{2\pi}\phi(x)>\\ &=& \sqrt{2\pi}\left( {-2i\pi}\int_0^{+\infty}e^{-x^2/2}dx + C^{ste}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}dx\right)\\ &=&\left({-2i\pi}+2C^{ste}\right) \sqrt{2\pi}\int_0^{+\infty}e^{-x^2/2}dx \end{eqnarray*}
d'un autre coté pour la fonction de Gauss on a \phi(x)=\phi(-x), donc
< \widehat{ \left(VP {1\over \xi}\right)},\phi(x)>= < \left(VP {1\over \xi}\right),\sqrt{2\pi}\phi(\xi)> = \int_{0}^{+\infty} {1\over \xi}(\underbrace{\phi(\xi)-\phi(-\xi)}_{=0}) d\xi=0
ce qui permet de calculer la constante
{- 2i\pi}+2C^{ste}=0\Rightarrow C^{ste}={i\pi}
d'où le résultat :
\widehat{VP {1\over x}} = {-2i\pi}H(\xi)+{i\pi}={i\pi}~{\rm sign }(\xi)
enfin en appliquant le formule d'inversion :
\widehat{{\rm sign }}(\xi)={2\pi\over i\pi}\check{VP {1\over \xi}}= 2iVP {1\over \xi}
Pour calculer la constante, on peut aussi remarquer que vp(1/x) vérifie f(-x)=-f(x), et donc que sa transformée de Fourier vérifie aussi cette relation (par la formule d'inversion). On obtient alors sans calcul que la constante vaut i\pi.
RépondreSupprimerBonne remarque! On peut effectivement utiliser la parité de VP{1\over x}, j'utilise d'ailleurs sans le dire cette même méthode pour obtenir la TF de {\rm sign}(x) et c'est même comme ça que j'ai appris à faire ce calcul .... mais ça oblige à définir proprement ce qu'est la parité d'une distribution singulière et honnêtement écrire f(-x)=-f(x) et même si au final c'est comme cela qu'on se le représente ce n'est pas très rigoureux :-)
SupprimerC'est pour ça que je voulais exposer une autre méthode qui consiste à tester contre une "bonne" fonction test. Je donnerais dans un prochain billet un autre exemple ou cette méthode marche efficacement.
Bah, certes f(-x)=-f(x) est un abus de notation, mais on peut écrire \check T=-T, ce qui revient au même.
RépondreSupprimerEn fait je ne vois pas vraiment ce que tu ne trouves pas rigoureux...