Ordre d'une distribution

Voici une question intéressante posée sur ce blog  :

"Montrer que la distribution  définie par : $\displaystyle  < T ,\phi > = \sum_{k=1}^\infty {1\over k}\left(\phi\left({1\over k}\right)-\phi(0)\right)$  est d'ordre 1 et pas d'ordre 0"

la réponse à cette question n'est pas si facile à trouver  mais fait intervenir des éléments techniques classiques qu'on retrouve dans plusieurs démonstration  en théorie des distributions ...

Pour commencer il faut rappeler la définition de  l'ordre d'une distribution  et revenir à la topologie de l'espace des distributions (que j'ai déjà présenté dans un précédent billet) :

Rappel sur la Topologie de ${\mathcal D}'$ $$T\textrm{ continue sur }{\mathcal D} \Leftrightarrow <T,\phi_n>\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty}0~~~~  \forall (\phi_n)\subset {\mathcal D} ,~~ \phi_n\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty}0$$ Pour cela il suffit de vérifier que$$\forall K\textrm{ compact},\exists C_K,N_K\geq 0,~~~~\forall \phi\in { C}^\infty_0(K)~~\vert <T,\phi>\vert \leq \sum_{k=0}^{N_K} C_K\Vert \partial^k\phi\Vert_{\infty,K},~~~~(1)$$ Définition Le maximum des $N_K$ (par rapport au choix de  K) dans la majoration (1) est l'ordre de la distribution T.

Pour montrer qu'une distribution est d'ordre 0 il suffit d'après cette définition d'obtenir la majoration (1) avec $N_K=0$, quelques exemples :

• la distribution de Dirac est bien d'ordre 0 car :$$\vert <\delta,\phi>\vert = \vert \phi(0)\vert \leq \Vert \phi\Vert_{\infty}$$  ici $C_K=1$  ne dépend pas de $K$
•  T une distribution régulière associée à $f\in{\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$ est bien d'ordre 0 car pour $\phi$ à support dans $K$ on a $$\vert <f,\phi>\vert = \left\vert \int_{\mathbb R} f(x) \phi(x)dx\right\vert \leq   \int_K\vert f(x) \vert dx \Vert \phi\Vert_{\infty}$$  ici $C_K=  \int_K\vert f(x) \vert dx$  dépend de $K$

 Mais pour montrer qu'une distribution est d'ordre 1 la majoration (1) n'est pas suffisante! En effet il n'est pas clair dans la définition ci-dessus que pour déterminer l'ordre de T il faut que la majoration (1)  soit optimale! En effet, si on a une distribution d'ordre 0 (comme $\delta$) on a :

$$\vert <T,\phi>\vert \leq \Vert \phi\Vert_{\infty} \Longrightarrow \vert <T,\phi>\vert \leq \Vert \phi\Vert_{\infty}+ \Vert \phi'\Vert_{\infty} $$

mais la seconde majoration n'implique pas que $T$ soit d'ordre 1 car cette majoration n'est pas optimale ! Dès lors comment montrer qu'une majoration du type (1) est optimale ?

Montrer qu'une majoration du type (1) est optimale : construire une suite de fonctions tests $(\phi_n)$  telle que $$<T,\phi_n>\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} \pm\infty ~~~~ et~~~~ \forall n\in{\mathbb N},\forall k<N_K~~ \Vert \partial^k\phi_n\Vert_{\infty,K}\leq M $$ si l'estimation (1) n'était pas optimale on aurait alors que  $$\vert <T,\phi_n>\vert \leq \sum_{k=0}^{N_K-1} C_K\Vert \partial^k\phi_n\Vert_{\infty,K}\leq \sum_{k=0}^{N_K-1} C_K M\leq N_K\times C_K\times M<\infty ~~~~\forall n\in{\mathbb N} $$
ce qui contredit que $<T,\phi_n>\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} \pm\infty $.  Heuristiquement on a que $ <T,\phi_n>$ dépend bien de la dérivée $N_K$ième de $\phi_n$ , la suite $\phi_n $ vérifiant alors forcément 
$$\Vert \partial^{N_K}\phi_n\Vert_{\infty,K}\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} \infty  $$

Par exemple la dérivée de la distribution de Dirac $$\vert <\delta',\phi>\vert = \vert -\phi'(0)\vert \leq \Vert \phi'\Vert_{\infty}$$  on montre que cette majoration est optimale en prenant une distribution non-nulle près de 0 et en posant $\phi_n(x)=\phi(nx)$ de telle sorte que $$ \Vert \phi_n\Vert_{\infty}= \Vert \phi\Vert_{\infty}<\infty~~et~~  \Vert \phi_n'\Vert_{\infty}= \Vert n\phi'(nx)\Vert_{\infty}=n \Vert \phi'\Vert_{\infty}\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} \infty $$ dans ce cas on a bien que $$<T,\phi_n>=-n\phi'(0)\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} -\infty$$ donc l'estimation est optimale.

Étudions maintenant le cas de la distribution  définie par
$$ < T ,\phi > = \sum_{k=1}^\infty {1\over k}\left(\phi\left({1\over k}\right)-\phi(0)\right)$$
La somme n'est apriori pas convergente  sous la seule hypothèse que $\phi$ est bornée puisque $1/k$ ne tend pas assez vite vers 0. Mais pour une fonction dont la dérivée est aussi bornée $\phi\left({1\over k}\right)-\phi(0)$ doit aussi tendre vers 0. En utilisant une approximation de Taylor on obtient :
 $$\left\vert\phi\left({1\over k}\right)-\phi(0)\right\vert\leq \Vert \phi'\Vert_\infty \left\vert{1\over k}-0\right\vert ={ \Vert \phi'\Vert_\infty\over k}$$
ce qui permet d'obtenir la majoration
$$\vert < T ,\phi >\vert \leq  \sum_{k=1}^\infty {1\over k}\left\vert\phi\left({1\over k}\right)-\phi(0)\right\vert \leq  \sum_{k=1}^\infty { \Vert \phi'\Vert_\infty\over k^2}={\pi^2\over 6} \Vert \phi'\Vert_\infty $$

T est donc une distribution d'ordre au plus 1, et il faut maintenant montrer que cette majoration est optimale.

Pour cela il suffit de choisir  $\varphi$  une fonction positive à support dans [-1;1] telle que $\varphi(0)=1$ et de définir une suite de fonctions tests $\phi_n$ par $$\phi_n(x)=\sum_{k=1}^n\varphi(3^k(x-1/k))$$  de telle sorte que le graphe de $\phi_n$  est constituée d'une suite de "bosses" centrées aux points $x=1/k$ ($k=1,2,...n$)  et de largeurs $2\times 3^{-k}$ qui ne s'intersectent donc pas :

le graphe de $\phi_7$

Iil est clair que $\phi_n(0)=0$  et $\Vert \phi_n\Vert_\infty=1$, on calcule alors :
$$ < T, \phi_n>= \sum_{k=1}^n{1\over k}\left(\phi_n\left({1\over k}\right)-\phi_n(0)\right)= \sum_{k=1}^n {1\over k}\sim \ln(n)\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} \infty $$
donc $T$ ne peut pas être d'ordre 0 et d'après la majoration elle est d'ordre 1.On peut remarquer que dans ce cas on a bien
$$\phi_n'(x)=\sum_{k=1}^n3^k\varphi'(3^k(x-1/k))\Rightarrow \Vert\phi_n'\Vert_\infty\sim 3^n\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} \infty $$

Pour finir il faut garder en tête qu'une distribution peut être d'ordre infini. Par exemple $<L,\phi> = \sum_{n=0}^\infty \partial^n\phi(n)$  vérifie la majoration optimale :
$$\vert <L,\phi>\vert \leq \sum_{n=0}^{N} \Vert \partial^n\phi\Vert_{\infty},~~~~\forall \phi\in { C}^\infty_0(K),~~~~\forall K=[-N,N]$$
ici $C_K=1$  mais le nombre de dérivées dépend de $K$ de telle sorte qu'il n'est pas majoré ! Donc l'ordre de L est infini.