calcul d'une série alternée par séparation des termes pairs et impairs

Une technique très classique dans le calcul des séries numériques consiste à séparer les termes de rang pairs et impairs :
$$\sum_{n\in{\mathbb N}} (-1)^nu_n=\sum_{n\in{\mathbb N}} u_{2n} -\sum_{n\in{\mathbb N}} u_{2n+1}~~et~~\sum_{n\in{\mathbb N}} u_n=\sum_{n\in{\mathbb N}} u_{2n} +\sum_{n\in{\mathbb N}} u_{2n+1} $$
lorsque 2 des quatre séries sont convergente, et de valeurs connues, on en déduit facilement que les deux autres convergent et on peut alors obtenir leurs valeurs par combinaisons linéaires. En particulier :
$$\sum_{n\in{\mathbb N}} (-1)^nu_n=2\sum_{n\in{\mathbb N}} u_{2n} -\sum_{n\in{\mathbb N}} u_n $$
Cette technique  (que j'ai déjà utilisé ici et là) permet de montrer que:
$$\begin{eqnarray*}
\sum_{n=0}^\infty{(-1)^n\over 1+n^2}
&=&{(\pi+2)e^\pi+(\pi-2)\over 2(e^{\pi}-1)}-{(\pi+1)e^{2\pi}+\pi-1\over 2(e^{2\pi}-1)}\\
&=&{\pi{\rm csch}(\pi)+1\over 2}\approx 0.6360145274911\dots
\end{eqnarray*}$$
Le point de départ de ce calcul remonte à mon précédent billet consacré à la formule sommatoire de Poisson où j'avais obtenu la formule :
$$\sum_{n=0}^\infty{1\over 1+n^2}={(\pi+1)e^{2\pi}+\pi-1\over 2(e^{2\pi}-1)}={\pi{\rm coth}(\pi)+1\over 2}\approx 2.07667404746858\dots$$
 en appliquant cette formule à  la fonction $f(x)=e^{-|x|}$ qui à pour transformée de Fourier  $\widehat{f}(\xi)={2\over 1+\xi^2}$, mais il est aussi possible  de calculer  $\sum_{n=0}^\infty{1\over 1+(2n)^2}$  en utilisant un changement d'échelle :

Proposition soit $f\in{\mathbb L}^1({\mathbb R})$ et $g(x)=f(x/a)$  pour $a>0$ alors $\widehat{g}(\xi)={a} \widehat{f}({a\xi})$

La démonstration de cette formule de changement d'échelle repose sur un simple changement de variable
$y=x/a$:
$$\begin{eqnarray*}
\widehat{g}(\xi)
&=&\int_{\mathbb R} e^{ix\xi} g(x) dx
&=&\int_{\mathbb R} e^{i(a\xi) (x/a)} f(x/a) dx\\
&=&a\int_{\mathbb R} e^{i(a\xi) y} f(y) dy
&=& a\widehat{f}(a\xi)
\end{eqnarray*}$$
maintenant appliquont la formule sommatoire de Poisson à $g$ pour $f(x)=e^{-|x|}$  et $a=2$ on obtient alors que :
$$\sum_{n\in{\mathbb Z}} {4\over 1+4n^2}=2\pi \sum_{n\in{\mathbb Z}}e^{-\pi |n|}$$
d'où l'on déduit que :
 $$\sum_{n\in{\mathbb Z}} {4\over 1+4n^2}=2\sum_{n\in{\mathbb N}} {4\over 1+4n^2}-4
=2\pi\sum_{n\in{\mathbb Z}}e^{-\pi |n|}=4\pi\sum_{n\in{\mathbb N}}e^{-\pi |n|}-2\pi$$
donc
 $$\sum_{n\in{\mathbb N}} {4\over 1+4n^2}
=2+2\pi\sum_{n\in{\mathbb N}}e^{-\pi |n|}-\pi$$
il ne reste plus qu'à calculer la série géométrique
 $$\sum_{n\in{\mathbb N}}e^{-\pi |n|}={1\over 1-e^{-\pi}}={e^\pi\over e^{\pi}-1}$$
pour obtenir que :
$$\sum_{n\in{\mathbb N}} {4\over 1+4n^2}
=2+2\pi{e^\pi\over e^{\pi}-1}-\pi={(\pi+2)e^\pi+(\pi-2)\over e^{\pi}-1}$$
et la somme des termes pairs est :
$$\sum_{n\in{\mathbb N}} {1\over 1+4n^2}
={(\pi+2)e^\pi+(\pi-2)\over 4(e^{\pi}-1)}$$
De là on en déduit alors facilement la série des termes impairs :
$$\sum_{n\in{\mathbb N}} {1\over 1+(2n+1)^2}
 =\sum_{n\in{\mathbb N}} {1\over 1+n^2}-\sum_{n\in{\mathbb N}} {1\over 1+(2n)^2}
={(\pi+1)e^{2\pi}+\pi-1\over 2(e^{2\pi}-1)}
-{(\pi+2)e^\pi+(\pi-2)\over 4(e^{\pi}-1)}$$
puis la série alternée :$$\begin{eqnarray*}
 \sum_{n=0}^\infty{(-1)^n\over 1+n^2}
&=& 2\sum_{n\in{\mathbb N}} {1\over 1+(2n)^2}-\sum_{n\in{\mathbb N}} {1\over 1+n^2}\\
&=&{(\pi+2)e^\pi+(\pi-2)\over 2(e^{\pi}-1)}-{(\pi+1)e^{2\pi}+\pi-1\over 2(e^{2\pi}-1)}
\end{eqnarray*}$$