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dimanche 13 janvier 2013

calcul d'une série alternée par séparation des termes pairs et impairs

Une technique très classique dans le calcul des séries numériques consiste à séparer les termes de rang pairs et impairs :
\sum_{n\in{\mathbb N}} (-1)^nu_n=\sum_{n\in{\mathbb N}} u_{2n} -\sum_{n\in{\mathbb N}} u_{2n+1}~~et~~\sum_{n\in{\mathbb N}} u_n=\sum_{n\in{\mathbb N}} u_{2n} +\sum_{n\in{\mathbb N}} u_{2n+1}

lorsque 2 des quatre séries sont convergente, et de valeurs connues, on en déduit facilement que les deux autres convergent et on peut alors obtenir leurs valeurs par combinaisons linéaires. En particulier :
\sum_{n\in{\mathbb N}} (-1)^nu_n=2\sum_{n\in{\mathbb N}} u_{2n} -\sum_{n\in{\mathbb N}} u_n

Cette technique  (que j'ai déjà utilisé ici et ) permet de montrer que:
\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty{(-1)^n\over 1+n^2} &=&{(\pi+2)e^\pi+(\pi-2)\over 2(e^{\pi}-1)}-{(\pi+1)e^{2\pi}+\pi-1\over 2(e^{2\pi}-1)}\\ &=&{\pi{\rm csch}(\pi)+1\over 2}\approx 0.6360145274911\dots \end{eqnarray*}

Le point de départ de ce calcul remonte à mon précédent billet consacré à la formule sommatoire de Poisson où j'avais obtenu la formule :
\sum_{n=0}^\infty{1\over 1+n^2}={(\pi+1)e^{2\pi}+\pi-1\over 2(e^{2\pi}-1)}={\pi{\rm coth}(\pi)+1\over 2}\approx 2.07667404746858\dots

 en appliquant cette formule à  la fonction f(x)=e^{-|x|} qui à pour transformée de Fourier  \widehat{f}(\xi)={2\over 1+\xi^2}, mais il est aussi possible  de calculer  \sum_{n=0}^\infty{1\over 1+(2n)^2}  en utilisant un changement d'échelle :

Proposition soit f\in{\mathbb L}^1({\mathbb R}) et g(x)=f(x/a)  pour a>0 alors \widehat{g}(\xi)={a} \widehat{f}({a\xi})
La démonstration de cette formule de changement d'échelle repose sur un simple changement de variable
y=x/a:
\begin{eqnarray*} \widehat{g}(\xi) &=&\int_{\mathbb R} e^{ix\xi} g(x) dx &=&\int_{\mathbb R} e^{i(a\xi) (x/a)} f(x/a) dx\\ &=&a\int_{\mathbb R} e^{i(a\xi) y} f(y) dy &=& a\widehat{f}(a\xi) \end{eqnarray*}

maintenant appliquont la formule sommatoire de Poisson à g pour f(x)=e^{-|x|}  et a=2 on obtient alors que :
\sum_{n\in{\mathbb Z}} {4\over 1+4n^2}=2\pi \sum_{n\in{\mathbb Z}}e^{-\pi |n|}

d'où l'on déduit que :
 \sum_{n\in{\mathbb Z}} {4\over 1+4n^2}=2\sum_{n\in{\mathbb N}} {4\over 1+4n^2}-4 =2\pi\sum_{n\in{\mathbb Z}}e^{-\pi |n|}=4\pi\sum_{n\in{\mathbb N}}e^{-\pi |n|}-2\pi

donc
 \sum_{n\in{\mathbb N}} {4\over 1+4n^2} =2+2\pi\sum_{n\in{\mathbb N}}e^{-\pi |n|}-\pi

il ne reste plus qu'à calculer la série géométrique
 \sum_{n\in{\mathbb N}}e^{-\pi |n|}={1\over 1-e^{-\pi}}={e^\pi\over e^{\pi}-1}

pour obtenir que :
\sum_{n\in{\mathbb N}} {4\over 1+4n^2} =2+2\pi{e^\pi\over e^{\pi}-1}-\pi={(\pi+2)e^\pi+(\pi-2)\over e^{\pi}-1}

et la somme des termes pairs est :
\sum_{n\in{\mathbb N}} {1\over 1+4n^2} ={(\pi+2)e^\pi+(\pi-2)\over 4(e^{\pi}-1)}

De là on en déduit alors facilement la série des termes impairs :
\sum_{n\in{\mathbb N}} {1\over 1+(2n+1)^2}  =\sum_{n\in{\mathbb N}} {1\over 1+n^2}-\sum_{n\in{\mathbb N}} {1\over 1+(2n)^2} ={(\pi+1)e^{2\pi}+\pi-1\over 2(e^{2\pi}-1)} -{(\pi+2)e^\pi+(\pi-2)\over 4(e^{\pi}-1)}

puis la série alternée :\begin{eqnarray*}  \sum_{n=0}^\infty{(-1)^n\over 1+n^2} &=& 2\sum_{n\in{\mathbb N}} {1\over 1+(2n)^2}-\sum_{n\in{\mathbb N}} {1\over 1+n^2}\\ &=&{(\pi+2)e^\pi+(\pi-2)\over 2(e^{\pi}-1)}-{(\pi+1)e^{2\pi}+\pi-1\over 2(e^{2\pi}-1)} \end{eqnarray*}

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- \sum_{n=1}^\infty {1\over n^2}={\pi^2\over 6} s'obtient avec \sum_{n=1}^\infty {1\over n^2}={\pi^2\over 6}
- \mathbb R s'obtient avec {\mathbb R} et \mathcal D s'obtient avec {\mathcal D}
- pour les crochets \langle .,. \rangle dans les commentaires utilisez \langle .,. \rangle
vous pouvez écrire du html dans les commentaires :
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