limites de transformées de Fourier

Il existe beaucoup de manières pour calculer la transformée de Fourier d'une distribution , une technique amusante consiste à passer par un calcul de limite de distributions en utilisant que :
$$\lim_{n\to\infty}{f_n} ={f}\text{ dans }{\mathcal S}'\Longrightarrow \lim_{n\to\infty}\widehat{f_n} =\widehat{f}\text{ dans }{\mathcal S}' ~~~~~~(1)$$
La démonstration de la formule (1)  est élémentaire puisque montrer la convergence dans ${\mathcal S}'$ revient a calculer, pour tout $\phi \in {\mathcal S}$, la limite de  :
$$\langle \widehat{f_n},\phi\rangle =\langle{f_n}, \widehat{\phi}\rangle\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty}\langle{f}, \widehat{\phi}\rangle=\langle \widehat{f},\phi\rangle$$
Cette méthode est particulièrement intéressante quand la suite $f_n$ converge simplement vers une fonction $f\in {\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$ car alors la convergence  au sens des distributions  est immédiate.  Voici quelques exemples non-triviaux pour illustrer cette technique.


1. Transformée de Fourier de la fonction de Heaviside
On se donne la suite $(f_a)_{a>0}$
$$f_a(x)=e^{-ax}H(x)\mathop{\longrightarrow}_{a\to0^+}H(x)$$
où $H$ est la fonction de Heaviside. La transformée de Fourier de $f_a$ est facile à calculer  par la formule intégrale :
$$\widehat{f_a}(\xi)=\int_{\mathbb R}e^{-ix\xi}e^{-ax}H(x)dx=\left[{e^{(-a-i\xi)x}\over -a-i\xi}\right]_0^\infty ={1\over a+i\xi} ={i\over-\xi+i a}$$
on peut alors  en déduire la transformée de Fourier de la fonction de Heaviside ( enfin en utilisant le résultat du billet la convergence au sens des distributions  )
$$\widehat{H}(\xi)=\lim_{a\to 0^+}\widehat{f_a}(\xi) = i\lim_{a\to 0^+}{1\over -\xi+ia} = -iV.P.{1\over \xi}+\pi\delta(\xi)$$
À partir de ce résultat on peut retrouver la transformée de Fourier de la fonction signe :
$$\widehat{\rm sign}(\xi)=\widehat{H}(\xi)-\widehat{H}(-\xi)= -iV.P.{1\over \xi}+\pi\delta(\xi)-iV.P.{1\over \xi}-\pi\delta(\xi)=-2iV.P.{1\over \xi}$$

2. Transformée de Fourier de $x\mapsto {1\over\sqrt{|x|}}$

Dans le billet  un calcul de transformée de fourier j'ai calculé la transformation de Fourier suivante

$$g(t)={1\over \sqrt{t}}e^{-t}H(t) \Longrightarrow \hat{g}(\xi)=\sqrt{\pi}{\exp(-i\arctan(\xi)/2) \over (1+\xi^2)^{1/4}}$$
Je vais utiliser cette formule  mais en posant d'abord :
$$g_a(x)=\sqrt{a}g(ax)={\sqrt{a}\over \sqrt{ax}}e^{-ax}H(ax)={1\over \sqrt{x}}e^{-ax}H(x)\mathop{\longrightarrow}_{a\to0^+}={1\over \sqrt{x}}H(x)$$
et en utilisant que
$$\widehat{g_a(x)}={1\over\sqrt{a}}\widehat{g}\left({x\over a}\right)$$
car alors
$$\widehat{g_a(x)}=\sqrt{\pi}{\exp(-i\arctan(\xi/a)/2) \over (a^2+\xi^2)^{1/4}}\mathop{\longrightarrow}_{a\to0^+}\sqrt{\pi\over 2}{1-i{\rm sign}(\xi)\over\sqrt{|\xi|}}$$
où l'on a utilisé que $(\xi^2)^{1/4}=\sqrt{|\xi|}$ et que :
$$\exp(-i\arctan(\xi/a)/2)\mathop{\longrightarrow}_{a\to0^+} \left\{ \begin{array} {rcl} \exp(-i\pi/4) & si & \xi>0\\ 1&si&\xi=0\\ \exp(i\pi/4) & si & \xi<0 \end{array}  \right\} ={1-i{\rm sign}(\xi)\over \sqrt{2}}~~~~p.p.t. \xi\in{\mathbb R}$$
Pour retrouver la transformée de Fourier de $x\mapsto {1\over\sqrt{|x|}}$ il ne reste plus qu'à écrire que :
$$h(x)= {1\over\sqrt{|x|}}= {1\over\sqrt{|x|}}H(x)+ {1\over\sqrt{|x|}}H(-x)$$
on obtient que 
  $$\widehat{h}(\xi)=\sqrt{\pi\over 2}{1-i{\rm sign}(\xi)\over\sqrt{|\xi|}}+\sqrt{\pi\over 2}{1+i{\rm sign}(\xi)\over\sqrt{|\xi|}}=\sqrt{2\pi}{1\over\sqrt{|\xi|}}$$
On retrouve bien le résultat obtenu dans le billet http://rouxph.blogspot.fr/2012/11/une-distribution-proportionnelle-sa.html avec une méthode totalement différente reposant sur des calculs de limites simples!