convergence vs divergence d'une série

Décider de la convergence ou de la divergence d'une série est un exercice classique d'analyse. Il  existe une multitude de critères différents pour répondre à cette question, individuellement chaque critère est assez simple à utiliser quand on le teste sur les séries adaptées, mais dans la pratique face à une série quelconque il est facile de s'y perdre. Pour s'en sortir il faut  bien comprendre  l'ordre dans lequel  considérer chaque critère. Étudiant  c'est en visualisant les liens entre ces critères sous forme d'un diagramme que j'ai vraiment réussi à    les retenir et à les comprendre. En guise d'exercice de rentrée j'ai essayé de reconstituer avec LaTeX/pstricks ce "flow chart" stocké dans ma mémoire , voilà le résultat :

"flow chart" pour la convergence/divergence d'une série

Avant de  commencer je précise que je ne m'intéresse ici qu'aux séries convergente au sens où la suite de réels des sommes partielles  $(\sum_{k=1}^n u_k)_{n\in{\mathbb N}^*}$ vérifie le critère  de Cauchy. Dans ce cas on a une condition nécessaire de convergence qu'il faut toujours vérifier  avant de se lancer dans l'application de critères plus complexes :

$$\sum u_k\text{ converge}\Rightarrow \lim_{k\to\infty}u_k=0~~~~(1)$$

Par exemple la série $\sum_{k\geq 0} (-1)^k= 1-1+1-1+\dots$  est forcément divergente même si dans d'autres théories on peut lui attribuer la valeur $1/2$. Je tiens à dire aussi 

• l'ordre dans lequel  j’enchaîne certains critères est parfois arbitraire, par exemple : on peut très bien tester le critère de D'Alembert avent de tester le critère de Riemann, ou chercher à faire des regroupements de termes avant de chercher  un développement asymptotique ...
• dans ce diagramme à destination de mes étudiants certains critères  sont volontairement simplifiés pour ne pas rentrer dans des détails trop complexes, par exemple : je ne parle que du critère des séries alternées et pas du critère d'Abel,  je ne traite pas le critère de D'Alembert/Cauchy dans le cas $\lambda=1^+$, je ne traite pas de regroupement de termes autres que les termes pairs/impairs ...

séries à termes positifs

Une fois la condition (1) vérifiée  il faut vérifier si on a à faire à une série de termes positifs (au moins à partir d'un certain rang $n_0$).  En effet dans ce cas la suite des sommes partielles  est  croissante, donc si la suite est majorée  alors elle converge forcément (théorème de monotonie), a contrario si la suite des sommes partielles diverge elle tend forcément vers l'infini. la convergence de la série  dépend donc uniquement de la vitesse à laquelle la suite $(u_k)$ tend vers 0. Les critères de convergence pour les séries positives  consistent donc à comparer la vitesse de décroissance des $u_k$ par rapport à des séries connues.

convergence/divergence d'une série à termes positifs

Le cas le plus simple consiste à comparer $u_k$ avec des fractions rationnelles décroissantes , c'est le critère de Riemann qui est très adapté quand on peut trouver un équivalent au terme $u_k$ dans l'échelle des fonctions $k^n$:

Critère de Riemann par équivalents : si $u_k\sim_\infty {1\over k^\alpha}$ alors

• $\sum u_k $ converge si $\alpha>1$ 
• $\sum u_k $ diverge si $\alpha\leq 1$

Ce critère s'applique très bien pour des fractions rationnelles, ou si l'on peut utiliser des DL, par exemple :

•  $ u_k={\sqrt{k}+1\over k^2+1}\sim_\infty {1\over k^{3/2}}$ donc $\sum u_k $ converge
• $u_k=\sin(1/k)\sim_\infty {1\over k}$ donc $\sum u_k $ diverge

mais si on fait intervenir d'autres fonctions qui n'ont pas d'équivalents dans l'échelle des $k^n$,  comme  $\ln(k)$, alors il faut utiliser le critère de Riemann  sous forme de dominations/minorations :

Critère de Riemann par domination/minoration

•  si $u_k={\mathcal O}\left({1\over k^\alpha}\right)$ , $\alpha>1$ alors $\sum u_k $ converge 
• si ${1\over k^\alpha}={\mathcal O}\left(u_k\right)$  $\alpha\leq 1$ alors $\sum u_k $ diverge

Prenons l'exemple du logarithme qui vérifie quand $k\to\infty$ :

$$\ln(k)={\mathcal O}\left({k^\alpha}\right),~~~\forall \alpha>0$$

Cette domination signifie que le logarithme est négligeable devant n'importe qu'elle puissance positive, aussi petite soit-elle. Lors de l'utilisation de cette domination il faut donc faire attention au choix de $\alpha$ qui selon les cas doit être pris assez grand ou assez petit. Par exemple pour  $ u_k={\ln(k)\over k^2}$

•   si on prend $\ln(k)={\mathcal O}\left(k\right)$ alors $u_k={\ln(k)\over k^2}={\mathcal O}\left({1\over k}\right)$ ce qui ne permet pas de dire que $\sum u_k $ converge ($\alpha=1\leq1$) ni de conclure à sa divergence (la domination n'est pas dans le bon sens) 
• alors que si on prend $\ln(k)={\mathcal O}\left(\sqrt{k}\right)$ alors $u_k={\ln(k)\over k^2}={\mathcal O}\left({1\over k^{3/2}}\right)$ permet de conclure que $\sum u_k $ converge

De même pour l'utilisation du critère de Riemann à l'aide d'une minoration , par exemple pour  $ u_k={\ln(k)\over k}$

• si on prend $\ln(k)={\mathcal O}\left(\sqrt{k}\right)$ alors $u_k={\ln(k)\over k}={\mathcal O}\left({1\over \sqrt{k}}\right)$ ce qui ne permet pas de dire que $\sum u_k $ diverge (la domination n'est pas dans le bon sens)  et encore moins de conclure à sa convergence ($\alpha=1/2\leq1$)
• alors que si on écrit $\ln(k)>1$ (pour $n\geq 3$) on obtient ${1\over k}={\mathcal O}\left({\ln(k)\over k}\right)$ permet de conclure que $\sum u_k $ diverge

De la même manière que pour le critère de Riemann on peut comparer la vitesse de décroissance des $u_k$  à une décroissance exponentielle $\lambda^k$, si $0<\lambda<1$, ce qui permet de conclure à la converge de $\sum u_k$ par comparaison avec la  série géométrique $\sum \lambda^k$. C'est ce que permet de faire le critère de D'Alembert :

Critère de D'Alembert: Soit $\lambda=\lim_{k\to\infty}{ u_{k+1}\over u_k}$ alors

•  si $\lambda<1$ alors $\sum u_k$ converge
• si $\lambda>1$ alors $\sum u_k$ diverge

Ce critère est très bien adapté  aux suites contenant des termes de la forme $e^k$ ou des factorielles $k!$ . Par exemple pour $u_k={e^k\over k!}$ la série $\sum u_k$ converge puisque 

$$\lambda=\lim_{k\to\infty}{u_{k+1}\over u_k}=\lim_{k\to\infty}{ e^{k+1}k!\over (k+1)! e^k}=\lim_{k\to\infty}{ e\over k+1}=0<1$$

Il existe  une variante de ce critère appelée critère de Cauchy qui utilise :

$$\lambda=\lim_{k\to\infty}\left( u_k\right)^{1\over k}$$

qui est plus adapté à des termes avec du $k^k$. Par exemple pour $u_k={k^k\over e^k}$ la série $\sum u_k$ diverge puisque 

$$\lambda=\lim_{k\to\infty}\left( u_k\right)^{1\over k}=\lim_{k\to\infty}{ k\over e}=+\infty>1$$

au passage on peut remarquer que comme $\lambda>1$ la suite $u_k$ ne tend pas vers 0. Lorsque les critères précédents ne permettent pas de conclure on peut tenter une comparaison série/intégrale. Pour des fonctions monotones (décroissante dans notre cas) on peut encadrer les sommes partielles de la série $\sum f(k)$  par des intégrales  $\int_a^b f(t) dt$ comme ci-dessous :

comparaison série/intégrale

C'est justifié géométriquement car l'aire sous la courbe $\int_a^b f(t) dt$   est encadrée par la somme des aires  des rectangles en rouge qui valent $1\times f(k)$ . On en déduit donc le théorème :

Comparaison série/intégrale Si $f$  est une fonction positive et monotone alors la série $\sum f(k)$  et l'intégrale impropre $\int_a^\infty f(t) dt$  (en $t\to\infty$) sont de même nature

C'est  de cette manière qu'on établit le critère de Riemann, mais on peut  l'utiliser  pour d'autres types de séries à condition de trouver une primitive explicite pour la fonction $f$. Par exemple pour $f(k)={1\over k\ln(k)^\beta}$  on ne peut pas conclure  à la convergence ou à la divergence de $\sum f(k)$ par le critère de Riemann puisque on a seulement :

$$ \underbrace{1\over k^{1+\epsilon\beta}}_{\sum~converge}\leq {1\over k\ln(k)^\beta}\leq \underbrace{1\over k}_{\sum~diverge},~~~\forall \epsilon>0$$

mais en revenant à une comparaison série/intégrale on montre facilement que $\sum f(k)$ converge si et seulement si $\beta>1$ car :

$$\int_2^\infty {1\over t\ln(t)^\beta} dt= \int_2^\infty {(\ln(t))'\over \ln(t)^\beta} dt
=\left[-{1\over \beta \ln(t)^{\beta-1}}\right]_2^\infty=
\left\{\begin{array}{rcl}
\infty &si& \beta<1\\
{1\over \beta \ln(2)^{\beta-1}}<\infty &si& \beta>1
\end{array}\right.$$

dans le cas $\beta=1$ on trouve  aussi que l'intégrale diverge puisque :

$$\int_2^\infty {1\over t\ln(t)} dt= \int_2^\infty {(\ln(t))'\over \ln(t)} dt
=\left[\ln(\ln(t))\right]_2^\infty=\infty$$

La comparaison série/intégrales peut être améliorée pour obtenir des résultats plus précis, ou applicables à des fonctions qui ne sont pas monotones, c'est ce qu'on appelle alors la formule d'Euler-MacLaurin.

Séries à termes de signe quelconque

Lorsque la suite $(u_k)$  n'est pas positive, la question de la convergence de $\sum u_k$  est plus complexe.

convergence absolue et convergence simple pour des séries de signe quelconque

Comme  $\left\vert \sum u_k\right\vert<\sum \vert u_k\vert$ il faut commencer par vérifier  si $\sum \vert u_k\vert$  converge, ce qui implique la convergence de la série$\sum u_k$ :

Convergence absolue : si $\sum \vert u_k\vert$ converge alors $\sum  u_k$  converge aussi

Ce critère nous ramène à considérer une série à termes positifs $\sum \vert u_k\vert$, que l'on peut traiter avec les critères du premier paragraphe. Par exemple

•  $\sum {\cos(k)\over k^2}$ converge à l'aide du critère de Riemann pour $\alpha=2$ car ${\cos(k)\over k^2}={\mathcal O}\left({1\over k^2}\right)$
• Mais pour $\sum {\sin(k)\over k}$ on ne peut pas conclure  car on a seulement ${\sin(k)\over k}={\mathcal O}\left({1\over k}\right)$

En effet même si $\vert u_k\vert $ décroit trop lentement vers 0 pour que $\sum \vert u_k\vert $ converge, des changements de signes  entre termes consécutifs peuvent  créer des  compensations qui rendent la série convergente. C'est ce qu'on appelle une série semi-convergente par opposition aux séries absolument convergentes. Le cas le plus simple est celui des séries alternées :

Critère des séries alternées  : si $u_k=(-1)^ka_k$  avec $a_k$  positive et décroissante  alors $\sum u_k$  converge

Ce critère  permet de montrer  que des séries qui ne convergent pas absolument sont quand même convergentes :

•  $\sum {1\over \sqrt{k}}$  diverge mais  $\sum {(-1)^k\over \sqrt{k}}$  converge car ${1\over \sqrt{k}}$  est positive et décroissante
• par contre on ne peut pas conclure pour $\sum {(-1)^k\over \sqrt{k}+(-1)^k}$  car ${1\over \sqrt{k}+(-1)^k}$  n'est jamais monotone !

Ce critère des séries alternées peut être vu comme un cas particulier  du critère d'Abel

Critère d'Abel :si $u_k=a_kb_k$  avec $a_k$  positive et décroissante et $\sum_m^n b_k$ est uniformément  bornée :
$\vert \sum_m^n b_k\vert <M,\forall n,m\in{\mathbb N}$  alors $\sum u_k$  converge

dans le cas où $b_k=(-1)^k$  il est facile de vérifier que $\vert\sum_m^n b_k\vert=0$ ou 1, vérifie donc bien l'hypothèse du critère d'Abel. Ce critère d'Abel permet de montrer que $\sum {\sin(k)\over k}$ converge en utilisant que

$$\sum_n^m\sin(k)=\Im\left(\sum_n^m e^{ik}\right)=\Im\left( e^{in}{e^{i(m-n+1)}-1\over e^{i}-1}\right)
\Rightarrow \vert\sum_n^m\sin(k) \vert \leq {2\over \vert e^i-1\vert}
$$

Dans cet exemple on voit bien qu'il est  souvent difficile d'obtenir la condition "$\sum b_k$ est borné", c'est pourquoi je n'enseigne pas vraiment ce critère d'Abel à mes étudiants. D'autant plus que d'autres techniques sont parfois plus simples et plus efficaces, comme l'utilisation de développements asymptotiques (DA).

Théorème : si $u_k=v_k+{\mathcal O}(w_k)$  avec $w_k$  absolument convergente alors $\sum u_k$ et $\sum v_k$ sont de même nature.

Ce critère marche  très bien pour montrer  que   $\sum {(-1)^k\over \sqrt{k}+(-1)^k}$ diverge  en utilisant le DL ${1\over 1+u}=1-u +{\mathcal O}\left(u^2\right)$ :

$$\begin{align*}
{(-1)^k\over \sqrt{k}+(-1)^k}
&={(-1)^k\over \sqrt{k}}\left({1\over 1+{(-1)^k\over \sqrt{k}}}\right)\\
&= {(-1)^k\over \sqrt{k}}\left(1-{(-1)^k\over  \sqrt{k}}+{\mathcal O}\left({1\over  k}\right)\right)\\
&= \underbrace{(-1)^k\over \sqrt{k}}_\text{converge}-\underbrace{1\over  k}_\text{diverge}+{\mathcal O}\left({1\over  k^{3/2}}\right)
\end{align*}$$

De la même manière on peut montrer que $\sum {(-1)^k\over k+(-1)^k}$  converge (ce qu'on ne peut pas montrer à l'aide du critère des séries alternées. Mais on peut aussi  traiter ce cas avec une autre technique assez astucieuse : celle de séparation/regroupement de termes.  La version la plus simple  de cette méthode consiste à regrouper les termes pairs et impair d'une série.

Regroupement de termes : si $\lim_{k\to\infty}u_k=0$  alors $\sum_{k\geq 1} u_k$ et  $\sum_{k\geq 1} u_{2k}+u_{2k-1}$ sont de même nature, et quand les  séries convergent elles ont la même valeurs.

Pour $\sum {(-1)^k\over k+(-1)^k}$   ce critère permet de conclure à la convergence de $\sum_{k\geq 1} u_{2k}+u_{2k-1}$ via le critère de Riemann:

$$\begin{align*}
{(-1)^{2k}\over 2k+(-1)^{2k}}+{(-1)^{2k-1}\over 2k-1+(-1)^{2k-1}}
&= {1\over 2k+1}-{1\over 2k-2}\\
&= {(2k-2)-(2k+1)\over (2k+1)(2k-2)}\\
&= {-3\over (2k+1)(2k-2)}\sim_\infty {-3\over 4k^2}
\end{align*}$$

On peut même dans ce cas calculer la valeur de la série en se ramenant à $\sum_{k\geq 1} {(-1)^k\over k}=-\ln(2)$  (voir ce billet )

$$\begin{align*}
\sum_{k\geq 2} {(-1)^k\over k+(-1)^k}
&= {1\over 3}-{1\over 2}+{1\over 5}-{1\over 4}+\dots\\
&= -1-\left( -{1\over 1}+{1\over 2}-{1\over 3}+{1\over 4}-{1\over 5}+\dots\right)\\
&= -1-\sum_{k\geq 1} {(-1)^k\over k}=\ln(2)-1
\end{align*}$$