valeurs propres de l'oscillateur harmonique quantique

la physique quantique  fournie de nombreuses équations  dont la résolution conduit à des problèmes d'équations au dérivées partielles difficiles à résoudre sauf dans quelques cas "modèles" dont l'étude est très importante aussi bien pour la physique que pour les mathématiques.  Parmi ces problèmes un des plus fameux est celui des valeurs propres de l'oscillateur harmonique quantique :

$$ H u(x)=-\Delta u(x)+x^2 u(x)=\lambda u(x),~~~u\in{\mathbb L}^2({\mathbb R})$$

premières valeurs et vecteur propres de l'oscillateur harmonique quantique

D'un point de vu physique cette équation relie la fonction d'onde $u(x)$ de la particule (un électron par exemple) à son énergie $\lambda$ lorsqu'elle évolue dans le  potentiel électrique $V(x)=x^2$. La quantité $|u(x)|^2$  indique la probabilité de présence (une densité) de la particule au point $x$  et  le fait majeur est que les solutions de cette équation de Schrödinger correspond à des valeurs discrète positives $\lambda_1,\lambda_2,\dots$  (les fameux quanta d'énergie). Le profil des fonctions d'onde $u(x)$ montre que la particule  va être confinée dans la zone le potentiel $x^2\leq \lambda$  ce qui correspond au comportement classique d'une particule dans un puits de potentiel.

D'un point de vu mathématique $H$ est un opérateur linéaire sur ${\mathbb L}^2({\mathbb R})$  non borné mais quand même auto-adjoint (et défini positif) pour le produit scalaire :

$$\langle u,v\rangle = \int_{\mathbb R} u(x)\overline{v(x)} dx$$
D'après le théorème de strum-Liouville cet opérateur  est diagonalisable dans une base de vecteurs propres associés à une suite discrète de valeurs propres positives (et donc croissante vers l'infini).

Pour  trouver une représentation explicite des vecteurs propres , on commence par remarquer que si on cherche des solutions qui décroissent vers 0 lorsque $x\to\pm\infty$, comme   $x^2>>\lambda$  on peut  écrire que :

$$ u''(x)=(x^2-\lambda) u(x) \approx x^2 u(x)
\Rightarrow
u'(x)\approx \pm x u(x)
\Rightarrow
u(x)\approx  e^{-x^2\over 2} ~~ou~~ e^{x^2\over 2} $$
On ne retient que la première forme, pour que $u(x)$ tende bien vers 0, et on pose donc que $u(x)=p(x) e^{-x^2\over 2}$ pour chercher une nouvelle équation sur $p(x)$ :
$$\begin{align*}
u'(x)&=p'(x)e^{-x^2\over 2}-xp(x)e^{-x^2\over 2}\\
u''(x)&= p''(x)e^{-x^2\over 2}-2xp'(x)e^{-x^2\over 2}+x^2p(x) e^{-x^2\over 2}-p(x)e^{-x^2\over 2} \\
-u''(x)+x^2u(x)&=(p(x)-2xp'(x) -p''(x))e^{-x^2\over 2}=\lambda p(x)e^{-x^2\over 2}
\end{align*} $$
on est maintenant ramené à résoudre l'équation :
$$ L(p(x))= p(x)-2xp'(x) -p''(x)=\lambda p(x)$$

Comme cette fois l'opérateur $L$  est un endomorphisme  sur l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à $k$ (pour tout $k$)  il suffit de vérifier que $L$ est diagonalisable pour récupérer les valeurs propres $\lambda_k$ de $H$ et une  base de vecteurs propres  de la forme $p_k(x)e^{-x^2\over 2}\in {\mathbb L}^2({\mathbb R})$. Il suffit d'écrire la matrice $M$ de $L$ dans la base canonique pour voir que ce problème est très simple à résoudre. Comme  :

$$ L(x^k)= x^k-2x(kx^{k-1})-k(k-1)x^{k-2}= (2k-1) x^k-k(k-1)x^{k-2}$$
la matrice $M$ est triangulaire :
$$M=\begin{pmatrix}
1        & 0     & -2         & 0           &\dots        &\dots    & 0\\
0        & 3     & 0            &      -6        &\ddots        &          & \vdots\\
\vdots    & 0     & 5         & 0             & -12        &\ddots        & \vdots\\
\vdots    &         & 0         & 7         & 0            &  \ddots     & 0\\
\vdots    &         &            &\ddots        &\ddots        &\ddots & -n(n-1)\\
\vdots    &          &             &             & 0            &2n-1   &0\\
0        & \dots & \dots        & \dots        & 0            &0        &2n+1
\end{pmatrix}$$

les valeurs propres sont donc $\lambda_k=2k-1$ (valeurs sur la diagonale) et la matrice est bien diagonalisable (toutes les valeurs propres sont différentes). Les premiers vecteurs propres  sont faciles à calculer :

$$u_1(x)=e^{-x^2\over 2}, u_2(x)=x e^{-x^2\over 2}, u_3(x)=(x^2-1/2)e^{-x^2\over 2},\dots$$
Les polynômes $p_k$  sont en fait des polynômes de Hermite on peut les  retrouver d'une manière totalement différente en introduisant  les opérateurs  $A$ et $A^*$ (son conjugué) définis par
$$A=(-\partial_x +x)~~~~A^*=(\partial_x+x)$$
ces 2 opérateurs vérifient les relations de commutation :
$$\begin{align*}
 AA^*&=(-\partial_x +x)(\partial_x +x)=-\partial_x^2 +x^2-1=H-1\\
A^*A&=(-\partial_x +x)(\partial_x +x)=-\partial_x^2 +x^2+1=H+1
\end{align*} $$
 de sorte que si $u_k$ est une fonction propre associée à $\lambda_k$ alors on a :
$$\begin{align*}
HAu_k&= (AA^*+1)Au_k= A(A^*A+1)u_k= A(H+2)u_k=(\lambda_k+2) Au_k\\
HA^* u_k&= (A^*A-1)A^*u_k= A^*(AA^*-1)u_k= A^*(H-2)u_k=(\lambda_k-2) A^*u_k\\
\end{align*} $$
ce qui veut dire que :

•  $Au_k$ est un vecteur propre associé à $\lambda=\lambda_k+2$
•  $A^*u_k$ est un vecteur propre associé à $\lambda=\lambda_k-2$

en partant de $u_1(x)=e^{-x^2/2}$  (vecteur propre associé à $\lambda_1=1$ ) et en calculant la suite des $A^{k-1}u_1(x)$ ($k=1,2,\dots$ ) on est certain de reconstituer une base de l'espace ${\mathbb L}^2({\mathbb R})$ car à chaque dérivation

$$ A u_k(x)= (-p_k'(x)+2xp_k(x))e^{-x^2/2}=u_{k+1}(x)=p_{k+1}(x)e^{-x^2/2}
\Rightarrow p_{k+1}(x)=-p_k'(x)+2xp_k(x)$$
donc $A u_k$ sera de degré $k+1$  et on aura toutes les fonctions de la forme $x^k e^{-x^2/2}$ qui engendrent un sous espace dense de ${\mathbb L}^2({\mathbb R})$ . Les valeurs propres vérifient alors bien 
$$ \lambda_k=\lambda_{k-1}+2\Rightarrow \lambda_k=2(k-1)+\lambda_1=2k-1$$
Les opérateurs $A$ et $A^*$ sont appelés en physique quantique opérateurs de création et annihilation et leur propriétés se généralisent à d'autre cas.