Théorie spectrale en dimension infinie

Pour une application linéaire $A:{\mathcal H}\longrightarrow{\mathcal H}$ sur un espace vectoriel normé $\mathcal H$ le spectre de l’opérateur $A$ est l’ensemble des valeurs $\lambda\in{\mathbb C}$ telles que $A-\lambda\,Id$ ne soit pas inversible. Si $\mathcal H$ est un espace vectoriel de dimension finie le spectre se réduit à l’ensemble des valeurs propres de $A$ : $$\sigma(A)=\{\lambda \in{\mathbb C}\vert \exists {\bf u}\neq {\bf 0},\; A{\bf u}=\lambda\,{\bf u}\}$$ Il n’en va pas de même dans les espaces vectoriels normés de dimension infinie (espace de Banach) où la notion de spectre est beaucoup plus riche et complexe. Il existe plusieurs subdivisions du spectre qu’on a souvent tendance à mélanger . Pour s’y retrouver il vaut mieux avoir en tête quelques exemples simples pour chaque type de spectre.

spectre ponctuel, continu et résiduel

En dimension finie le théorème du rang nous assure qu’un opérateur linéaire $A$ est inversible dès que $A-\lambda\,Id$ est injectif puisque : $${\rm dim}_{\mathbb C} ({\rm Ker}(A-\lambda\,Id))+{\rm dim}_{\mathbb C} ({\rm Im}(A-\lambda\,Id))={\rm dim}_{\mathbb C} ({\mathcal H})$$ Mais ce n’est plus vrai en dimension infinie, car il faut aussi considérer les cas où $A-\lambda\,Id$ n’est pas surjectif : ${\rm Im}(A-\lambda\,Id)\varsubsetneq {\mathcal H}$. Pour un opérateur continu (où seulement fermé) le spectre sera un sous-ensemble fermé $\sigma(A)\subset \{\lambda\in{\mathbb C}\vert\; \vert \lambda\vert\leq \Vert A\Vert\}$ qu’on décompose en trois parties disjointes : $$\sigma(A)=\sigma_p(A)\cup\sigma_c(A)\cup\sigma_r(A)$$

spectre ponctuel

si $A-\lambda\,Id$ n’est pas injectif soit ${\rm Ker}(A-\lambda\,Id)=\{{\bf 0}\}$ : $$\sigma_p(A)=\{\lambda \in {\mathbb C}\vert {\rm ker}(A-\lambda\,Id)\neq \{0\}\}$$

spectre continu

si $A-\lambda\,Id$ n’est pas surjectif mais quand même d’image dense dans ${\mathcal H}$ $$\sigma_c(A)=\{\lambda \in {\mathbb C}\vert {\rm ker}(A-\lambda\,Id)= \{0\}\;et\; {\rm Im}(A-\lambda\,Id)\varsubsetneq {\mathcal H}\;et\; \overline{{\rm Im}(A-\lambda\,Id)}={\mathcal H}\}$$

spectre résiduel

si $A-\lambda\,Id$ n’est pas surjectif mais pas d’image dense dans ${\mathcal H}$ $$\sigma_r(A)=\{\lambda \in {\mathbb C}\vert {\rm ker}(A-\lambda\,Id)= \{0\}\;et\; {\rm Im}(A-\lambda\,Id)\varsubsetneq {\mathcal H}\;et\; \overline{{\rm Im}(A-\lambda\,Id)}\neq{\mathcal H}\}$$

Le spectre résiduel est le plus difficile à comprendre, dans le cas où $\mathcal H$ est un espace de Hilbert on peut utiliser que  

$${\mathcal H} = {{\rm Im}(A-\lambda\,Id)} \oplus {{\rm Im}(A-\lambda\,Id)}^\bot = {{\rm Im}(A-\lambda\,Id)} \oplus \overline{{\rm Ker}(A^*-\overline{\lambda}\,Id)}$$ ce qui donne une caractérisation plus simple du spectre résiduel :

Proposition Pour tout opérateur linéaire sur l’espace de Hilbert $\mathcal H$ on a :  
$$\lambda\in\sigma_r(A)\Leftrightarrow \lambda\notin \sigma_p(A)\;et\;\overline{\lambda}\in\sigma_p(A^*)$$
En particulier si $A$ est auto-adjoint $\sigma_p(A)=\sigma_p(A^*)\subset {\mathbb R}$ et forcément $\sigma_r(A)={\varnothing}$ .

calcul du spectre sur quelques exemples

1. spectre continu

On considère l’espace vectoriel ${\mathcal H}=l^2({\mathbb N})$, des suites ${\bf x}=(x_n)_{\mathbb N}$ de carré sommable, et l’opérateur $A(x_n)_{\mathbb N}=(a_nx_n)_{\mathbb N}$, associée à une suite à valeurs dans ${\mathbb R}^*_+$ telle que $a_n\mathop{\sim}_{n\to\infty} {1\over n^\alpha},\, \alpha>0$ on va voir que $$\sigma(A)=\overline{\{a_k\vert k\in{\mathbb N}\}}=\underbrace{\{a_k\vert k\in{\mathbb N}\}}_{=\sigma_p(A)}\cup\underbrace{\{0\}}_{=\sigma_c(A)}$$

• comme $A=A^*$ et il n’y a pas de spectre résiduel, de plus $a_n\to 0$ la suite est bornée et $\Vert A\Vert=\Vert a\Vert_\infty$ donc $\sigma(A)\subset\{\lambda \in {\mathbb R}\vert\; \vert \lambda\vert\leq \Vert a\Vert_\infty\}$.
• si $\lambda\notin\overline{\{a_k\vert k\in{\mathbb N}\}}$ alors $A-\lambda\,Id$ est inversible car $$(A-\lambda\,Id)(x_n)=((a_n -\lambda)x_n)={\bf y}\Rightarrow x_n={y_n\over a_n-\lambda }\sim_\infty-{y_n\over \lambda}\in {\mathcal H}$$
• ensuite tout $\lambda=a_k$ est valeur propre de $A$ avec pour vecteur propre la suite $(x_n)_{\mathbb N}$ tel que $x_n=\delta_{n,k}$ (un seul terme non-nul en position $n$) donc $\sigma_p(A)={\{a_k\vert k\in{\mathbb N}\}}$
• même si $a_n\neq 0,\forall n$ on ne peut pas inverser $A$ car son image n’est pas égale à ${\mathcal H}$ $$A(x_n)=(a_nx_n)={\bf y}=\left({1\over n^{1/2+\alpha}}\right)\Rightarrow x_n={y_n\over a_n}\sim{1\over n^{1/2}}\notin {\mathcal H}$$ cependant l’image est bien dense puisqu’elle contient les suites $$x_k={y_k\over a_k}{\mathbf 1}_{[0,n]}(k)\in {\mathcal H},\forall n$$ On a donc que $\sigma_c(A)=\{0\}$ .

Cet exemple est fondamental car $A$ semble être la généralisation la plus simple d’un opérateur diagonalisable en dimension infinie, pourtant le spectre ne se limite pas aux valeurs propres, la valeur $0$ qui est dans l’adhérence de $\sigma_p(A)$ vient s’ajouter au spectre mais elle est de nature différente.

2. opérateur de décalage

On considère encore l’espace de Hilbert ${\mathcal H}=l^2({\mathbb N})$ avec cette fois l’opérateur de décalage “ à droite” $A(x_n)_{\mathbb N}=(x_{n+1})_{\mathbb N}$ et son adjoint $A^*(x_n)_{\mathbb N}=(0,x_0,x_1,\dots)_{\mathbb N}$ on va voir que $$\sigma(A)=\{\lambda\in{\mathbb C}\vert \;\vert \lambda\vert\leq 1\}=\underbrace{\{\lambda\in{\mathbb C}\vert \;\vert \lambda\vert< 1\}}_{=\sigma_p(A)}\cup\underbrace{\{\lambda\in{\mathbb C}\vert \;\vert \lambda\vert= 1\}}_{=\sigma_c(A)}$$ et $$\sigma(A^*)=\{\lambda\in{\mathbb C}\vert \;\vert \lambda\vert\leq 1\}=\underbrace{\{\lambda\in{\mathbb C}\vert \;\vert \lambda\vert< 1\}}_{=\sigma_r(A^*)}\cup\underbrace{\{\lambda\in{\mathbb C}\vert \;\vert \lambda\vert= 1\}}_{=\sigma_c(A^*)}$$

• comme $\Vert A\Vert=1=\Vert A^*\Vert$ on a $\sigma(A)$ et $\sigma(A^*)\subset \{\lambda\in{\mathbb C}\vert\; \vert \lambda\vert\leq 1\}$
• si $\vert\lambda\vert<1$ alors $$A(x_n)=\lambda(x_n)\Rightarrow x_{n+1}=\lambda x_n\Rightarrow x_n=\lambda^n x_0 \in {\mathcal H} \text{ (décroissance géométrique)}$$ mais aussi $$A^*(x_n)=\lambda(x_n)\Rightarrow x_{n-1}=\lambda x_n\Rightarrow x_n={x_0\over\lambda^n}=0 \text{ (car $x_0=0$) }$$ donc $\lambda$ est une valeur propre simple de $A$ mais pas une valeur propre de $A^*$, comme $\vert\bar\lambda\vert<1$ ce résultat est aussi valable pour $\bar \lambda$ et on en déduit que : $$\sigma_p(A) =\{\lambda\in{\mathbb C}\vert \;\vert \lambda\vert< 1\} =\sigma_r(A^*)$$
• si $\vert\lambda\vert=1$ alors il n’y a pas de valeur propre pour $A$ $$A(x_n)=\lambda(x_n)\Rightarrow x_{n+1}=\lambda x_n\Rightarrow x_n=\lambda^n x_0 \notin {\mathcal H} \text{ ( série même pas convergente)}$$ ni pour $A^*$ donc $\lambda\notin\sigma_r(A)$. Le spectre étant fermé on en déduit que $\lambda\in\sigma_c(A)$ et de même pour $A^*$ .

Cet exemple montre bien à quel point le spectre résiduel est difficile à appréhender.

3. opérateur de multiplication des fonctions

On considère maintenant l’espace vectoriel ${\mathcal H}={\mathbb L}^2({\mathbb R})$, des fonctions $x\mapsto f(x)$ de carré intégrable, et l’opérateur $Af(x)=a(x) f(x)$, associée à une fonction assez régulière $a\in C^\infty\cap{\mathbb L}^\infty({\mathbb R})$ à valeurs réelles alors $$\sigma(A)=\overline{\{a(x)\vert x\in{\mathbb R}\}}\; et\, \left\{ \begin{array}{rcl} \sigma_p(A)&=&\{\lambda\vert \exists x_0\in{\mathbb R},\,\epsilon>0,\forall \vert x-x_0\vert\leq\epsilon,\,a(x)=\lambda\}\\ \sigma_c(A)&=&\{a(x)\vert \exists k\in{\mathbb N}^*,\, a^{(k)}(x)\neq 0\} \end{array} \right.$$

• comme $A=A^*$ il n’y a pas de spectre résiduel $\sigma_r(A)={\varnothing}$ et $\sigma(A)\subset{\{\lambda\in{\mathbb R}\vert\; \vert\lambda\vert \leq \Vert a\Vert_\infty\}}$
• si $a^{-1}(\lambda)$ est un ensemble discret (ou vide!) alors $\lambda$ ne peut pas être une valeur propre $$(Af(x)=a(x)f(x)=\lambda\,f(x)\Rightarrow (a(x)-\lambda)f(x)=0\, \forall x\in{\mathbb R}\Rightarrow f(x)=0\,ppt-x\in {\mathbb R}$$ c’est le cas si $\lambda \in \{a(x)\vert \exists k\in{\mathbb N}^*,\, a^{(k)}(x)\neq 0\}$
• au contraire si $a(x)$ est constante sur un petit intervalle alors pour $\lambda=a(x),\forall x\in[x_0-\epsilon,x_0+\epsilon]$ avec $\epsilon>0$ et toute fonction $f\in C^\infty_0([x_0-\epsilon,x_0+\epsilon])$ on a $Af(x)=a(x)f(x)=\lambda f(x)$ donc $\lambda$ est une valeur propre, qui est en plus de multiplicité infinie !

Il faut comparer cet exemple au premier sur l’espace $l^2({\mathbb N})$ le fait de remplacer $\mathbb N$ (discret) par $\mathbb R$ (continu) fait que le spectre n’est pas ponctuel mais continu sauf pour quelques valeurs exceptionnelles.

spectre discret et spectre essentiel

Aux trois définitions de spectre ponctuel, continu et résiduel s’ajoutent ensuite celles des spectres discret et essentiel :

spectre discret

Il s’agit des valeurs propres isolées et de multiplicité finie c’est à dire si $$\sigma_d(A)=\{\lambda \in \sigma_p(A)\vert \dim_{\mathbb C}({\rm ker}(A-\lambda\,Id))<\infty\;et\; \lambda\notin\overline{\sigma_p(A)\setminus\{\lambda\}}\,\}$$

spectre essentiel

le complémentaire du spectre discret $$\sigma_{ess}(A)=\sigma(A)\setminus \sigma_d(A)$$

il existe une caractérisation simple du spectre essentiel par les suites de Weyl

Théorème $\lambda\in\sigma_{ess}(A)$ si et seulement si $$\exists ({\bf u}_n)\in{\mathcal H},\, \Vert {\bf u}_n\Vert=1,\, \Vert A{\bf u}_n-\lambda{\bf u}_n\Vert \mathop{\rightarrow}_{n\to\infty}0,\,et\, \not\exists \text{ pas de sous-suite convergente de }({\bf u}_n)_{\mathbb N}$$
la suite $({\bf u}_n)_{\mathbb N}$ est appelée suite de Weyl associée à $\lambda$.

Si $\lambda$ est une valeur propre de multiplicité infinie une suite de vecteurs propres est évidement une suite de Weyl, inversement $A-\lambda\,Id$ n’est pas inversible car sinon en prenant ${\bf v}_n=A{\bf u}_n-\lambda{\bf u}_n$ on aurait une contradiction: $$1=\Vert {\bf u}_n\Vert=\Vert (A-\lambda\,Id)^{-1} {\bf v}_n\Vert \leq \Vert (A-\lambda\,Id)^{-1} \Vert\times \Vert {\bf v}_n\Vert \mathop{\rightarrow}_{n\to\infty}0$$ Les suites de Weyl permettent de montrer que le spectre essentiel est la partie stable du spectre lorsqu’on ajoute une perturbation compacte à l’opérateur de départ :

Théorème Soient $A,K:{\mathcal H}\rightarrow{\mathcal H}$ linéaires avec $K$ compact alors $\sigma_{ess}(A)=\sigma_{ess}(A+K)$

Une suite de Weyl $({\bf u}_n)_{\mathbb N}$ pour $A$ contient forcément une sous-suite faiblement convergente (par le théorème de Alaoglu qui assure de la compacité de la boule unité de $\mathcal H$ pour la topologie faible) et $Ku_n$ converge vers $\bf 0$ pour la topologie forte (car $K$ est compact) quitte à remplacer $({\bf u}_n)_{\mathbb N}$ par une sous-suite convergente. On en déduit que c’est aussi une suite de Weyl pour $A+K$  

$$\Vert (A+K){\bf u}_n-\lambda {\bf u}_n\Vert\leq\Vert A{\bf u}_n-\lambda {\bf u}_n\Vert +\Vert K{\bf u}_n\Vert \mathop{\rightarrow}_{n\to\infty}0+0=0$$ conclusion $\sigma_{ess}(A)\subset \sigma_{ess}(A+K)$ et réciproquement en prenant $B=A+K$ et $B-K=A$.

Calculs de spectres discrets et essentiels

Calculer une suite de Weyl revient à rechercher un vecteur propre “approché” de l’opérateur, c’est une méthode assez facile à mettre en pratique.

retour sur l’exemple 1

C’est une illustration directe du théorème de stabilité du spectre essentiel avec $A=0$ et $K(x_n)=(a_nx_n)$ sur $l^2({\mathbb N})$ qui est bien un opérateur compact puisque diagonal dans la base canonique avec sa suite de valeurs propres qui tend vers 0! Dans ce cas le spectre essentiel est réduit à $\{0\}$ est le même pour les deux opérateurs pourtant la perturbation compact transforme la valeur propre de multiplicité infini 0 en une suite de valeurs propres tendant vers 0.

retour sur l’exemple 2

l’opérateur de décalage “à droite” sur $l^2({\mathbb N})$

• pour $\vert\lambda\vert<1$ on considère une suite de $\lambda_n\mathop{\rightarrow}_{n\to\infty}\lambda$ qui sont des valeurs propres de $A$ alors les vecteurs propres associés ${\bf u}_n$ forment une suite de Weyl puisque $$\Vert A{\bf u}_n-\lambda {\bf u}_n\Vert =\Vert(\lambda_n-\lambda) {\bf u}_n\Vert=\vert\lambda_n-\lambda\vert \to 0$$
• pour $\vert\lambda\vert=1$ on considère une suite ${\bf u}_n={1\over \sqrt{n}}(1,\lambda,\lambda^2,\dots,\lambda^{n-1},0,0\dots)$ alors $$\Vert {\bf u}_n\Vert^2=\sum_{k=0}^{n-1}{\vert\lambda\vert^{2k}\over n}=1,\; \Vert A{\bf u}_n-\lambda {\bf u}_n\Vert =\left\Vert{1\over \sqrt{n}}(0,0,\dots,0,\lambda^{n},0,0\dots)\right\Vert={1\over \sqrt{n}} \to 0$$

donc que $\sigma_{ess}(A)=\{\lambda\in{\mathbb C}\vert \;\vert \lambda\vert\leq 1\}=\sigma(A)\Rightarrow \sigma_{d}(A)={\varnothing}$

retour sur l’exemple 3

On reprend l’exemple de l’opérateur $Af(x)=a(x) f(x)$, sur ${\mathcal H}={\mathbb L}^2({\mathbb R})$, associée à une fonction assez régulière $a\in C^\infty\cap{\mathbb L}^\infty({\mathbb R})$ à valeurs réelles alors $$\sigma_{ess}(A)=\overline{\{a(x)\vert x\in{\mathbb R}\}}$$ On construit facilement une suite de Weyl pour $\lambda=a(x_0)$ en prenant une suite de gaussienne de norme 1 dans ${\mathcal H}$ qui se concentre en $x=x_0$, soit ${\bf u}_n(x)= \left({n\over 2\pi}\right)^{1/4} e^{-n(x-x_0)^2\over 4}$, on aura par convergence dominée : $$\Vert A{\bf u}_n-\lambda {\bf u}_n\Vert^2 =\int_{\mathbb R} \vert a(x)-\lambda\vert^2 \sqrt{n\over 2\pi} e^{-n(x-x_0)^2\over 2} dx = \int_{\mathbb R} \left\vert a\left(x_0+{t\over \sqrt{n}}\right)-\lambda\right\vert^2 { e^{-t^2\over 2} \over \sqrt{2\pi}}dt \mathop{\rightarrow}_{n\to\infty}0$$ car

• $\left\vert a\left(x_0+{t\over \sqrt{n}}\right)-\lambda\right\vert^2 { e^{-t^2\over 2} \over \sqrt{2\pi}}\leq C e^{-t^2\over 2} \in {\mathbb L}^1({\mathbb R})$
• $\left\vert a\left(x_0+{t\over \sqrt{n}}\right)-\lambda\right\vert^2 { e^{-t^2\over 2} \over \sqrt{2\pi}}\mathop{\rightarrow}_{n\to\infty}\vert \lambda-\lambda\vert^2 e^{-t^2\over 2} =0,\, \forall x\in {\mathbb R}$

Pour $\lambda=\lim_{x\to\pm\infty}a(x)$ il suffit de prendre ${\bf u}_n(x)= \left({n\over 2\pi}\right)^{1/4} e^{-n(x\mp n)^2\over 4}$.