mardi 1 mai 2012

Limite d'une série semi-convergente et asymptotique d'une série divergente

Comme je le disais dans mon billet sur les séries de Fourier j'ai toujours été attiré par les formules exprimant simplement la somme d'une série, c'est une des choses qui m'a donné envie de faire des maths ! La première qui m'ait intéressé  est la formule suivante :

$$ \sum_{k=1}^\infty  {(-1)^k\over k} =-\ln(2)~~~~~~~~~~~~ (1)$$

Généralement pour prouver cette formule on pense d'abord à utiliser le développement en série entières de $\ln(1-x)$ obtenu à partir de la série géométrique :

$${1\over 1-x}= \sum_{k=1}^\infty  {x^k}\Rightarrow  -\ln(1-x)= \sum_{k=1}^\infty  {x^k\over k}$$

cependant cette formule  n'est valable que si $\vert x\vert <1$ et le passage à la limite quand $x\to1$ n'est pas si facile à justifier puisque la série obtenue pour $x=1$ est seulement semi-convergente. Pendant longtemps je n'ai connu que cette démonstration et ce n'est que récemment que je me suis aperçu qu'il existait une démonstration bien plus élégante reposant uniquement sur des calculs d'équivalents.


L'idée principale est de séparer les termes pairs des termes impairs dans la somme (1) :


$$ \sum_{k=1}^{2n+1} {(-1)^k\over k} =\left( \sum_{k=1}^{n} {1\over 2k} \right)-\left( \sum_{k=1}^{n} {1\over 2k+1} \right)$$

si on sait estimer les séries des termes pairs et impairs on doit pouvoir calculer la limite de la série convergente $(1)$. Pour cela partons du développement asymptotique de la série harmonique :

$$ \sum_{k=1}^n {1\over k} =\ln(n) +\gamma+O\left({1\over n}\right)~~~~~~~~~ (2)$$

où $\gamma=0,57721 56649 01532 86060\dots$ est la constante d'Euler. À partir de cette formule il est très facile d'estimer l'asymptotique de la série des termes pairs :
 
$$ \sum_{k=1}^n {1\over 2k}= {1\over 2}\sum_{k=1}^n {1\over k} ={1\over 2}\ln(n) +{\gamma\over 2}+O\left({1\over n}\right)~~~~~~~~~ (3)$$

Pour la série des termes impairs il suffit d'estimer la différence entre la série harmonique jusqu'au terme $2n+1$ et la série des termes pairs :

$$ \sum_{k=1}^n {1\over 2k+1} = \left( \sum_{k=1}^{2n+1} {1\over k}\right)-\left(\sum_{k=1}^n {1\over 2k}\right)$$

or on a

$$ \sum_{k=1}^{2n+1} {1\over k} =\ln(2n+1) +\gamma+O\left({1\over n}\right)
=\ln(n)+\ln(2)+\gamma+ O\left({1\over n}\right)$$

en utilisant le DL  $\ln(1+x)=x+O(x^2)$  valable quand en $x\to0$. On en déduit que :

$$ \sum_{k=1}^n {1\over 2k+1} ={1\over 2}\ln(n)+\ln(2) +{\gamma\over 2}+O\left({1\over n}\right)~~~~~~~~~ (4)$$

 au final il ne reste plus qu'à assembler les équations $(3)$ et $(4)$ pour obtenir la démonstration de $(1)$ :

 $$ \sum_{k=1}^{2n+1} {(-1)^k\over k} ={1\over 2}\ln(n) +{\gamma\over 2}-{1\over 2}\ln(n)-\ln(2) -{\gamma\over 2}+O\left({1\over n}\right)
 =-\ln(2) +O\left({1\over n}\right)$$

Cette technique marche pour un grand nombre de séries (semi-convergente) de la forme :

$\sum_{k=1}^\infty (-1)^k a_k$ avec $\displaystyle  a_k\mathop{\longrightarrow}_{k\to\infty}0 $    et    $\sum_{k=1}^n a_k=s_n+C^{ste}+o\left(1\right)$  avec $\displaystyle  s_n\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty}\infty $

Par exemple vous pouvez essayer de montrer ainsi que:

$$ \sum_{k=1}^\infty  (-1)^k{\ln(k)\over k} =\ln(2)\gamma-{\ln(2)^2\over 2}$$


2 commentaires:

  1. Salut, je te propose une autre méthode, aussi élégante et qui nous fait prendre conscience d'un fait : $\dispaystyle \int _0^1 x^n \mathrm{d}x =\frac{1}{n+1}$

    Voilà comment je procède : $$\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k}=\sum_{k=1}^n \int _0^1 (-1)^kx^{k-1}=$$
    Il suffit alors d'intervertir la somme et l'intégrale, de calculer la somme géométrique et de passer à la limite. C'est en fait la même méthode que la première mais vue dans l'autre sens, que je trouve plus "naturel".

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  2. oui, ce que tu écris c'est bien la première méthode que j'ai évoqué (écrite un peu différemment). Mais le but du billet c'était de montrer une méthode complètement différente basée sur une asymptotique et non sur un calcul exact de somme partielle ... méthode qui s'applique facilement à beaucoup plus de cas de la forme $\sum (-1)^k a_k$ dès lors que $a_k$ tend vers 0 quand $k\to\infty$.

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Pour écrire des formules mathématiques vous pouvez utiliser la syntaxe latex en mettant vos formules entre des "dollars" $ \$....\$ $ par exemple :
- $\sum_{n=1}^\infty {1\over n^2}={\pi^2\over 6}$ s'obtient avec \sum_{n=1}^\infty {1\over n^2}={\pi^2\over 6}
- $\mathbb R$ s'obtient avec {\mathbb R} et $\mathcal D$ s'obtient avec {\mathcal D}
- pour les crochets $\langle .,. \rangle$ dans les commentaires utilisez \langle .,. \rangle
vous pouvez écrire du html dans les commentaires :
- italique <i> ... </i> gras <b> ... </b>
- lien <a href="http://adresse "> .... </a>