une transformée de Fourier exotique

Pour calculer la TF d'une fonction  il est souvent très pratique d'effectuer le calcul au sens des distributions puis de justifier que la distribution obtenue est bien une distribution régulière. Cette technique m'a fait découvrir un calcul de TF que je crois n'avoir jamais vu avant (n'hésitez à me donner une référence si vous l'aviez déjà vu avant) :

Distributions à dérivée nulle

Déjà trois ans depuis l'ouverture de ce blog et voici enfin  le centième billet !!  Les lecteurs réguliers (merci à eux) auront remarqué que mon rythme de publication s'est bien ralenti depuis que j'ai intégré  une école d'ingénieur à la dernière rentrée. Mais j'ai la chance cette année de prendre en charge de nouveaux cours très intéressants , dont en particulier un cours d'analyse de Fourier avec un CM complet sur la théorie des distributions :-) Ce billet anniversaire est donc une bonne occasion de revenir  sur une question   évoquée dans l'un des tout  premiers billet publié sur ce blog:

Théorème Soit $T\in {\cal D}'$ une distribution telle que  $T'=0$ alors  $ T=C^\text{ste}$

Transformé de Fourier d'une Gaussienne complexe

Dans la série des calculs "simples" de transformées de Fourier de distribution, en voici un qui découle des intégrales de Fresnel (dont j'ai parlé récemment):

Théorème  la fonction $f(x)=e^{ix^2\over 2}$ définit une distribution tempérée telle que $$ \widehat{f}(\xi)={e^{i\pi/4}\over \sqrt{2\pi}}e^{-i{\xi^2\over 2}}={e^{i\pi/4}\over \sqrt{2\pi}} \overline{f}(\xi)$$

Intégrales de Fresnel

En théorie des distributions les oscillations "rapides" d'une fonction à l'infini  ont souvent des propriétés comparables  à une décroissance rapide à l'infini, elles permettent par exemple de donner un sens plus précis aux intégrales impropres de l'intégrale de Riemann. Pour comprendre cela l'exemple le plus important à étudier  est celui des intégrales de Fresnel

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}  e^{itx^2} dx=\sqrt{\pi\over \vert t\vert} e^{{\rm signe}(t)i{\pi\over 4}} ,~~~~\forall t\neq 0$$
ou encore
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}  \cos(x^2) dx=\sqrt{\pi\over 2}=\int_{-\infty}^{+\infty}  \sin(x^2) dx$$

Convolution d'une distribution par une distribution à support compact

Dans un premier billet  sur la convolution des distributions j'ai expliqué comment on peut définir la convolution d'une distribution par une fonction test. Cette définition est assez contraignante   car dans beaucoup d'applications on a besoin de pouvoir  convoler des distributions avec la distribution de Dirac $\delta$. Pour pouvoir  résoudre ce problème on va se contenter de considérer le cas d'une distribution à support compact :

Définition  soit $u\in{\mathcal E}'$ (distribution à support compact) et $v\in{\mathcal D}'$  alors $u*v$  est la distribution définie par
$$ \langle u*v,\varphi\rangle = \langle u, \langle v,\varphi(t+s)\rangle_s\rangle_t,~~\forall \varphi \in{\mathcal D}~~~(1)$$
de telle sorte que la définition (1) coïncide avec  la définition usuelle de la convolution si $v$  est une fonction test et/ou $u$  est une distribution régulière.

Convolution des distributions par des fonctions tests

Comme pour la transformation de Fourier  on aimerait étendre la convolution aux distributions tout en conservant les propriétés  de base de la convolution des fonctions (en particulier les liens avec la transformation de Fourier).  Ce n'est pas une chose facile car la convolution des fonctions n'est déjà pas définie dans de nombreux cas et lorsqu'on passe aux distributions les choses deviennent encore plus compliquées ... A mon avis pour bien comprendre il faut  commencer par regarder un cas simple: le cas de la convolution d'une distribution par une fonction test:

Définition Soit $u\in {\mathcal D}'$ et $\phi,\varphi\in {\mathcal D}$ alors la convolution $\phi*u $  est la distribution  définie par 
$$ \langle \phi*u ,\varphi \rangle = \langle u ,\check{\phi }*\varphi\rangle, ~~\forall \varphi\in {\mathcal D}~~~~~(1)$$
de telle sorte que si  $u$  est une distribution régulière (donc une fonction définie presque partout) on retrouve bien à partir de (1)   la définition normale de la convolution des fonctions.

Transformée de Fourier de arctan(1/x)

En consultant les statistiques de mon blog j'ai constaté qu'un certain nombre de personnes sont arrivés ici en effectuant une recherche sur Google avec le comme mot clé "transformée de Fourier de arctan(1/x)". Je n'avais jamais rencontré ce calcul auparavant mais c'est effectivement un exercice assez intéressant qui conduit au résultat

$$f(x)=\arctan\left({1\over x}\right) \Longrightarrow \widehat{f}(\xi)=i\pi{e^{-\vert \xi\vert}-1\over \xi}$$

graphe de $\arctan(1/x)$

limites de transformées de Fourier

Il existe beaucoup de manières pour calculer la transformée de Fourier d'une distribution , une technique amusante consiste à passer par un calcul de limite de distributions en utilisant que :
$$\lim_{n\to\infty}{f_n} ={f}\text{ dans }{\mathcal S}'\Longrightarrow \lim_{n\to\infty}\widehat{f_n} =\widehat{f}\text{ dans }{\mathcal S}' ~~~~~~(1)$$
La démonstration de la formule (1)  est élémentaire puisque montrer la convergence dans ${\mathcal S}'$ revient a calculer, pour tout $\phi \in {\mathcal S}$, la limite de  :
$$\langle \widehat{f_n},\phi\rangle =\langle{f_n}, \widehat{\phi}\rangle\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty}\langle{f}, \widehat{\phi}\rangle=\langle \widehat{f},\phi\rangle $$
Cette méthode est particulièrement intéressante quand la suite $f_n$ converge simplement vers une fonction $f\in {\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$ car alors la convergence  au sens des distributions  est immédiate.  Voici quelques exemples non-triviaux pour illustrer cette technique.

Ordre d'une distribution

Voici une question intéressante posée sur ce blog  :

"Montrer que la distribution  définie par : $\displaystyle  < T ,\phi > = \sum_{k=1}^\infty {1\over k}\left(\phi\left({1\over k}\right)-\phi(0)\right)$  est d'ordre 1 et pas d'ordre 0"

la réponse à cette question n'est pas si facile à trouver  mais fait intervenir des éléments techniques classiques qu'on retrouve dans plusieurs démonstration  en théorie des distributions ...

Le théorème de Paley-Wiener

Dans mes précédents billets j'ai voulu expliquer ce qu'était la transformation de Fourier des Distributions  et comment on les calcule en pratique. Mais quand on enseigne la théorie des distributions à des élèves ingénieurs on se retrouve souvent face à   des calculs du type :

$$ \widehat{\delta}(\xi)=\int_{\mathbb R} e^{-ix\xi}\delta(x) dx= e^{-i0\xi}=1$$

le résultat est exact et pourtant le calcul n'a aucun sens puisque la distribution de Dirac $\delta$ n'est pas une fonction ${\mathbb L}^1({\mathbb R})$! Difficile de convaincre les étudiants de ne pas procéder de cette manière .... surtout quand il est possible de donner un sens rigoureux au calcul précédent!!!!

Théorème de Payley-Wiener  Soit $T$ une distribution à support compact alors $\widehat{T}$ est une distribution régulière associée à la fonction analytique  $\widehat{T}(\xi)=<T,e^{-ix\xi}>$

Transformée de Fourier du Peigne de Dirac

Parmi les distributions dont il faut connaître la transformée de Fourier (TF) figure  le peigne de Dirac (souvent noté avec le caractère cyrillique "sha"  Ш   * ) :

$ \displaystyle \unicode{x0428}_\alpha=\sum_{n\in{\mathbb Z}} \delta_{n\alpha}$ a pour TF :  $ \displaystyle \widehat{\unicode{x0428}_\alpha}={{2\pi}\over \alpha} \unicode{x0428}_{2\pi\over\alpha}$ 

 

 

 

Une distribution proportionnelle à sa transformée de Fourier

Un résultat important sur la transformation de Fourier (TF) est le calcul de la  TF de la fonction Gaussienne :
$$f(x)=e^{-x^2/2}\Rightarrow{\cal F}f(\xi)=\widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb R}e^{-ix\xi}f(x)dx=\sqrt{2\pi}e^{-\xi^2/2}=\sqrt{2\pi} f(\xi)$$
ce qui signifie que la fonction Gaussienne est un vecteur propre de $\cal F$. Lorsqu'on étend la transformation de Fourier aux distributions, on trouve que la fonction Gaussienne n'est pas la seule à vérifier l'équation $\widehat{T}=\sqrt{2\pi}T$ par exemple on a aussi  :
$$\widehat{1\over\sqrt{|x|}}(\xi)=\sqrt{2\pi}{1\over\sqrt{|\xi|}}$$

Transformée de Fourier de VP1/x

Dans deux billets précédents j'avais expliqué comment définir précisément la distribution VP1/x et la transformation de Fourier d'une distribution   la suite logique de tout cela était d'écrire un billet sur le calcul de la transformée de Fourier de la distribution VP 1/x  ! Le résultat (assez important en traitement du signal) est :
$$ \widehat{VP {1\over x}}(\xi) = {-2i\pi}\left(H(\xi) -{1\over 2}\right)={-i\pi}~{\rm sign }(\xi)~~~{\rm et}~~~\widehat{\rm sign}(\xi)=2i VP {1\over \xi}$$
où $H$ est la fonction de Heaviside et ${\rm sign}(x)=2H(x)-1$ est la fonction "signe de x" ( valant 1 si $x>0$ et -1 si $x<0$).

Transformation de Fourier des distributions

Dans un billet précédent j'ai parlé de la transformation de Fourier (TF) comme d'une transformation définie par l'intégrale:
$$ ({\mathcal F}f)(\xi)=\widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb R} e^{-ix\xi}f(x) dx~~~~(1)$$
cette formule n'est bien définie que si $f\in{\mathbb L}^1({\mathbb R})$ alors comment étendre cette définition à des  fonctions  comme  $f(x)=1$ ou $e^{iax}$ ou même à des distributions singulières comme $\delta$ ou ${\rm VP{1\over x}}$?

resommation des séries divergentes et théorie des distributions

Je suis tombé il y a quelques semaine sur une page web regroupant les actes des journées mathématiques X-UPS  et en particulier sur ceux de l'année 1991 consacrées aux séries divergentes et procédés de resommation  un sujet qui, lors de mes études, m'a toujours été présenté comme la part obscure de l’œuvre d'Euler ... c'est donc un bon sujet de "divertissement mathématique" en ce début de vacances :-). Le document commence d'ailleurs par une succulente  citation de Heaviside :

"This series is divergent, therefore we may be able to do something with it."

Convergence au sens des distributions

La théorie des distributions permet d'étendre de nombreux résultats sur les fonctions à des cas plus généraux tout en conservant la validité des résultats élémentaires sur les limites, la dérivation, la convolution, les transformées de Fourier. Cependant les résultats ne sont pas toujours intuitifs, surtout lorsqu'on manipule des fonctions qui ne sont pas localement intégrable ${\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$. Voici un exemple très simple où la convergence simple n'implique pas la convergence au sens des distributions :

 Théorème  au sens des distributions on a $ \displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0^+}{1\over x+i\varepsilon} = V.P.{1\over x}-i\pi\delta$

Valeur principale de 1/x

La théorie des distributions permet d'étendre aux fonction localement intégrables  (${\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$) un grand nombres de techniques aux départ définies pour des fonctions $C^\infty$. Mais comme souvent en mathématique on voudrait étendre ces techniques à encore plus de cas ... en particulier à des fonctions qui ne sont pas localement intégrable! Pour démarrer demandons nous comment associer une distribution $T$ à la fonction $x\longrightarrow {1\over x}$? Il est possible de définir l'action sur des fonctions tests dont le support ne contient pas 0 :

$$<T,\phi>=\int_{\mathbb R} {1\over x}\phi(x) dx ,~~~~\forall \phi\in{\mathcal D}({\mathbb R}^*)$$

Support d'une distribution

La théorie des distributions a été conçue  pour étendre des notions bien définies pour des fonctions régulières à des fonctions plus générales (non-dérivables, définies presque partout, ....). Pourtant des notions simples sont parfois difficiles à définir pour des distributions, par exemple : la notion de support. Pour une fonction $f$, disons $C^\infty$ sur ${\mathbb R}$, le support est défini par

$$ {\rm supp} (f)=\overline{\{x\in {\mathbb R}~\vert~ f(x)\neq 0\}}$$

Pour des fonctions moins régulières (définies seulement "presque partout") la définition ci-dessus pose problème (voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Support_de_fonction  ) et on doit adopter une définition du support beaucoup moins intuitive.


$$ {\rm supp} (f)=\left( \cup_{U\in E} U\right)^c,~~~~{\rm avec} ~~~~E=\{U~ouvert~\vert~f(x)=0~~p.p.t.~x\in U\}$$

Dérivation des distributions

Lors du premier cours que j'ai eu sur la théorie des distributions, le professeur commença par dire  : "le but de cette théorie est de calculer la dérivée de la fonction de Heaviside"

Topologie sur les distributions

La théorie des distributions permet d'étendre aux fonctions définies "presque partout" des notions définies au départ seulement pour des fonctions "régulières"  en exprimant leur action sur des fonctions tests. Ces fonctions tests sont choisies pour avoir les meilleurs propriétés possibles, à savoir elles sont $C^\infty$ à support compact, ensemble qui est noté  $C^\infty_0({\mathbb R })$ ou encore ${\mathcal D}$. La distribution $T$ associée à une fonction $f$ est donc définie comme une forme linéaire et continue sur  ${\mathcal D}$ (d'où la notation ${\mathcal D}'$ pour l'ensemble des distributions) exprimée par l'intégrale :

$$(1)~~~~~~<T,\phi>=\int_{\mathbb R} f(x)\phi(x) dx,~~~~\forall \phi\in {\mathcal D}$$