Quelques formules utiles d'analyse de Fourier

Tout cours d'analyse de Fourier contient de nombreuses formules compliquées mêlant intégrales, TF, convolution, exponentielles ...  il est souvent difficile de s'y retrouver car ces formules ne représentent pas grand chose de concret pour le néophyte. Personnellement j'ai toujours eu besoin d'associer chaque formule  à une expérience, une figure,  un schéma pour me les approprier. Avec les outils numériques d'aujourd'hui ce type d'illustration est beaucoup plus facile à réaliser qu'il y a une vingtaine d'année, en particulier on peut utiliser la dimension "temporelle"  pour rendre ces formules plus vivantes. Vous trouverez ici quelques animations (réalisées avec scilab) que j'utilise pour illustrer mon cours d'analyse de Fourier .

modulation d'amplitude et densité spectrale d'un signal

Convolution d'une distribution par une distribution à support compact

Dans un premier billet  sur la convolution des distributions j'ai expliqué comment on peut définir la convolution d'une distribution par une fonction test. Cette définition est assez contraignante   car dans beaucoup d'applications on a besoin de pouvoir  convoler des distributions avec la distribution de Dirac $\delta$. Pour pouvoir  résoudre ce problème on va se contenter de considérer le cas d'une distribution à support compact :

Définition  soit $u\in{\mathcal E}'$ (distribution à support compact) et $v\in{\mathcal D}'$  alors $u*v$  est la distribution définie par
$$ \langle u*v,\varphi\rangle = \langle u, \langle v,\varphi(t+s)\rangle_s\rangle_t,~~\forall \varphi \in{\mathcal D}~~~(1)$$
de telle sorte que la définition (1) coïncide avec  la définition usuelle de la convolution si $v$  est une fonction test et/ou $u$  est une distribution régulière.

Convolution des distributions par des fonctions tests

Comme pour la transformation de Fourier  on aimerait étendre la convolution aux distributions tout en conservant les propriétés  de base de la convolution des fonctions (en particulier les liens avec la transformation de Fourier).  Ce n'est pas une chose facile car la convolution des fonctions n'est déjà pas définie dans de nombreux cas et lorsqu'on passe aux distributions les choses deviennent encore plus compliquées ... A mon avis pour bien comprendre il faut  commencer par regarder un cas simple: le cas de la convolution d'une distribution par une fonction test:

Définition Soit $u\in {\mathcal D}'$ et $\phi,\varphi\in {\mathcal D}$ alors la convolution $\phi*u $  est la distribution  définie par 
$$ \langle \phi*u ,\varphi \rangle = \langle u ,\check{\phi }*\varphi\rangle, ~~\forall \varphi\in {\mathcal D}~~~~~(1)$$
de telle sorte que si  $u$  est une distribution régulière (donc une fonction définie presque partout) on retrouve bien à partir de (1)   la définition normale de la convolution des fonctions.

Convolution et transformation de Fourier

Une propriété très importante de la Transformation de Fourier est qu'elle transforme la convolution en un simple produit ! Plus précisément on a les formules suivantes :

Théorème Soient $f,g\in{\mathbb L}^1({\mathbb R})$ alors
$$ \widehat{f*g}=\widehat{f}\times \widehat{g}$$
si en plus $\widehat{f}, \widehat{g}\in{\mathbb L}^1({\mathbb R})$ alors
$$ \widehat{f}* \widehat{g}=2\pi\widehat{{f}\times {g}}$$
avec ${\mathcal F}f(\xi)= \hat{f}(\xi)=\int_{\mathbb R} e^{-i\xi x} f(x) dx$

convolution et approximation de l'unité

Une des difficultés de la convolution des fonctions est qu'elle ne possède pas d'élément neutre  au sens des fonctions. On ne dispose que d'approximations de l'unité  (appelées aussi  suites régularisantes  ou identités approchées) définies comme suit :

Théorème (approximation de l'unité) Soit $\varphi_n$ une suite de fonction ${\mathbb L}^1({\mathbb R})$ telle que :

• $ \varphi_n(t)\geq 0~~\forall t\in {\mathbb R}$
• $\int_{\vert t\vert\leq \delta}\varphi_n(t)dt\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} 1$
• $\forall \delta>0,~~\int_{\vert t\vert>\delta}\varphi_n(t)dt\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} 0$ 

alors  pour tout $f\in C^0({\mathbb R})$ et $x\in {\mathbb R}$  on a que :
$$ f*\varphi_n(x)= \int_{\mathbb R} f(x-t) \varphi_n(t) dt \mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} f(x)$$

 Ces suites de fonctions sont une manière simple d'aborder la notion de distribution de Dirac, c'est d'ailleurs en présentant leur graphes en fonction de n que cette notion est introduite dans les cours plutôt orientés vers la physique :

Produit de convolution des fonctions

Actuellement je reprend mes cours d'Analyse de Fourier face à un public de futurs ingénieurs en optronique/électronique. Le cours porte principalement sur la maitrise de deux outils importants en traitement du signal : La Transformation de Fourier  et le produit de  convolution . J'ai beaucoup parlé de la TF sur ce blog, c'est l'occasion aujourd'hui de parler de la convolution. Cette opération (notée *)  est formellement définie par la formule :

 $$f*g(x)=\int_{\mathbb R} f(x-t) g(t) dt$$
je dis formellement car le problème principal est l'existence de la fonction $f*g(x)$, c'est à dire la convergence de l'intégrale.  Les trois principaux résultats à connaître sont les suivants :

Théorème 1 $\forall p,q\geq1$ avec ${1\over p}+{1\over q}=1$ , si $f\in {\mathbb L}^p({\mathbb R})$ et $g\in {\mathbb L}^q({\mathbb R})$ alors $ f*g\in {\mathbb L}^\infty({\mathbb R})$ et on a en plus que  $\Vert f*g\Vert_\infty\leq \Vert f\Vert_p \times \Vert g\Vert_q$.

Théorème 2 si $f\in {\mathbb L}^1({\mathbb R})$ et $g\in {\mathbb L}^p({\mathbb R})$ alors $f*g\in {\mathbb L}^p({\mathbb R})$,  $\forall p>1$, et on a en  plus que  $\Vert f*g\Vert_p\leq \Vert f\Vert_1 \times \Vert g\Vert_p$.

Théorème 3 si $f,g\in {\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$  et  causales alors $f*g\in{\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$ et causale, et on a en plus que $f*g(x)=H(x)\int_0^x f(x-t) g(t) dt$ (où $H$ est la fonction de Heaviside).

Pour démontrer ces théorèmes il faut une certaines maitrise des calculs faisant intervenir des intégrales et des  inégalité classique : Cauchy-Schwartz, Hölder, Fubini. C'est un excellent exercice sur l'intégrale de Lebesgue que de redémontrer ces théorèmes avec ces inégalités de bases .