mardi 28 avril 2020

calcul de séries et bug dans wxmaxima


Le calcul formel/numérique sur ordinateur et son utilisation  dans l'enseignement des mathématiques fait beaucoup fantasmer :certain pensent qu'avec le bon logiciel on peut résoudre n'importe quelle équation bien mieux qu'un humain et sans avoir besoin d'étudier beaucoup de mathématiques d'autres n'ont aucune confiance en ces outils et pensent qu'il ne peuvent que diminuer nos capacités de calcul et ensuite de raisonnement en mathématiques. La réalité me semble souvent bien plus complexe que cela et la confrontation des deux approches m'amène parfois à comprendre bien plus de choses que la question de départ ...  un petit exemple au travers des formes closes que je viens d'obtenir pour les deux séries Fourier ci-dessous :

deux séries numériques calculées par le théorème de Dirichlet


samedi 21 mars 2020

discord pour la continuité pédagogique au temps du covid19

En cette période de crise sanitaire due à la pandémie de coronavirus covid19 nous assistons impuissants à la fermeture en urgence des écoles, collèges, lycées et universités. Beaucoup d'enseignants tentent tant bien que mal d'assurer une continuité pédagogique  avec les outils à leur disposition. Les infrastructures de l'éducation nationale et des universités ne pouvant pas répondre à l'explosion des besoins en télétravail et visioconférences nous sommes forcés de nous chercher d’autres outils sans connaissance ni temps pour les prendre en main (et aussi en étant obligé de d'assouplir quelques principes éthiques comme privilégier les logiciel libre, éviter le partage de données avec des entreprises privées, ...). Pour maintenir en urgence  une continuité pédagogique j'ai donc dû me tourner vers un outil  qui permette la discussion instantanée textuelle/vocale avec un grand nombre d'étudiants sans coût financier : Discord. Petit bilan d'une semaine d'enseignement 3.0  avec cet outil.

discord permet des discussions textuelles/vocales et la diffusion flux vidéos/screencast

Théorème spectral en dimension infinie

Je termine enfin cette série de billets la théorie spectrale en dimension infinie pour les opérateurs non-bornées  par le théorème spectral.  En dimension finie ce théorème affirme que tout opérateur auto-adjoint est diagonalisable, c’est à dire qu’on peut trouver une base orthonormée \(({\bf e}_n)_{\mathbb N}\) de l’ev \(\mathcal H\) telle que
\[A{\bf u}=\sum_{n\in I}\lambda_n\langle{\bf u},{\bf e}_n\rangle \, {\bf e}_n\]\((\lambda_n)_{I}\) est l’ensemble des valeurs propres de \(A\). Ce théorème se généralise en dimension infinie mais sous une forme bien plus complexe car le spectre n’est alors plus limité a un ensemble discret de valeurs propres.


Théorème spectral Soit \(A\) un opérateur auto-adjoint sur un espace de Hilbert \( \mathcal H\) alors il existe une mesure spectrale \(E(\lambda)\) telle que :  
\[A=\int_{\mathbb R} \lambda\,d\, E(\lambda)
\Leftrightarrow
\forall {\bf u}\in{\mathcal H},\,
\langle A{\bf u},{\bf u}\rangle=\int_{\mathbb R} \lambda\,d\langle E(\lambda){\bf u},{\bf u}\rangle\]

vendredi 22 novembre 2019

série entière et fonction de Lambert

Depuis quelques temps je suis un compte Twitter appelé  improov_Maths qui diffuse des questions mathématiques de type concours CPGE à la formulation très courte  et de difficultés variées. Je me suis pris au jeux de résoudre ces questions, surtout quand elles proposent des calculs de séries comme celle ci-dessous, et bien sûr le tout en moins de 288 caractères! 


jeudi 31 octobre 2019

Opérateurs non-bornés et opérateur adjoint

En dimension finie toutes les applications linéaires sont continues, mais ce n’est plus le cas en dimension infinie. Dans ce contexte on dit qu’une application \(A:{\mathcal H}\longrightarrow{\mathcal G}\) est bornée sur l’espace vectoriel normé \(\mathcal H\) si : \[\exists C>0,\, \forall {\bf u}\in{\mathcal H},\, \Vert A{\bf u}\Vert \leq C\Vert {\bf u}\Vert\] la plus petite constante \(C\) vérifiant l’inégalité précédente étant la norme \(\Vert A\Vert\) de l’opérateur. S’il n’existe pas de telle constante on dit que \(A\) est non-bornée. Beaucoup d'opérateurs bien connus des espaces de fonctions sont des opérateurs non-bornés , comme la dérivation par exemple. Sous certaines conditions on peut étendre les propriétés des opérateurs bornées aux opérateurs non-bornées, en particulier les notions de spectre  dont j'ai parlé dans un précédent billet.


dimanche 1 septembre 2019

adaptateur fish-eye pour l'astronomie

L'été est la période la plus propice à la photographie de la voie lactée, ce type de photo peut être fait facilement à l'aide d'objectif grand angle (de 18mm  jusqu'à 8mm de focale) dont le coût est hélas très élevé si on a qu'une utilisation occasionnelle de ce type de focale. Il existe depuis quelques années  des "adaptateur fish-eye" au coût très faible qui permettent de transformer  un classique objectif 18-55mm  en un fish-eye! Évidement ce ne sont pas des optiques de grande qualité mais il y a quand même quelques possibilités amusantes à moindre coût pour l'astronome amateur .

la voie lactée en été CANON EOS 350D + objectif 18-55mm  et adaptateur fish-eye



jeudi 8 août 2019

Théorie spectrale en dimension infinie

Pour une application linéaire \(A:{\mathcal H}\longrightarrow{\mathcal H}\) sur un espace vectoriel normé \(\mathcal H\) le spectre de l’opérateur \(A\) est l’ensemble des valeurs \(\lambda\in{\mathbb C}\) telles que \(A-\lambda\,Id\) ne soit pas inversible. Si \(\mathcal H\) est un espace vectoriel de dimension finie le spectre se réduit à l’ensemble des valeurs propres de \(A\) : \[\sigma(A)=\{\lambda \in{\mathbb C}\vert \exists {\bf u}\neq {\bf 0},\; A{\bf u}=\lambda\,{\bf u}\}\] Il n’en va pas de même dans les espaces vectoriels normés de dimension infinie (espace de Banach) où la notion de spectre est beaucoup plus riche et complexe. Il existe plusieurs subdivisions du spectre qu’on a souvent tendance à mélanger . Pour s’y retrouver il vaut mieux avoir en tête quelques exemples simples pour chaque type de spectre.



jeudi 18 juillet 2019

une fonction deval pour octave

Résoudre  numériquement une équation différentielle est une fonctionnalité très importante pour un logiciel de calcul numérique comme Scilab, Matlab® ou Octave ... chacun de ces logiciels possède des fonctions pour résoudre ce type de problème, leurs syntaxes sont très proches mais pas forcément compatibles. Si Scilab a choisit de développer sa propre syntaxe  Octave a fait le choix d'être un clone libre de Matlab® et donc de coller au plus près de sa syntaxe. Au contraire Matlab® à tout intérêt  à ne pas être compatible avec un logiciel libre qui proposerait les mêmes fonctionnalités. La question des équations différentielles donne un bon exemple de ce jeu du chat et de la souris entre un modèle propriétaire et son clone libre.




vendredi 24 mai 2019

une transformée de Fourier exotique

Pour calculer la TF d'une fonction  il est souvent très pratique d'effectuer le calcul au sens des distributions puis de justifier que la distribution obtenue est bien une distribution régulière. Cette technique m'a fait découvrir un calcul de TF que je crois n'avoir jamais vu avant (n'hésitez à me donner une référence si vous l'aviez déjà vu avant) :


mardi 23 avril 2019

Une série de Fourier exotique

Les exemples de séries de Fourier qui sont utilisés sont presque toujours des fonctions $C^1$ par morceaux dont les coefficients sont des fractions rationnelles en $n$ vérifiant une asymptotique $c_n\sim_\infty {1\over n^a}$ avec $a\in{\mathbb N}$ . Le plus souvent on peut vérifier que $a=1$ pour des fonctions discontinue  et $a\geq 2$ pour des fonctions continues, pourtant on peut avoir des séries de Fourier avec des comportements plus exotiques correspondant à des fonctions continues mais pas $C^1$ par morceaux. Je suis tombé un peu par hasard sur un tel exemple assez facilement calculable que je n'ai retrouvé nulle part avant (mais peut être l'avez vous déjà rencontré?) :



lundi 8 avril 2019

UTCA un ultra-trail de 78km en bord de mer

Après avoir couru plusieurs courses de 50km ces dernières années j'hésitais à passer à la distance supérieure. Encouragé par mes amis je me suis laissé tenter par L'UTCA : un trail hivernal de 78km, sans trop de dénivelé, qui vous permettra de faire le tour complet de la côte de granit rose à partir de Lannion. Petit récit de 8 heures de courses pour ceux qui veulent en savoir plus ....