jeudi 8 août 2019

Théorie spectrale en dimension infinie

Pour une application linéaire \(A:{\mathcal H}\longrightarrow{\mathcal H}\) sur un espace vectoriel normé \(\mathcal H\) le spectre de l’opérateur \(A\) est l’ensemble des valeurs \(\lambda\in{\mathbb C}\) telles que \(A-\lambda\,Id\) ne soit pas inversible. Si \(\mathcal H\) est un espace vectoriel de dimension finie le spectre se réduit à l’ensemble des valeurs propres de \(A\) : \[\sigma(A)=\{\lambda \in{\mathbb C}\vert \exists {\bf u}\neq {\bf 0},\; A{\bf u}=\lambda\,{\bf u}\}\] Il n’en va pas de même dans les espaces vectoriels normés de dimension infinie (espace de Banach) où la notion de spectre est beaucoup plus riche et complexe. Il existe plusieurs subdivisions du spectre qu’on a souvent tendance à mélanger . Pour s’y retrouver il vaut mieux avoir en tête quelques exemples simples pour chaque type de spectre.



jeudi 18 juillet 2019

une fonction deval pour octave

Résoudre  numériquement une équation différentielle est une fonctionnalité très importante pour un logiciel de calcul numérique comme Scilab, Matlab® ou Octave ... chacun de ces logiciels possède des fonctions pour résoudre ce type de problème, leurs syntaxes sont très proches mais pas forcément compatibles. Si Scilab a choisit de développer sa propre syntaxe  Octave a fait le choix d'être un clone libre de Matlab® et donc de coller au plus près de sa syntaxe. Au contraire Matlab® à tout intérêt  à ne pas être compatible avec un logiciel libre qui proposerait les mêmes fonctionnalités. La question des équations différentielles donne un bon exemple de ce jeu du chat et de la souris entre un modèle propriétaire et son clone libre.




vendredi 24 mai 2019

une transformée de Fourier exotique

Pour calculer la TF d'une fonction  il est souvent très pratique d'effectuer le calcul au sens des distributions puis de justifier que la distribution obtenue est bien une distribution régulière. Cette technique m'a fait découvrir un calcul de TF que je crois n'avoir jamais vu avant (n'hésitez à me donner une référence si vous l'aviez déjà vu avant) :


mardi 23 avril 2019

Une série de Fourier exotique

Les exemples de séries de Fourier qui sont utilisés sont presque toujours des fonctions $C^1$ par morceaux dont les coefficients sont des fractions rationnelles en $n$ vérifiant une asymptotique $c_n\sim_\infty {1\over n^a}$ avec $a\in{\mathbb N}$ . Le plus souvent on peut vérifier que $a=1$ pour des fonctions discontinue  et $a\geq 2$ pour des fonctions continues, pourtant on peut avoir des séries de Fourier avec des comportements plus exotiques correspondant à des fonctions continues mais pas $C^1$ par morceaux. Je suis tombé un peu par hasard sur un tel exemple assez facilement calculable que je n'ai retrouvé nulle part avant (mais peut être l'avez vous déjà rencontré?) :



lundi 8 avril 2019

UTCA un ultra-trail de 78km en bord de mer

Après avoir couru plusieurs courses de 50km ces dernières années j'hésitais à passer à la distance supérieure. Encouragé par mes amis je me suis laissé tenter par L'UTCA : un trail hivernal de 78km, sans trop de dénivelé, qui vous permettra de faire le tour complet de la côte de granit rose à partir de Lannion. Petit récit de 8 heures de courses pour ceux qui veulent en savoir plus ....



lundi 18 mars 2019

transformation et critère d'Abel pour les séries

J'ai écrit de nombreux billets sur les différents outils qui permettent de discuter la convergence de séries numériques, il manquait à ce panorama un outil : le critère d'Abel. Autrefois très utilisé il tend a  disparaître de l'enseignement sur les séries  pourtant il permet de justifier la convergence de séries comme $\sum{\sin(n)\over n}$ ou $\sum {(-1)^n\over n}$


Théorème (critère d'Abel) Soient $(a_n)_{\mathbb N},(b_n)_{\mathbb N}$ deux suites si $A_n=\sum_{k=0}^na_k$  est bornée et $(b_n)_{\mathbb N}$ est positive et décroissante vers 0  alors on a $ \sum_{k=0}^\infty a_kb_k$  converge


mardi 12 mars 2019

flash d'un satellite géosynchrone

En faisant des tests photographiques, pour vérifier la qualité du suivi d'une monture que je viens de rénover, j'ai enregistré un flash surprenant  près de la constellation d'Orion. après quelques recherche j'ai compris que j'avais enregistré le flash lumineux d'un satellite géosynchrone. Ce type d'événement peut se produire  quelques semaines autour des équinoxes à condition d'observer une zone proche de l'équateur céleste à l'opposé du soleil.





lundi 19 novembre 2018

Passage rapproché de la comète 46P

Au mois de décembre prochain la comète 46P/Wirtanen va passer très près de la Terre (à l'échelle astronomique!) mais surtout elle sera extrêmement bien placée pour l'observation depuis l'hémisphère nord  puisqu'elle sera visible toute la nuit au plus près du zénith. Au même moment une autre comète parabolique   C/2018V1 , découverte indépendamment par 3 amateurs Machholz-Fujikawa-Iwamoto, devrait briller  sur l'horizon Est . Deux comètes brillantes à observer dans le même mois c'est une occasion à ne pas rater !

trajectoire de la comète 46P au mois de décembre

mardi 25 septembre 2018

comète 21P et essaim des Draconides

L'actualité astronomique de ce début septembre est marqué par le passage à proximité de la Terre de la comète 21P/Giacobini-Zinner . Même si cette comète reste faible pour les non-initiés et réservée aux observateurs matinaux elle pourrait nous réserver une surprise dans la nuit du 8 au 9 Octobre prochain ...

comète 21P passant près de l'amas ouvert M35


samedi 21 juillet 2018

Problème de Bâle et série télescopique

Lorsque j'étais lycéen une des questions qui m'a donnée motivé à poursuivre mes études supérieur dans le domaine des mathématiques était le démonstration de la solution au problème de Bâle $ \sum_{k=1}^\infty {1\over k^2}={\pi^2\over 6}$. Il existe des centaines de démonstrations de cette formule, souvent très compliquées, mais je suis tombé récemment sur un article en donnant une preuve très simple  puisque j'aurais pu la comprendre avec  mes seules connaissance de terminales C. Si j'avais connu cette démonstration j'aurais peut être fait autre chose que des mathématiques :-)