valeurs propres de l'oscillateur harmonique quantique

la physique quantique  fournie de nombreuses équations  dont la résolution conduit à des problèmes d'équations au dérivées partielles difficiles à résoudre sauf dans quelques cas "modèles" dont l'étude est très importante aussi bien pour la physique que pour les mathématiques.  Parmi ces problèmes un des plus fameux est celui des valeurs propres de l'oscillateur harmonique quantique :

$$ H u(x)=-\Delta u(x)+x^2 u(x)=\lambda u(x),~~~u\in{\mathbb L}^2({\mathbb R})$$

premières valeurs et vecteur propres de l'oscillateur harmonique quantique

Distributions à dérivée nulle

Déjà trois ans depuis l'ouverture de ce blog et voici enfin  le centième billet !!  Les lecteurs réguliers (merci à eux) auront remarqué que mon rythme de publication s'est bien ralenti depuis que j'ai intégré  une école d'ingénieur à la dernière rentrée. Mais j'ai la chance cette année de prendre en charge de nouveaux cours très intéressants , dont en particulier un cours d'analyse de Fourier avec un CM complet sur la théorie des distributions :-) Ce billet anniversaire est donc une bonne occasion de revenir  sur une question   évoquée dans l'un des tout  premiers billet publié sur ce blog:

Théorème Soit $T\in {\cal D}'$ une distribution telle que  $T'=0$ alors  $ T=C^\text{ste}$

une solution exacte du problème à trois corps

Il y a quelques jours sur google+  je suis tombé sur une image gif animée (comme celle ci-dessous) montrant une solution exacte du problème à 3 corps (pour les forces gravitationnelles) découverte par Cris Moore :

 une question m'est alors venu à l'esprit : "Peut il vraiment exister, quelque part dans l'univers, 3 étoiles dans une telle configuration ?" . Pour un mathématicien la réponse à cette question ne relève pas du hasard mais d'une notion mathématique générale dans l'étude des systèmes dynamiques : "la stabilité des solutions". La question étant très complexe un logiciel de calcul numérique peut être très utile pour se faire une idée de la réponse.

équations différentielles linéaires à solutions bornées

Cette semaine je suis tombé sur une question intéressante posée sur le blog de Math O' Man  :

Soient $A$ une matrice carrée  et $B(t)$ une matrice carrée (de même taille) continue pour $t\geq 0$. Si toutes les solutions de $X'(t)=AX(t)$ sont bornées, alors quelles sont les conditions sur $B(t)$ pour que les solutions du système $X'(t)=(A+B(t))X(t)$ soient bornées pour $t\geq 0$?

cette question en apparence simple ne l'est pas et est l'occasion de montrer l'utilisation de deux outils très importants dans l'étude d'équations différentielles : Le lemme de Grönwall et la formule de Duhamel.

mécanique céleste avec scilab

Le transit de Vénus de juin dernier  m'a redonné envie de m'intéresser à la mécanique céleste. Le sujet est mathématiquement difficile car il est en général impossible de résoudre les systèmes d'équations qu'on y rencontre, mis à part le cas extrêmement simple du problème à deux corps, quoique même dans ce cas la solution n'est pas aussi simple que cela à exprimer analytiquement. Par contre les problèmes de mécanique céleste sont très amusants à résoudre numériquement, surtout si l'on dispose d'un logiciel de calcul efficace comme Scilab! Dans la pratique une fois les équations posées il suffit d'utiliser la fonction ode pour résoudre l'équation et afficher la trajectoire aussi complexe soit-elle, voici un exemple de problème à trois corps résolu numériquement :