mercredi 5 décembre 2012

Ordre d'une distribution

Voici une question intéressante posée sur ce blog  :

"Montrer que la distribution  définie par : $\displaystyle  < T ,\phi > = \sum_{k=1}^\infty {1\over k}\left(\phi\left({1\over k}\right)-\phi(0)\right)$  est d'ordre 1 et pas d'ordre 0"

la réponse à cette question n'est pas si facile à trouver  mais fait intervenir des éléments techniques classiques qu'on retrouve dans plusieurs démonstration  en théorie des distributions ...

Pour commencer il faut rappeler la définition de  l'ordre d'une distribution  et revenir à la topologie de l'espace des distributions (que j'ai déjà présenté dans un précédent billet) :
Rappel sur la Topologie de ${\mathcal D}'$ $$T\textrm{ continue sur }{\mathcal D} \Leftrightarrow <T,\phi_n>\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty}0~~~~  \forall (\phi_n)\subset {\mathcal D} ,~~ \phi_n\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty}0$$ Pour cela il suffit de vérifier que$$\forall K\textrm{ compact},\exists C_K,N_K\geq 0,~~~~\forall \phi\in { C}^\infty_0(K)~~\vert <T,\phi>\vert \leq \sum_{k=0}^{N_K} C_K\Vert \partial^k\phi\Vert_{\infty,K},~~~~(1)$$ Définition Le maximum des $N_K$ (par rapport au choix de  K) dans la majoration (1) est l'ordre de la distribution T.

Pour montrer qu'une distribution est d'ordre 0 il suffit d'après cette définition d'obtenir la majoration (1) avec $N_K=0$, quelques exemples :
  • la distribution de Dirac est bien d'ordre 0 car :$$\vert <\delta,\phi>\vert = \vert \phi(0)\vert \leq \Vert \phi\Vert_{\infty}$$  ici $C_K=1$  ne dépend pas de $K$
  •  T une distribution régulière associée à $f\in{\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$ est bien d'ordre 0 car pour $\phi$ à support dans $K$ on a $$\vert <f,\phi>\vert = \left\vert \int_{\mathbb R} f(x) \phi(x)dx\right\vert \leq   \int_K\vert f(x) \vert dx \Vert \phi\Vert_{\infty}$$  ici $C_K=  \int_K\vert f(x) \vert dx$  dépend de $K$
 Mais pour montrer qu'une distribution est d'ordre 1 la majoration (1) n'est pas suffisante! En effet il n'est pas clair dans la définition ci-dessus que pour déterminer l'ordre de T il faut que la majoration (1)  soit optimale! En effet, si on a une distribution d'ordre 0 (comme $\delta$) on a :
$$\vert <T,\phi>\vert \leq \Vert \phi\Vert_{\infty} \Longrightarrow \vert <T,\phi>\vert \leq \Vert \phi\Vert_{\infty}+ \Vert \phi'\Vert_{\infty} $$
mais la seconde majoration n'implique pas que $T$ soit d'ordre 1 car cette majoration n'est pas optimale ! Dès lors comment montrer qu'une majoration du type (1) est optimale ?
Montrer qu'une majoration du type (1) est optimale : construire une suite de fonctions tests $(\phi_n)$  telle que $$<T,\phi_n>\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} \pm\infty ~~~~ et~~~~ \forall n\in{\mathbb N},\forall k<N_K~~ \Vert \partial^k\phi_n\Vert_{\infty,K}\leq M $$ si l'estimation (1) n'était pas optimale on aurait alors que  $$\vert <T,\phi_n>\vert \leq \sum_{k=0}^{N_K-1} C_K\Vert \partial^k\phi_n\Vert_{\infty,K}\leq \sum_{k=0}^{N_K-1} C_K M\leq N_K\times C_K\times M<\infty ~~~~\forall n\in{\mathbb N} $$
ce qui contredit que $<T,\phi_n>\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} \pm\infty $.  Heuristiquement on a que $ <T,\phi_n>$ dépend bien de la dérivée $N_K$ième de $\phi_n$ , la suite $\phi_n $ vérifiant alors forcément 
$$\Vert \partial^{N_K}\phi_n\Vert_{\infty,K}\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} \infty  $$

Par exemple la dérivée de la distribution de Dirac $$\vert <\delta',\phi>\vert = \vert -\phi'(0)\vert \leq \Vert \phi'\Vert_{\infty}$$  on montre que cette majoration est optimale en prenant une distribution non-nulle près de 0 et en posant $\phi_n(x)=\phi(nx)$ de telle sorte que $$ \Vert \phi_n\Vert_{\infty}= \Vert \phi\Vert_{\infty}<\infty~~et~~  \Vert \phi_n'\Vert_{\infty}= \Vert n\phi'(nx)\Vert_{\infty}=n \Vert \phi'\Vert_{\infty}\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} \infty $$ dans ce cas on a bien que $$<T,\phi_n>=-n\phi'(0)\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} -\infty$$ donc l'estimation est optimale.

Étudions maintenant le cas de la distribution  définie par
$$ < T ,\phi > = \sum_{k=1}^\infty {1\over k}\left(\phi\left({1\over k}\right)-\phi(0)\right)$$
La somme n'est apriori pas convergente  sous la seule hypothèse que $\phi$ est bornée puisque $1/k$ ne tend pas assez vite vers 0. Mais pour une fonction dont la dérivée est aussi bornée $\phi\left({1\over k}\right)-\phi(0)$ doit aussi tendre vers 0. En utilisant une approximation de Taylor on obtient :
 $$\left\vert\phi\left({1\over k}\right)-\phi(0)\right\vert\leq \Vert \phi'\Vert_\infty \left\vert{1\over k}-0\right\vert ={ \Vert \phi'\Vert_\infty\over k}$$
ce qui permet d'obtenir la majoration
$$\vert < T ,\phi >\vert \leq  \sum_{k=1}^\infty {1\over k}\left\vert\phi\left({1\over k}\right)-\phi(0)\right\vert \leq  \sum_{k=1}^\infty { \Vert \phi'\Vert_\infty\over k^2}={\pi^2\over 6} \Vert \phi'\Vert_\infty $$
T est donc une distribution d'ordre au plus 1, et il faut maintenant montrer que cette majoration est optimale.
Pour cela il suffit de choisir  $\varphi$  une fonction positive à support dans [-1;1] telle que $\varphi(0)=1$ et de définir une suite de fonctions tests $\phi_n$ par $$\phi_n(x)=\sum_{k=1}^n\varphi(3^k(x-1/k))$$  de telle sorte que le graphe de $\phi_n$  est constituée d'une suite de "bosses" centrées aux points $x=1/k$ ($k=1,2,...n$)  et de largeurs $2\times 3^{-k}$ qui ne s'intersectent donc pas :
le graphe de $\phi_7$

Iil est clair que $\phi_n(0)=0$  et $\Vert \phi_n\Vert_\infty=1$, on calcule alors :
$$ < T, \phi_n>= \sum_{k=1}^n{1\over k}\left(\phi_n\left({1\over k}\right)-\phi_n(0)\right)= \sum_{k=1}^n {1\over k}\sim \ln(n)\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} \infty $$
donc $T$ ne peut pas être d'ordre 0 et d'après la majoration elle est d'ordre 1.On peut remarquer que dans ce cas on a bien
$$\phi_n'(x)=\sum_{k=1}^n3^k\varphi'(3^k(x-1/k))\Rightarrow \Vert\phi_n'\Vert_\infty\sim 3^n\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} \infty $$

    Pour finir il faut garder en tête qu'une distribution peut être d'ordre infini. Par exemple $<L,\phi> = \sum_{n=0}^\infty \partial^n\phi(n)$  vérifie la majoration optimale :
    $$\vert <L,\phi>\vert \leq \sum_{n=0}^{N} \Vert \partial^n\phi\Vert_{\infty},~~~~\forall \phi\in { C}^\infty_0(K),~~~~\forall K=[-N,N]$$
    ici $C_K=1$  mais le nombre de dérivées dépend de $K$ de telle sorte qu'il n'est pas majoré ! Donc l'ordre de L est infini.

    7 commentaires:

    1. bonjour
      Pourquoi $\Vert \phi_n\Vert_\infty=1$ et $\phi_n(0)=0$

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      1. Il y a une petite ambiguïté dans ta question, je suppose que tu veux dire "pourquoi est ce qu'on choisit de prendre $\phi_n(0)=0$ et $\Vert\phi_n\Vert_\infty=1$? " . Les deux choix n'ont pas la même importance :

        - pour $\phi_n(0)=0$ c'est un choix qui permet de simplifier le calcul de $\phi_n(1/k)-\phi_n(0)$, avec d'autres valeurs la construction serait plus compliquée où il faudrait écrire un DL de $\phi_n$

        - pour $\Vert\phi_n\Vert_\infty=1$ on aurait pu choisir une autre constante que 1, mais le fait que cette norme soit constante par rapport à n est le point central de la preuve : si $L$ était d'ordre 0 on aurait $\vert \langle L,\phi_n\rangle\vert \leq C \Vert\phi_n\Vert_\infty=C<\infty$ mais comme on montre que $\langle L,\phi_n\rangle\to\infty$ il y a une contradiction donc L est d'ordre 1

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    2. merci, c'est plus claire

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    3. Bonjour,
      Quel est le support de cette distribution
      Merci

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      1. Ce commentaire a été supprimé par l'auteur.

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      2. C'est une très bonne question! Intuitivement le support d'une distribution est l'ensemble des points $x\in{\mathbb R}$ où la fonction $\phi$ doit être non nulle pour qu'on puisse avoir $ \langle T,\phi \rangle\neq 0$ . Clairement ici c'est l'ensemble des $1/k$ avec $k\in{\mathbb N}^*$ , il suffit de prendre une fonction test $\phi_k$ positive et supportée sur un petit voisinage de $1/k$ pour avoir $ \langle T,\phi_k \rangle={1\over k}\phi_k(1/k)>0$. Mais cet ensemble n'est pas fermé et, comme un support est toujours fermé, il faut rajouter le point d'adhérence $x=0$ pour obtenir le support de cette distribution :
        $$supp(T)=\{1/k| k\in{\mathbb N}^*\}\cup \{0\}$$
        le support de cette distribution est entièrement singulier, plus de détails dans le billet consacré au support d'une distribution

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    Pour écrire des formules mathématiques vous pouvez utiliser la syntaxe latex en mettant vos formules entre des "dollars" $ \$....\$ $ par exemple :
    - $\sum_{n=1}^\infty {1\over n^2}={\pi^2\over 6}$ s'obtient avec \sum_{n=1}^\infty {1\over n^2}={\pi^2\over 6}
    - $\mathbb R$ s'obtient avec {\mathbb R} et $\mathcal D$ s'obtient avec {\mathcal D}
    - pour les crochets $\langle .,. \rangle$ dans les commentaires utilisez \langle .,. \rangle
    vous pouvez écrire du html dans les commentaires :
    - italique <i> ... </i> gras <b> ... </b>
    - lien <a href="http://adresse "> .... </a>