Convolution des distributions par des fonctions tests

Comme pour la transformation de Fourier  on aimerait étendre la convolution aux distributions tout en conservant les propriétés  de base de la convolution des fonctions (en particulier les liens avec la transformation de Fourier).  Ce n'est pas une chose facile car la convolution des fonctions n'est déjà pas définie dans de nombreux cas et lorsqu'on passe aux distributions les choses deviennent encore plus compliquées ... A mon avis pour bien comprendre il faut  commencer par regarder un cas simple: le cas de la convolution d'une distribution par une fonction test:

Définition Soit $u\in {\mathcal D}'$ et $\phi,\varphi\in {\mathcal D}$ alors la convolution $\phi*u $  est la distribution  définie par 
$$ \langle \phi*u ,\varphi \rangle = \langle u ,\check{\phi }*\varphi\rangle, ~~\forall \varphi\in {\mathcal D}~~~~~(1)$$
de telle sorte que si  $u$  est une distribution régulière (donc une fonction définie presque partout) on retrouve bien à partir de (1)   la définition normale de la convolution des fonctions.

Pour commencer il faut remarquer que dans la définition  $\phi$ et $\varphi$  étant des fonctions tests, c'est à dire $C^\infty$ à support compact (respectivement dans $[-m_1,m_1]$ et $[-m_2,m_2]$),  on a que $\check{\phi}*\varphi$  est aussi une fonction test car :

• produit de convolution $\check{\phi}*\varphi(x)$ est bien défini car on intègre sur un intervalle compact $[-m_1,m_1]\cap[x-m_2,x+m_2]$
• le résultat  est à support $[-m_1-m_2,m_1+m_2]$  donc  compact (car  $[-m_1,m_1]\cap[x-m_2,x+m_2]=\emptyset$  si $x+m_2<-m_1$ ou $x-m_2>m_1$)
• le résultat est bien une fonction $C^\infty$ car $\partial_x^n(\phi*\varphi)=(\partial_x^n\phi)*\varphi,\forall n\in {\mathbb N}$

Si maintenant on considère le cas d'une distribution régulière $u\in{\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$  alors la convolution $\phi*u$ est bien définie au sens classique et celle-ci coïncide bien avec la définition (1) puisque  pour toute fonction test $\varphi$ :

$$\begin{eqnarray*}
\langle \phi*u ,\varphi \rangle &=&\int_{\mathbb R} \phi*u(x) \varphi(x) dx\\
 &=& \int_{\mathbb R}  \int_{\mathbb R} u(t)\phi(x-t)dt \varphi(x) dx\\
 &=& \int_{\mathbb R}  u(t) \int_{\mathbb R} \phi(x-t) \varphi(x) dx dt\\
 &=& \int_{\mathbb R}  u(t) {\int_{\mathbb R} \phi(s) \varphi(s+t) ds} dt~~\text{changement de variable } x-t=s\\
 &=& \int_{\mathbb R}  u(t) \underbrace{\int_{\mathbb R} \phi(-s) \varphi(t-s) ds}_{\check{\phi}*\varphi(t)} dt\\ 
&=& \langle u ,\check{\phi}*\varphi\rangle
\end{eqnarray*}$$


Avec la définition  précédente on peut retrouver les propriétés usuelles de la convolutions, comme les formules de dérivation :

Proposition Soit $u\in {\mathcal D}'$ et $\phi\in {\mathcal D}$ alors $(\phi*u)'=\phi*(u')=(\phi')*u $

la première  égalité est simple à montrer, pour toute fonction test $\varphi$ :
$$\begin{eqnarray*}
\langle (\phi*u)' ,\varphi \rangle
&=& -\langle \phi*u ,\varphi'\rangle\\
&=& -\langle u ,\check{\phi}*(\varphi')\rangle  \\
&=& -\langle u ,(\check{\phi}*\varphi)'\rangle  \\
&=& \langle u' ,\check{\phi}*\varphi\rangle  \\
&=& \langle {\phi}*(u') ,\varphi\rangle  \\
\end{eqnarray*}$$
 la deuxième nécessite de remarquer que pour les fonctions tests on a
 $$(\check{\phi}(t))'=(\phi(-t))'=-\phi'(-t)=-\check{\phi'}(t)$$
et de transférer la dérivation sur $\check{\phi}$ :
$$\begin{eqnarray*}
\langle (\phi*u)' ,\varphi \rangle
&=& -\langle u ,(\check{\phi}*\varphi)'\rangle  \\
&=& -\langle u,(\check{\phi})'*\varphi\rangle  \\
&=& -\langle u,(-\check{\phi'})*\varphi\rangle  \\ 
&=& \langle {\phi'}*u ,\varphi\rangle  \\
\end{eqnarray*}$$

On peut maintenant  calculer la convolution d'une fonction test avec la distribution de Dirac et montrer qu'elle est l'élément neutre de cette opération.

Théorème Soit $\delta$ la distribution de Dirac  (en $x=0$) alors $  \phi*\delta =\phi, ~~\forall \phi\in {\mathcal D}$

Pour le montrer repartons de la définition de  la convolution  :
$$\begin{eqnarray*}
\langle \phi*\delta ,\varphi \rangle
&=& \langle \delta ,\check{\phi}*\varphi \rangle  \\
&=& \check{\phi}*\varphi (0)  \\
&=&  \int_{\mathbb R} \phi(-(0-t)) \varphi(t) dt\\
&=&  \int_{\mathbb R} \phi(t) \varphi(t) dt\\
&=& \langle \phi,\varphi \rangle
\end{eqnarray*}$$
ce qui prouve bien que $\phi*\delta=\phi$ .

La définition précédente du produit de convolution  s'étend facilement  aux distributions tempérées   et l'on peut alors définir la transformée de Fourier de la convolution d'une distribution et d'une fonction de la classe de Schawrtz :

Théorème si $u\in S'$  et $\phi\in S $ alors $\phi*u$  est aussi une distribution tempérée et $\widehat{\phi * u}=\widehat{\phi}\times \widehat{u}$.

 Pour étendre la définition de la convolution à la classe de Schwartz  il faut d'abord vérifier que pour toutes fonctions tests $\phi,\varphi\in S$ la fonction $\check{\phi }*\varphi$ est aussi dans S.  c'est assez facile à voir en passant par la transformation de Fourier  qui laisse S invariant :

$$ \widehat{\check{\phi }*\varphi}=\underbrace{\widehat{\check{\phi }}}_{\in S}\times\underbrace{\widehat{\varphi}}_{\in S} \in S\Rightarrow \widehat{\check{\phi }*\varphi}\in S\Rightarrow {\check{\phi }*\varphi}\in S$$
le produit de deux fonctions $C^\infty$ à décroissance rapide étant évidement aussi $C^\infty$ à décroissance rapide.Ensuite on repart de la définition de la  convolution. On a pour tout $\varphi \in S$ :
$$\begin{eqnarray*}
\langle \widehat{\phi*u} ,\varphi \rangle
&=& \langle  \phi*u, \widehat{\varphi} \rangle  \\
&=& \langle  u, \check{\phi}*\widehat{\varphi} \rangle  \end{eqnarray*}$$
La fonction test $\check{\phi}*\widehat{\varphi}$  peut être réécrite comme suit :
$$\begin{eqnarray*}
\check{\phi}*\widehat{\varphi}(t)
&=&  \int_{\mathbb R} \check{\phi}(t-\xi)\widehat{\varphi}(\xi) d\xi\\
&=&  \int_{\mathbb R} {\phi}(\xi-t)\widehat{\varphi}(\xi) d\xi\\
&=&  \int_{\mathbb R} {\phi}(s)\widehat{\varphi}(s+t) ds ~~\text{changement de variable }s=\xi-t\\ 
&=&  \int_{\mathbb R} {\phi}(s){\mathcal F}\left(e^{-ixt}\varphi(x)\right)(s) ds ~~\text{Formule translation/Fourier}\\
&=&  \int_{\mathbb R} \widehat{\phi}(x){e^{-ixt}\varphi(x)} dx ~~\text{Formule de Plancherel}\\  
&=& \widehat{\widehat{\phi}\times\varphi}(t)
\end{eqnarray*}$$
Il ne reste plus qu'à ramener la transformée de Fourier  du coté gauche du crochet de dualité :
$$\begin{eqnarray*}
\langle \widehat{\phi*u} ,\varphi \rangle
&=& \langle  \phi*u, \widehat{\varphi} \rangle  \\
&=& \langle  u, \check{\phi}*\widehat{\varphi} \rangle  \\&=& \langle  {u},\widehat{\hat{\phi}\times \varphi} \rangle \\
&=& \langle  \widehat{u},\widehat{\phi}\times \varphi \rangle \\
&=& \langle \widehat{\phi}\times \widehat{u},\varphi \rangle 
\end{eqnarray*}$$