Convergence au sens des distributions

La théorie des distributions permet d'étendre de nombreux résultats sur les fonctions à des cas plus généraux tout en conservant la validité des résultats élémentaires sur les limites, la dérivation, la convolution, les transformées de Fourier. Cependant les résultats ne sont pas toujours intuitifs, surtout lorsqu'on manipule des fonctions qui ne sont pas localement intégrable ${\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$. Voici un exemple très simple où la convergence simple n'implique pas la convergence au sens des distributions :

 Théorème  au sens des distributions on a $ \displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0^+}{1\over x+i\varepsilon} = V.P.{1\over x}-i\pi\delta$

 en d'autres termes on a donc que 

$ \displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0^+}{1\over x+i\varepsilon} = {1\over x}~~~p.p.t. x\in {\mathbb R}~~$ mais pourtant $ ~~\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0^+}{1\over x+i\varepsilon} \neq V.P. {1\over x}$  dans ${\mathcal D}'({\mathbb R})$

Pour calculer cette limite commençons par évaluer ${1\over x+i\varepsilon} $ sur une fonction test  $\phi\in{\mathcal D}({\mathbb R})$

$$<{1\over x+i\varepsilon} ,\phi>=\int_{-\infty}^{+\infty}{1\over x+i\varepsilon} \phi(x) dx =\int_{-\infty}^0{1\over x+i\varepsilon} \phi(x) dx  + \int_0^{+\infty}{1\over x+i\varepsilon} \phi(x) dx$$

en faisant le changement de variable $x\to-x$ dans la première intégrale :

$$<{1\over x+i\varepsilon} ,\phi>=\int_0^{+\infty}{1\over -x+i\varepsilon} \phi(-x) dx  + \int_0^{+\infty}{1\over x+i\varepsilon} \phi(x) dx$$

puis en multipliant les termes complexes par leurs conjugués respectifs :

$$ {1\over x+i\varepsilon}={x-i\varepsilon\over x^2+\varepsilon^2}~~~~{\rm et}~~~~ {1\over -x+i\varepsilon}=-{x+i\varepsilon\over x^2+\varepsilon^2}$$

on obtient

$$<{1\over x+i\varepsilon} ,\phi>=\int_0^{+\infty}{x-i\varepsilon\over x^2+\varepsilon^2}\phi(-x)   -{x+i\varepsilon\over x^2+\varepsilon^2}\phi(x)  dx$$  

 puis on peut  simplifier comme suit :

$$<{1\over x+i\varepsilon} ,\phi>=\underbrace{\int_0^{+\infty}{x\over x^2+\varepsilon^2}(\phi(x)-\phi(-x) ) dx}_{(1)}  -i \underbrace{ \int_0^{+\infty}{\varepsilon\over x^2+\varepsilon^2}(\phi(x) + \phi(-x)) dx}_{(2)}$$ 

Le terme $(1)$  se réduit à l'action de  $V.P.{1\over x} $  quand ${\varepsilon\to0^+}$

 $$<V.P.{1\over x},\phi>=\int_0^{+\infty}{\phi(x) -\phi(-x) \over x}dx$$

en utilisant le théorème de convergence dominée puisque :

• ${x\over x^2+\varepsilon^2}(\phi(x)-\phi(-x) ) \mathop{\longrightarrow}_{\varepsilon\to0^+} {1\over x}(\phi(x)-\phi(-x) )$
• $\left\vert {x\over x^2+\varepsilon^2}(\phi(x)-\phi(-x) )\right\vert \leq \left\vert {1\over x}(\phi(x)-\phi(-x) ))\right\vert \in {\mathbb L}^1({\mathbb R})$

Pour le terme $(2)$ on va faire le changement de variable $x=\varepsilon t$

$$ \int_0^{+\infty}{\varepsilon\over x^2+\varepsilon^2}(\phi(x) + \phi(-x)) dx  =   \int_0^{+\infty}{1\over 1+t^2}(\phi(\varepsilon t) + \phi(-\varepsilon t)) dt$$  

mais comme $\int_0^{+\infty} {1\over 1+t^2} dt={\pi\over 2}$ et $\displaystyle\phi(\varepsilon t) + \phi(-\varepsilon t)\mathop{\longrightarrow}_{\varepsilon\to0^+}2\phi(0)$ on obtient toujours avec le théorème de convergence dominée que

$$ \int_0^{+\infty}{\varepsilon\over x^2+\varepsilon^2}(\phi(x) + \phi(-x)) dx  \mathop{\longrightarrow}_{\varepsilon\to0^+} \pi \phi(0)=<\pi\delta,\phi>$$

Ce résultat est très important  en  analyse fonctionnelle puisqu'il permet de démontrer le théorème spectral  :

Théorème spectral Soit A un opérateur auto-adjoint (pas forcément borné) sur un espace de Hilbert $\mathcal H$, dont le produit scalaire est noté $(.,.)_{\mathcal H}$, alors il existe une famille croissante de projecteurs $E(\lambda)$   définie ${p.p.t. ~\lambda\in{\mathbb R}}$ telle que : $$(Af,g)_{\mathcal H}=\int_{\mathbb R} \lambda d(E(\lambda)f,g)_{\mathcal H}  ~~\forall f,g \in \Omega \text{ dense dans } {\mathcal H}$$  où la mesure $d(E(\lambda)f,g)_{\mathcal H}$ a pour densité ${d\over d\lambda}(E(\lambda)f,g)_{\mathcal H}$ par rapport à la mesure de Lebesgue $d\lambda$, cette densité étant définie  par la limite suivante des résolvantes de l'opérateur A : $${d\over d\lambda}(E(\lambda)f,g)_{\mathcal H} =\lim_{\varepsilon\to0^+} {1\over 2i\pi}\left( ( (A-(\lambda +i\varepsilon )Id)^{-1}- (A-(\lambda -i\varepsilon )Id)^{-1})  f,g\right)_{\mathcal H}$$