Jouons avec les séries de Fourier!

J''ai toujours été attiré par les résultats donnant la valeur de séries d'apparence simple  comme $\zeta(2)=\sum_{k=1}^\infty {1\over k^2}={\pi^2\over 6}$. Alors lorsque je me retrouve à enseigner les séries de Fourier, j'ai toujours envie de sortir des exemples ''classiques'' de calculs de séries de Fourier qui finissent par retomber sur le calcul de $\zeta(2),\eta(2),\zeta(4),\eta(4),\dots$ après des calculs hors de porté de mes étudiants. Je me suis donc intéressé à la recherche d'autres formules et je suis tombé avec surprise sur des formules  simples mais intéressantes à démontrer (y compris pour trouver des sujets d'exercices) que je n'avais jamais rencontré lors de mes études. Ces formules sont obtenues en utilisant le théorème de Dirichlet :

Théorème de Dirichlet

Soit $f$ une fonction  $2\pi-$périodique et $C^1$ par morceau (donc admettant en chaque $x\in{\mathbb R}$ des limites finies pour $\lim_{t\to x^\pm}f(t)=:f(x^\pm)$ et $\lim_{t\to x^\pm}f'(t)=:f'(x^\pm)$  ) alors $f$ est ``presque partout" égale à sa série de Fourier : $$(1)~~~~\forall x\in{\mathbb R},~~~~  \sum_{k\in{\mathbb Z}} c_k(f) e^{ikx}=\left\{\begin{array}{ccl} f(x) &si& f\textrm{ continue en }x\\ &&\\ {f(x^+)+f(x^-)\over 2} &si&f \textrm{ discontinue en }x \end{array} \right.$$
où $\displaystyle c_k(f)={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi} e^{-ikx} f(x) dx$.

Dans la pratique on préfère souvent utiliser un développement avec les fonctions à valeurs réelles $\{x\to \sin(kx)~\vert ~k\in{\mathbb N}^*\}$ et $\{x\to\cos(kx)~\vert~k\in {\mathbb N}\}$ qui permettent en plus de tirer parti de la parité de la fonction à développer en séries de Fourier. Par exemple en utilisant la fonction $ f(x)={\pi-x\over 2}$ pour $x\in[0;2\pi]$ et prolongée par périodicité à tout ${\mathbb R}$,  on obtient en utilisant le théorème de Dirichlet que

$$f(x)=\sum_{k=1}^\infty {\sin(kx)\over k}~~~p.p.t. x\in{\mathbb R}$$

ce qui permet de trouver au point    $x={\pi\over 2}$  (point de continuité de $f$) la formule de Leibniz :

$${\pi\over 4}=\sum_{k=1}^\infty {\sin(k\pi/2)\over k}=\sum_{k=1}^\infty {(-1)^k\over 2k+1}$$

le graphe de la fonction $f$

Maintenant si on pose $f_1(x)=f(x+1)$ on peut trouver son développement en séries de Fourier à partir de celui de $f$ en utilisant que $\sin(k(x+1))=\sin(kx+k)=\sin(kx)\cos(k)+\cos(kx)\sin(k)$, donc

$$f_1(x)=\sum_{k=1}^\infty {\cos(k)\over k}\sin(kx)+{\sin(k)\over k}\cos(kx) ~~~p.p.t. x\in{\mathbb R}$$

en appliquant le théorème de Dirichlet aux points $x=0$ et $x=\pi$ on obtient facilement deux nouvelles  formules :

$$\sum_{k=1}^\infty {\sin(k)\over k}={\pi-1\over 2}~~~~{\rm et}~~~~ \sum_{k=1}^\infty  (-1)^k{\sin(k)\over k}=-{1\over 2}$$

le graphe de la fonction $f_1$

À partir de ces formules on peut facilement en obtenir pour les séries des termes pairs et impairs :

$$\sum_{k=1}^\infty {\sin(k)\over k}=\sum_{k=1}^\infty {\sin(2k)\over 2k}+ \sum_{k=0}^\infty  {\sin(2k+1)\over 2k+1}$$

 $$\sum_{k=1}^\infty (-1)^k {\sin(k)\over k}=\sum_{k=1}^\infty {\sin(2k)\over 2k}- \sum_{k=0}^\infty  {\sin(2k+1)\over 2k+1}$$

 on en déduit en additionnant/soustrayant les deux formules précédentes que :

$$\sum_{k=1}^\infty {\sin(2k)\over k}={\pi\over 2}-1~~~~{\rm et}~~~~ \sum_{k=0}^\infty  {\sin(2k+1)\over 2k+1}={\pi\over 4}$$

Continuons maintenant en utilisant la fonction $ f_2(x)={(\pi-x)^2\over 4}$ pour $x\in[0;2\pi]$ et prolongée par périodicité à tout ${\mathbb R}$,  on obtient en utilisant le théorème de Dirichlet (et que $f_2$ est partout continue!) que

$$f_2(x)={\pi^2\over 12}+\sum_{k=1}^\infty {\cos(kx)\over k^2}~~~\forall x\in{\mathbb R}$$

ce qui permet de trouver aux points $x=0$ et   $x=\pi$

$$\sum_{k=1}^\infty {1\over k^2}={\pi^2\over 6}~~~~{\rm et}~~~~\sum_{k=1}^\infty {(-1)^k\over k^2}=-{\pi^2\over 12}$$

 

 graphe de la fonction $f_2$

En jouant  avec les formules basiques de trigonométrie et la linéarité de la sommation des séries convergente, on peut en déduire d'autre formules. En partant de $\cos(k)^2+\sin(k)^2=1$ on obtient :

$$ \sum_{k=1}^\infty {\cos(k)^2\over k^2}+\sum_{k=1}^\infty {\sin(k)^2\over k^2}={\pi^2\over 6}$$

de même en utilisant que $\cos(k)^2-\sin(k)^2=\cos(2k)$  :

$$ \sum_{k=1}^\infty {\cos(k)^2\over k^2}-\sum_{k=1}^\infty {\sin(k)^2\over k^2}=\sum_{k=1}^\infty {\cos(2k)\over k^2}={\pi^2\over 6}-\pi+1$$

car en calculant $f_2$ en $x=2$   on a

$$\sum_{k=1}^\infty {\cos(2k)\over k^2}={(\pi-2)^2\over 4}-{\pi^2\over 12}={\pi^2\over 6}-\pi+1$$


 on en déduit en additionnant/soustrayant les deux formules précédentes que :

$$\sum_{k=1}^\infty {\sin(k)^2\over k^2}={\pi-1\over 2}~~~~{\rm et}~~~~ \sum_{k=1}^\infty {\cos(k)^2\over k^2}={\pi^2\over 6}-{\pi-1\over 2}$$