resommation des séries divergentes et théorie des distributions

Je suis tombé il y a quelques semaine sur une page web regroupant les actes des journées mathématiques X-UPS  et en particulier sur ceux de l'année 1991 consacrées aux séries divergentes et procédés de resommation  un sujet qui, lors de mes études, m'a toujours été présenté comme la part obscure de l’œuvre d'Euler ... c'est donc un bon sujet de "divertissement mathématique" en ce début de vacances :-). Le document commence d'ailleurs par une succulente  citation de Heaviside :

"This series is divergent, therefore we may be able to do something with it."

L'article qui m'a le plus intéressé est celui de J-P Ramis. Partant des formules proposées par Euler  :

$$ S=\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n} = 1-1+1-1+\dots+(-1)^{n} +\dots = {1\over 2}$$

et

$$U= \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}n= 1-2+3-4+\dots +(-1)^{n+1} n+\dots = {1\over 4}$$

il tente d'expliquer comment justifier, dans un cadre mathématiquement rigoureux, ces formules ainsi que leurs preuves données par Euler :

$$S=  1-1+1-1+\dots= 1-\underbrace{(1-1+1-1+\dots)}_{S}= 1-S \Rightarrow  S= {1\over 2}$$

 et

$$\left.\begin{eqnarray*}2U&=&1-2+3-4+\dots\\
&& \phantom{1\,}+1-2+3-4+\dots\\
&=&  1-1+1-1+\dots= S
\end{eqnarray*}\right\}
\Rightarrow  U= {1\over 4}$$

 Grâce au site Euler Archive on peut consulter le texte original d'Euler  http://eulerarchive.maa.org/pages/E247.html pour constater que c'est à peu près ce qu'écrivait Euler!

Pour en revenir à l'article, d'un point de vue théorique, la sommation est une forme linéaire L sur E  un espace vectoriel normé constitué de suites $(a_n)_{\mathbb N}$ (disons bornées pour simplifier $E=l^\infty({\mathbb N})$ ) mais qui n'est définie et continue que sur un sous-espace dense $l^1({\mathbb N})$ par :
$$ L (a_n)= \sum_{n=0}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty }\sum_{n=0}^N a_n$$
 Le Théorème de Hahn-Banach  nous assure qu'on peut prolonger cette forme linéaire à E ... mais il ne dit pas comment. D'un point de vue pratique,on cherche donc les différentes manières de prolonger  L au plus grand sous-espace de E possible. Un tel prolongement doit vérifier plusieurs propriétés : 

1. la linéarité L doit rester une forme linéaire $L(\alpha (a_n)+\beta (b_n))=\alpha L (a_n)+\beta L (b_n)$
2. la régularité: si la suite de sommes partielles est convergente vers une limite S alors on doit avoir $L(a_n)=S$
3. la stabilité  : $L(a_n)=a_0+L(a_{n+1})$ qui est la base des preuves données par Euler.

Sous ces hypothèses il y a deux cadres dans lesquels on peut justifier simplement ces formules :

• les méthodes Abéliennes qui utilisent des prolongements analytiques pour définir la somme des séries divergentes, par exemple :
  $$ \sum_{n=0}^\infty a_n =\lim_{x\to 1^-}\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$$
• Les méthodes Taubériennes qui utilisent des outils sur les moyennes (lemme de Césaro) par exemple :
  $$ \sum_{n=0}^\infty a_n =\lim_{N\to\infty} {1\over N+1}\sum_{n=0}^N \left(\sum_{k=0}^na_k\right)$$

Si on accepte d'affaiblir les propriétés du prolongement on peut obtenir d'autres méthodes intéressantes comme la sommation de Borel  (qui ne respecte pas la stabilité). Dans le cas de la série $ S=\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}$ on retrouve bien le résultat d'Euler par les méthodes Abéliennes et Taubériennes :

• en utilisant la formule de la série géométrique $$ f(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}x^n={1\over 1+x}\Rightarrow S=f(1)={1\over 2}$$
• en calculant explicitement les sommes partielles $$\sum_{k=0}^n(-1)^k=\left\{\begin{array}{rcl}1&si& n ~pair\\0&si& n ~impair\\\end{array}\right.$$ on a bien que  $${1\over N+1} \sum_{n=0}^N \left(\sum_{k=0}^na_k\right)={1\over N+1} \left({N\over 2}+O(1)\right) \mathop{\rightarrow }_{N\to\infty}{1\over 2}=S$$

Ce qui est amusant c'est qu'on peut retrouver ce résultat à partir de la théorie des Distributions et des séries de Fourier! En effet si je considère la fonction $2\pi$-périodique définie par $f(x)={\pi-x\over 2}$ pour $x\in[0,2\pi[$ et prolongée par périodicité à tout $\mathbb R$ on obtient en utilisant le théorème de Dirichlet que :
$$f(x)=\sum_{k=1}^\infty {\sin(kx)\over k}~~~p.p.t. x\in{\mathbb R}$$
au sens des distributions cela signifie qu'on a une distribution régulière T définie pour toute fonction test $\phi$ par :
$$<T,\phi>= \lim_{n\to \infty}< \sum_{k=1}^n {\sin(kx)\over k},\phi> $$
 on peut alors dériver T au sens des distributions :
$$\begin{eqnarray*}
 <T',\phi>&=& -<T,\phi'> =\lim_{n\to \infty}- < \sum_{k=1}^n {\sin(kx)\over k},\phi'> \\
&=&\lim_{n\to \infty} < \sum_{k=1}^n {\cos(kx)},\phi>= < \sum_{k=1}^\infty {\cos(kx)},\phi> \\
\end{eqnarray*}$$
ce qui donne un sens, dans la théorie des distributions, à la somme $ \sum_{k=1}^\infty {\cos(kx)}$. D'un autre coté $T'$ est la dérivée d'une distribution associée à une fonction $f$ qui est  $C^1$ par morceaux, la dérivée de $f$ est presque partout égale à -1/2 sauf aux points de discontinuité (les multiples entiers de $2\pi$)  où la fonction possède un "saut" de $\pi$,  donc en appliquant la formule des sauts à T  on obtient qu'il faut ajouter à la dérivée "classique" de f des distributions de Dirac aux points de discontinuité de f :

$$ T'=-{1\over 2}+\sum_{k\in{\mathbb Z}} \pi\delta_{2k\pi}$$

La distribution T' est donc régulière en dehors des points $2k\pi$, avec  $k\in {\mathbb Z}$, et elle est associée à la fonction f'(x)=1/2 ce qui permet de donner un sens à la valeur de $\sum_{k=1}^\infty {\cos(kx)}$ en $x=\pi$ :

$$f'(\pi)=-{1\over 2}= \sum_{k=1}^\infty {\cos(k\pi)}= \sum_{k=1}^\infty (-1)^k
\Longrightarrow \sum_{k=0}^\infty (-1)^k=1-{1\over 2}={1\over 2}$$

on retrouve bien le résultat donné par Euler. Je trouve impressionnant  de voir à quel point la théorie des distributions permets de donner un cadre unique et bien posé à de nombreux problèmes antérieurs!