Sophomore's Dream

Aujourd'hui, en consultant mon flux sur google+, je suis tombé hier sur l'image suivante qui sert d'affiche aux BSSM2012 (Brussels Summer School of Mathematics):

je n'aurai jamais pensé à "nommer" cette équation mais il faut avouer que les anglo-saxons ont souvent un certain talent pour trouver des noms "accrocheurs"  pour toutes sortes d'égalités et de théorèmes comme dans ce cas! Ici l'équation qui paraît trop belle pour être vraie est donc qualifiée de "sophomore's dream" où le terme  "sophomore" désigne un étudiant en deuxième année d'étude ... l'expression aurait en fait pour origine l'expression "Freshman's dream "  par laquelle le  mathématicien  Kleene aurait désigné la formule  $(a+b)^2=a^2+b^2$ susceptible de perturber les jeunes étudiants découvrant les calculs en caractéristique 2.
Pour revenir aux mathématiques, la démonstration de cette formule est assez simple puisqu'elle repose sur l'intégration du développement en séries entières:
 $$x^{-x}=e^{-x\ln(x)}=\sum_{k=0}^\infty {(-x\ln(x))^k\over k!}$$
que l'on peut calculer en intégrant par parties plusieurs fois de suite :
$$\begin{eqnarray*}
 \int_0^1 {(-x\ln(x))^k\over k!} dx
&=& \underbrace{\left[{(-1)^kx^{k+1}(\ln(x))^k\over (k+1)(k!)}\right]_0^1}_{=0}-\int_0^1 {(-1)^kx^{k+1}k\ln(x)^{k-1}\over (k+1)x(k)!} dx\\
&=&\int_0^1 {(-1)^{k+1}x^{k}(\ln(x))^{k-1}\over (k+1)(k-1)!} dx
=\dots =\int_0^1 {(-1)^{2k}x^{k}(\ln(x))^{0}\over (k+1)^{k}0!} dx\\
&=& \left[{x^{k+1}\over (k+1)^{k+1}}\right]_0^1={1\over (k+1)^{k+1}}
\end{eqnarray*} $$
 Il ne reste plus qu'à intervertir $\sum$ et $\int$ ce qui est possible car pour tout $x\in[0,1]$ on a la majoration
$$\left\vert {(-x\ln(x))^k\over k!}\right\vert \leq {1\over k!}$$
la série converge donc normalement et on obtient :
$$ \int_0^1 x^{-x}dx
= \int_0^1\sum_{k=0}^\infty {(-x\ln(x))^k\over k!}dx
= \sum_{k=0}^\infty \int_0^1{(-x\ln(x))^k\over k!}dx
= \sum_{k=0}^\infty{1\over (k+1)^{k+1}}
=\sum_{n=1}^\infty{ n^{-n}}$$