équations différentielles linéaires à solutions bornées

Cette semaine je suis tombé sur une question intéressante posée sur le blog de Math O' Man  :

Soient $A$ une matrice carrée  et $B(t)$ une matrice carrée (de même taille) continue pour $t\geq 0$. Si toutes les solutions de $X'(t)=AX(t)$ sont bornées, alors quelles sont les conditions sur $B(t)$ pour que les solutions du système $X'(t)=(A+B(t))X(t)$ soient bornées pour $t\geq 0$?

cette question en apparence simple ne l'est pas et est l'occasion de montrer l'utilisation de deux outils très importants dans l'étude d'équations différentielles : Le lemme de Grönwall et la formule de Duhamel.

Face à une question comme celle là on peut se retrouver perdu, il ne faut donc pas hésiter à regarder des cas simple pour essayer de deviner une condition raisonnable sur $B(t)$. Par exemple en dimension 1 la situation est assez simple, puisqu'on peut résoudre exactement l'équation :
 $$x'(t)=(a+b(t))x(t)\Longrightarrow x(t)=x_0\exp\left({at+\int_0^t b(s) ds}\right)$$
on en déduit facilement les conditions sur $a$ et $b(t)$  :

• pour que les solutions de $x'(t)=ax(t)$ soient bornées (pour $t\geq 0$) il faut que ${\rm Re}~a\leq 0$
• pour que les solutions de $x'(t)=(a+b(t))x(t)$ soient bornées (pour $t\geq 0$) il faut en plus que
  $$\sup_{t\geq 0}\left\vert \int_0^t b(s) ds\right\vert <\infty $$

En dimension supérieure on peut généraliser ces conditions :

• pour que les solutions de $X'(t)=AX(t)$ soient bornées (pour $t\geq 0$) il faut que toutes les valeurs propres $\lambda$ de $A$  aient une partie réelle  négative  ${\rm Re} \lambda\leq 0$
• pour que les solutions de $X'(t)=(A+B(t))X(t)$ soient bornées (pour $t\geq 0$) il faut en plus que
  $$\sup_{t\geq 0}\int_0^t \vert B(s)\vert ds <\infty $$

Les conditions sont donc un peu plus restrictives qu'en dimension 1, comme le montre  le passage de la valeur absolue $\vert\dots\vert$ à l'intérieur de l'intégrale. C'est dû au fait qu'on ne va plus pouvoir calculer exactement les solutions et qu'on va devoir faire des majorations nous faisant perdre un peu en précision.

Le cas le plus important à comprendre  est celui  des matrices de rotation, dont les trajectoires sont des cercles comme :
$$A=\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix};~~X'(t)=AX(t);~~X(0)=r_0 \begin{pmatrix}\cos(\theta_0)\\ \sin(\theta_0)\end{pmatrix} \Longrightarrow X(t)=r_0 \begin{pmatrix}\cos(t+\theta_0)\\ \sin(t+\theta_0)\end{pmatrix} $$
celle-ci vérifie que $<X,AX>=0$ pour tout vecteur $X$, ce qui va nous simplifier les choses dans un premier temps. Dans ce cas la démonstration qui conduit à la condition sur $B(t)$  repose sur le Lemme de Grönwall

Soient $\phi(t)$ et $\psi(t)$ des fonctions positives et continues pour $t_0\leq t\leq t_1$ alors
$$\exists K,L>0,~~\phi(t)\leq K+L\int_{t_0}^t \psi(s)\phi(s) \, \mathrm{d} s  \Rightarrow \phi(t)\leq K\exp\left(L\int_{t_0}^t \psi(s)\, \mathrm{d} s\right),~~~~\forall t_0\leq t\leq t_1.$$

En effet si on pose $\phi(t)=\vert X(t)\vert ^2$  la dérivée de $\phi$ vérifie :
 $$ \phi'(t)=2<X(t),X'(t)>=\underbrace{2<X(t),AX(t)>}_{=0}+2<X(t),B(t)X(t)>$$
 on va vérifie les hypothèses du lemme de Grönwall en écrivant que $\phi(t)=\phi(0)+\int_0^t \phi'(s) ds $ puis en majorant brutalement les dans l'intégrale :
$$\phi(t)=\vert \phi(t)\vert \leq \vert\phi(0)\vert +\int_0^t \vert 2<X(s),B(s)X(s)>\vert ds
\leq \vert\phi(0)\vert +\int_0^t 2 \vert B(s)\vert \phi(s) ds $$

on en déduit donc le même type d'estimation que en dimension 1 :
$$\vert X(t)\vert= \sqrt{\phi(t)}\leq \vert X_0\vert \exp\left(\int_0^t \vert B(s)\vert ds\right)$$
On peut le vérifier sur quelques exemples,  en utilisant un logiciel comme Scilab  capable de résoudre numériquement l'équation et d'afficher les trajectoires (voir aussi mon autre billet j'utilise Scilab pour des problèmes de mécanique céleste). Le petit script suivant permet de calculer des trajectoires en choisissant le point de départ par un clic de souris dans une fenêtre graphique :

A=[0 -1;1 0]//matrice de rotation
function y=f(t, x)
    x=x(:)// mettre x en colonne
    B=[1,1;1,1]*(1+t^2).^(-1)//matrice B(t)
    y=(A+B)*x// définit l'équation différentielle
endfunction
    t=[0:0.02:30]';// intervalle de temps 
    bouton=5;
    clf;plot(0,0,'*');xgrid(3)// lancement fenêtre graphique
while bouton<>3// tant qu'on a pas fait un clic gauche
    [bouton,x1,x2]=xclick();//choix du point de départ
    x=ode([x1;x2],0,t,f);// résolution de x'=f(t,x)
    plot(x(1,:),x(2,:),'-r')// affichage de la trajectoire
end

voici les trajectoires qu'on obtient pour différentes matrices $B(t)$ :

On a pris ici à chaque fois $B(t)=b(t)\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ et on peut vérifier la pertinence de la condition annoncée sur $b(t)$ :

• la trajectoire semble bien rester bornée pour $b(t)={1\over 1+t^2}$ ou $b(t)=\exp(-t)$
• la trajectoire semble par contre s'échapper à l'infini pour $b(t)={1\over 1+t}$ ou $b(t)=\cos(t)$

Attention, les résultats sont en fait très sensible à la "forme" des matrices. Par exemple si on avait pris  $B(t)=\cos(t)\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ alors la trajectoire reste bornée contrairement à ce qui se passe avec $B(t)=\cos(t)\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ ! Ca se démontre facilement en écrivant que
$$(\vert X(t)\vert^2)'=2<X(t),B(t)X(t)>=2\cos(t) \vert X(t)\vert^2\Longrightarrow \vert X(t)\vert= \vert X_0\vert \exp\left(\int_0^t\cos(s)ds\right)$$
qui reste bien bornée pour tout $t$.  Pour généraliser le résultat à  d'autres matrices  $A$ ayant leur trajectoires bornées mais ne vérifiant pas la propriété $<X,AX>=0$ , il faut utiliser la formule de Duhamel qui exprime les solutions de $X'=(A+B(t))X$ en fonction de $e^{At}$ :
$$X(t)=e^{At}X_0 +\int_0^t e^{A(t-s)}B(s)X(s) ds$$
si on suppose que les trajectoires intégrales de $A$ sont bornées (pour $t\geq 0$), c'est à dire que :
$$ \exists C>0,~~\forall t\geq 0,~~\vert e^{At}X_0\vert \leq C \vert X_0\vert $$
alors
$$\begin{eqnarray*}
\vert X(t)\vert &\leq &\vert e^{At}X_0\vert +\int_0^t \vert e^{A(t-s)}B(s)X(s)\vert  ds\\
&\leq & C\vert X_0\vert  +C\int_0^t \vert B(s)\vert~ \vert X(s)\vert  ds
\end{eqnarray*}$$
en utilisant encore le Lemme de Grönwall on obtient finalement que :
$$\vert X(t)\vert \leq C\vert X_0\vert \exp\left({C\int_0^t \vert B(s)\vert ds}\right),~~~\forall t\geq 0$$
ce qui généralise les résultats précédents (au prix de l'apparition de la constante $C$ dans la majoration).