Transformation de Fourier des distributions

Dans un billet précédent j'ai parlé de la transformation de Fourier (TF) comme d'une transformation définie par l'intégrale:
$$ ({\mathcal F}f)(\xi)=\widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb R} e^{-ix\xi}f(x) dx~~~~(1)$$
cette formule n'est bien définie que si $f\in{\mathbb L}^1({\mathbb R})$ alors comment étendre cette définition à des  fonctions  comme  $f(x)=1$ ou $e^{iax}$ ou même à des distributions singulières comme $\delta$ ou ${\rm VP{1\over x}}$?




  1 Définition de la TF par crochet de dualité

La première idée est de définir la transformation de Fourier par un crochet de Dualité :

$$ <{\cal F}T,f>= <T,{\cal F}f>~~~~\forall f\in{\cal D}$$

en effet d'après la formule de Plancherel cette définition garantie que la transformée de Fourier d'une distribution régulière, associée à une fonction $h\in{\mathbb L}^1({\mathbb R})$, soit la distribution régulière associée à $\widehat{h}$ :

$$ <{\cal F}T,f>= <T,{\cal F}f>= \int_{\mathbb R} h(\xi)\widehat{f}(\xi) dx=\int_{\mathbb R} \widehat{h}(x) f(x) dx~~~~\forall f\in{\cal D}$$

hélas cette définition n'est pas correcte uniquement à  cause de l'ensemble dans lequel sont prises les fonctions tests! En effet si $f\in{\cal D}$  alors il est évident que $\widehat{f}$ définie par (1) est une fonction analytique, elle ne peut donc pas être à support compact (elle serait alors nulle partout d'après le principe des zéros isolés !). En conséquence le crochet $<T,{\cal F}f>$ n'est pas forcément défini et on ne peut pas définir la distribution ${\cal F}T$ en tant qu'élément de ${\cal D}'$ ...

 Pour contourner ce problème il faut trouver un autre ensemble de fonctions tests ayant des propriétés comparables à ${\cal D}$ et qui soit stable par la transformation de Fourier ${\cal F}$.

2 L'espace de Schwartz

L'idée vient des deux formules liant dérivation et multiplication par  $x$ via la transformation de Fourier :

$$ \partial_\xi ({\mathcal F}f)(\xi) = -i({\mathcal F}xf(x))(\xi)~~~~et~~~~\xi ({\mathcal F}f)(\xi) = -i({\mathcal F}\partial_xf(x))(\xi)$$

D'après ces formules, comme on sait que la transformation de Fourier est  bornée de ${\mathbb L}^1({\mathbb R})$ dans ${\mathbb L}^\infty({\mathbb R})$, et que c'est une fonction continue, on obtient que :

• plus on peut dériver la transformée de Fourier, plus la fonction de départ doit décroitre rapidement pour que la fonction $x\mapsto x^nf(x)$ soit intégrable 
•  plus la fonction de départ est dérivable (en restant intégrable), plus sa transformée de Fourier va décroitre rapidement à l'infini, puisque $\xi\mapsto \xi^n\widehat{f}(\xi)$ reste borné

On en déduit donc la définition du "bon" espace de fonctions tests :

Définition On appelle "espace de Schwartz" l'ensemble des fonctions $C^\infty$ à décroissance rapide
$$ {\mathcal S}({\mathbb R})=\left\{ f\in C^\infty({\mathbb R})~\vert ~{\rm sup}_{\mathbb R} \vert x^\alpha\partial_x^\beta f(x)\vert <\infty ~~\forall \alpha,\beta \in {\mathbb N}\right\}$$

 L'espace de Schwartz est un espace de Fréchet, sa topologie est définie par les semi-normes $$ \Vert f\Vert_{\alpha,\beta}={\rm sup}_{\mathbb R} \vert x^\alpha\partial_x^\beta f(x)\vert  ~~\forall \alpha,\beta \in {\mathbb N}$$ ce qui permet d'y définir "proprement" la transformation de Fourier.

Théorème La transformation de Fourier est une application linéaire continue  et bijective de ${\mathcal S}({\mathbb R})$ dans lui même.

la continuité repose sur l'estimation
$$\begin{eqnarray*}
\Vert\widehat{ f}\Vert_{\alpha,\beta} &=& \Vert \xi^\alpha\partial_\xi^\beta \widehat{ f}(\xi)\Vert_\infty
= \Vert \widehat{ \partial_x^\alpha x^\beta f}\Vert_\infty
\leq  \Vert { \partial_x^\alpha x^\beta f}\Vert_1\\
&\leq&  \sum_{\gamma\leq \alpha} C_\alpha^\gamma\Vert x^{\beta-\gamma}  \partial_x^{\alpha-\gamma}f\Vert_1 \leq \mathop{\sum_{p=0,\dots\alpha}}_{q=0,\dots,\beta+2} C_{p,q}\Vert f\Vert_{p,q}\\
\end{eqnarray*} $$
où pour relier les semi-normes de $\widehat{f}$ à celles de $f$ on a utilisé la fonctinuité de ${\mathcal F}$ de ${\mathbb L}^1({\mathbb R})$ dans ${\mathbb L}^\infty({\mathbb R})$ et une majoration de type "critère de Riemann" :
 $$\begin{eqnarray*} \Vert \widehat{g}\Vert_\infty
&=&\sup_{\xi\in \mathbb R}\left\vert \int_{\mathbb R} e^{-ix\xi}g(x) dx \right\vert\leq \Vert g\Vert_1\\
 &\leq& \left\vert \int_{\mathbb R}{(1+x^2)g(x)\over 1+x^2} dx \right\vert
 \leq \pi \sup_{\xi\in \mathbb R}\left\vert(1+x^2)g(x) \right\vert \leq \pi(\Vert g\Vert_\infty +\Vert x^2g(x)\Vert_\infty )\\ \end{eqnarray*} $$

La bijectivité repose sur la formule d'inversion de Fourier  mais elle n'est pas vraiment nécessaire ici.

3 TF des Distributions tempérées

A partir de l'espace de Schwartz on va pouvoir définir la transformation de Fourier de certaines distribution.

Définition l'ensemble des distributions tempérées ${\mathcal S}'$ est constitué des distributions $T\in{\mathcal D}'$ qui sont continues sur l'espace de Schwartz ${\mathcal S}$ et on a les inclusions ${\cal D}\subset {\cal S}\subset {\cal S}'\subset {\cal D}'$. La transformée de Fourier d'une distribution tempérée $T$ est définie par : $$ <{\cal F}T,f>= <T,{\cal F}f>~~~~\forall f\in{\cal S}$$

Au niveau de la topologie de l'espace des distributions tempérées par rapport à la topologie de D' il faut que l'estimation de $<T,f>$ ne dépendent pas du compact dans lequel est supportée la fonction test $f$.  Dans la pratique les  distributions tempérées doivent être à croissance au plus polynomiale à l'infini , pour une distribution régulière associée à la fonction $f$ cela veut dire que
$$\exists n\in{\mathbb N},~~f(x)=O(x^n)~~~~\textrm{quand }~~~~\vert x\vert \to\infty$$
Par exemple $f(x)=e^{x^2}$ définie une distribution régulière $T$ qui n'est pas tempérée car
$$< T,e^{-x^2}>=\int_{\mathbb R}1 dx~~~\textrm{diverge}$$

Par contre  la distribution de Dirac $\delta$ est tempérée car :$$ \vert <\delta,f>\vert =\vert f(0)\vert \leq \Vert f\Vert_\infty ,~~~~\forall f\in{\cal S}$$
on peut donc calculer sa transformation de Fourier :
 $$ <{\cal F}\delta,f>= <\delta,{\cal F}f>=\widehat{f}(0)=\int_{\mathbb R} e^{-ix\times 0}f(x)dx=\int_{\mathbb R} f(x)dx=<1,f>~~~~\forall f\in{\cal S}$$
donc c'est une distribution régulière définie par $\widehat{\delta} (\xi)=1,~~\forall \xi\in{\mathbb R}$.

Inversement la transformée de Fourier de la distribution régulière valant $1$ partout vérifie :
$$ <{\cal F}1,f>= <1,{\cal F}f>=\int_{\mathbb R}\widehat{f}(\xi)d\xi=\int_{\mathbb R} e^{i\xi\times 0}\widehat{f}(\xi)d\xi={f(0)\over 2\pi}=<{1\over 2\pi}\delta,f>~~~~\forall f\in{\cal S}$$
donc c'est la distribution de Dirac  $\widehat{1} ={1\over 2\pi}\delta$. Plus généralement on aura
$$\widehat{e^{iax}} ={1\over 2\pi}\delta(\xi-a)~~~et~~~\widehat{\delta(x-a)} =e^{ia\xi}~~~~\forall a\in{\mathbb R}$$
Les formules de dérivation/multiplication de la transformation de Fourier se transmettent facilement à la TF des distributions et permettent de calculer de nouvelles TF. Par exemple :
$$  <\partial {\cal F}\delta,f>= -<\delta,{\cal F}f'>=-\widehat{f'}(0)=(-i\xi\widehat{f'}(\xi))(0)=0=<{\cal F}(x\delta(x)),f>~~~~\forall f\in{\cal S}$$
normal puisque  $x\delta(x)=0$ , au sens des distributions, et c'est cohérent avec le fait que $1'=0$! De même :
$$  <{\cal F}(\xi),f>= <\xi,{\cal F}f>= <1,\xi{\cal F}f>=<1,i{\cal F}f'>
=<-i\partial {\cal F} 1,f>=<{1\over 2i\pi}\delta',f>~~~~\forall f\in{\cal S}$$
donc $\widehat{x} ={1\over 2i\pi}\delta'(\xi)$.