Le théorème de Paley-Wiener

Dans mes précédents billets j'ai voulu expliquer ce qu'était la transformation de Fourier des Distributions  et comment on les calcule en pratique. Mais quand on enseigne la théorie des distributions à des élèves ingénieurs on se retrouve souvent face à   des calculs du type :

$$\widehat{\delta}(\xi)=\int_{\mathbb R} e^{-ix\xi}\delta(x) dx= e^{-i0\xi}=1$$

le résultat est exact et pourtant le calcul n'a aucun sens puisque la distribution de Dirac $\delta$ n'est pas une fonction ${\mathbb L}^1({\mathbb R})$! Difficile de convaincre les étudiants de ne pas procéder de cette manière .... surtout quand il est possible de donner un sens rigoureux au calcul précédent!!!!

Théorème de Payley-Wiener  Soit $T$ une distribution à support compact alors $\widehat{T}$ est une distribution régulière associée à la fonction analytique  $\widehat{T}(\xi)=<T,e^{-ix\xi}>$

Le point de départ pour prouver ce théorème consiste à réécrire l'intégrale définissant la transformée de Fourier (TF) d'une fonction $\phi\in{\cal S}({\mathbb R})$ comme un crochet de dualité :
$$\widehat{\phi}(\xi)=\int_{\mathbb R} e^{-ix\xi}\phi(x) dx= < e^{-ix\xi},\phi>$$

ce qui veut dire que la TF de $\phi$ est le résultat du crochet de dualité entre la distribution régulière $e^{-ix\xi}$  (dépendant d'un paramètre $\xi$) et $\phi$. Le théorème de Payley-Wiener  généralise cette formule, mais pour justifier cela il faut donner un sens à des crochets de dualité du type $<T,e^{-ix\xi}>$  ce qui amène à poser la question  :

"Peut-on trouver un sous-ensemble des distributions  tempérées ${\cal S}'$ dont les éléments soient des formes linéaires bien définies sur des fonctions tests contenant les fonctions du type $\{e^{-ix\xi}|\xi\in{\mathbb R}\}$ ?"

On voit tout de suite qu'il faut pouvoir se restreindre à des distributions admettant $C^\infty({\mathbb R})$  pour ensemble de fonctions tests. Pour définir une forme linéaire continue sur un tel ensemble alors qu'on  a  "perdu" la notion de support compact des fonction tests, il faut forcément  se restreindre à l'ensemble des distributions à support compact :

Définition L'ensemble des distributions à support compact est défini par $${\cal E}'=\{T\in {\cal D}'~|~\exists K\subset{\mathbb R}, {\rm compact},~~<T,\phi>=0\forall \phi\in{\cal D}(K^c) \}$$   les éléments de ${\cal E}'$ sont des formes linéaires continues sur $C^\infty({\mathbb R})$  pour la topologie usuelle : $$\exists C,N>0,~~|<T,\phi>|\leq C\sum_{k\leq N} ||\partial^k\phi||_{\infty,K},~~\forall \phi\in C^\infty({\mathbb R})$$

Maintenant nous pouvons poser $\widetilde{T}(\xi)=<T,e^{-ix\xi}>$  qui est une fonction bornée en $\xi\in{\mathbb R}$  et essayer de montrer qu'elle est la fonction associée à la distribution régulière $\widehat{T}$. Pour cela il faut se rendre-compte que cette fonction est en fait une fonction analytique !

$$\widetilde{T}(\xi)=<T,e^{-ix\xi}> =<T,\sum_{n\geq 0}{({-ix\xi})^n\over n!}>=\sum_{n\geq 0} <T,x^n>{({-i\xi})^n\over n!}$$

En effet les fonctions $x\mapsto x^n$ étant bien $C^\infty$ les crochets de dualité $<T,x^n>$ sont bien définis et on peut même montrer que $\exists M>0,$ tel que $|<T,x^n>|\leq C M^n$  ce qui assure l'analycité de la série.Reste à montrer que $\widetilde{T}=\widehat{T}$, pour cela il faut tester la distribution $\widetilde{T}$ contre des fonctions de la classe de Schwartz et retrouver la définition de la TF. On commence par utiliser la linéarité de $<\cdot,\cdot>$ par rapport au premier argument (la distribution) pour sortir la somme du crochet de dualité :

$$< \widetilde{T}, \phi>=\langle \sum_{n\geq 0} <T,x^n>{({-i\xi})^n\over n!} ,\phi(\xi) \rangle =\sum_{n\geq 0} <T,x^n>\langle {({-i\xi})^n\over n!} ,\phi(\xi) \rangle$$
 ensuite on utilise la linéarité de $<\cdot,\cdot>$ par rapport au second argument (la fonction test) pour "transférer" le $e^{-ix\xi}$ sur la fonction $\phi$ :
$$< \widetilde{T}, \phi>=\sum_{n\geq 0} <T,x^n\langle {({-i\xi})^n\over n!} ,\phi(\xi) \rangle > =\sum_{n\geq 0} <T,\langle {({-ix\xi})^n\over n!} ,\phi(\xi) \rangle> = <T,\langle e^{-ix\xi} ,\phi(\xi) \rangle >$$

le $x^n$ est passé du premier au second argument de crochet  $<\cdot,\cdot>$ en vertu de la définition du produit d'une distribution par une fonction $f\in C^\infty({\mathbb R})$ :
$$<f\times T,\phi>=<T,f(x)\times \phi(x)>~~~~\forall \phi\in{\cal D}$$
il ne reste plus qu'à remarquer que $\widehat{\phi}(\xi)= < e^{-ix\xi},\phi>$ (c'était le point de départ du raisonnement!) pour trouver que :
$$<\widetilde{T},\phi>=<T,\widehat{\phi}>=<\widehat{T},\phi>$$
 Au passage on récupère que $\widehat{T}$ est une distribution régulière associée à une fonction entière!