\displaystyle \unicode{x0428}_\alpha=\sum_{n\in{\mathbb Z}} \delta_{n\alpha} a pour TF : \displaystyle \widehat{\unicode{x0428}_\alpha}={{2\pi}\over \alpha} \unicode{x0428}_{2\pi\over\alpha}
Le calcul de la TF de cette distribution donne souvent lieu à des démonstrations compliquées et pas très rigoureuses ... y compris sur la page de wikipédia ! En cherchant un peu sur le net on trouve pas mal de démonstrations à base de "séries de Fourier" (puisque Ш est une distribution périodique!) faisant donc intervenir des intégrales n'ayant aucun sens du genre :
c_n(\unicode{x0428}_\alpha)=\sum_{n\in{\mathbb Z}} {1\over \alpha}\int_0^\alpha e^{-ixn}\delta_{n\alpha}(x) dx ={1\over \alpha}
La démonstration n'est pourtant pas compliquée si on connait la formule sommatoire de Poisson. En effet, si on applique à la lettre la définition de la TFon obtient :
< \widehat{\unicode{x0428}_\alpha},\phi> = < \unicode{x0428}_\alpha,\widehat{\phi}> = <\sum_{n\in{\mathbb Z}} \delta_{n\alpha},\widehat{\phi}> = \sum_{n\in{\mathbb Z}}\widehat{\phi}(n\alpha)
mais en appliquant la formule sommatoire de Poisson à la fonction \varphi(x)=\phi({x\over\alpha}) et dont la TF est \widehat{\varphi}(\xi)={\alpha}\widehat{\phi}(\xi\alpha ) on récupère que
< \widehat{\unicode{x0428}_\alpha},\phi> = \sum_{n\in{\mathbb Z}}\widehat{\phi}(n\alpha) = \sum_{n\in{\mathbb Z}}{1\over\alpha}\widehat{\varphi}(n) = \sum_{n\in{\mathbb Z}}{{2\pi}\over \alpha}{\varphi}(2\pi n) = \sum_{n\in{\mathbb Z}}{{2\pi}\over \alpha}{\phi}\left({2\pi n\over\alpha}\right) ={{2\pi}\over \alpha} <\unicode{x0428}_{2\pi\over\alpha},\phi>
d'où le résultat! Au passage si on choisit \alpha=\sqrt{2\pi} tel que {2\pi\over\alpha}=\alpha on obtient que :
\widehat{\unicode{x0428}}_\sqrt{2\pi}= \sqrt{2\pi} \unicode{x0428}_\sqrt{2\pi}
comme pour la fonction Gaussienne ou la distribution régulière 1\over \sqrt{|x|} .
* Le caractère sha est numéroté 1064 ou 1096 en unicode, donc peut s'écrire
Ш
en HTML ou \unicode{x0428} en LaTeX.
Merci pour ce post!!
RépondreSupprimerThhanks great post
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