Une distribution proportionnelle à sa transformée de Fourier

Un résultat important sur la transformation de Fourier (TF) est le calcul de la  TF de la fonction Gaussienne :
$$f(x)=e^{-x^2/2}\Rightarrow{\cal F}f(\xi)=\widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb R}e^{-ix\xi}f(x)dx=\sqrt{2\pi}e^{-\xi^2/2}=\sqrt{2\pi} f(\xi)$$
ce qui signifie que la fonction Gaussienne est un vecteur propre de $\cal F$. Lorsqu'on étend la transformation de Fourier aux distributions, on trouve que la fonction Gaussienne n'est pas la seule à vérifier l'équation $\widehat{T}=\sqrt{2\pi}T$ par exemple on a aussi  :
$$\widehat{1\over\sqrt{|x|}}(\xi)=\sqrt{2\pi}{1\over\sqrt{|\xi|}}$$
 Pour démarrer on commence par définir les deux distributions régulières :
$$S(x)={\rm sign}(x)\sqrt{|x|}~~~~et~~~~T(x)={1\over\sqrt{|x|}}$$
en tenant compte des parités de S et T les crochets de dualité avec $\phi\in {\cal S}$ s'expriment par :
$$<S,\phi>=\int_{\mathbb R}{\rm sign}(x)\sqrt{|x|}\phi(x) dx
= \int_0^{\infty}\sqrt{x}(\phi(x)-\phi(-x)) dx$$
 et
$$<T,\phi>=\int_{\mathbb R}{1\over\sqrt{|x|}}\phi(x) dx
= \int_0^{\infty}{1\over\sqrt{|x|}}(\phi(x)+\phi(-x)) dx$$
 En multipliant la distribution T par x on obtient facilement que  xT=S, mais si on dérive la distribution S on obtient en plus que $S'={1\over 2}T$ :
 $$\begin{eqnarray*}
<S',\phi>&=&-<S,\phi'>=- \int_0^{\infty}\sqrt{x}(\phi'(x)-\phi'(-x)) dx\\
&=&\underbrace{\left[-\sqrt{x}(\phi(x)+\phi(-x)) \right]_0^\infty}_{=0}+ \int_0^{\infty}{1\over2\sqrt{x}}(\phi(x)+\phi(-x)) dx={1\over 2}<T,\phi>
\end{eqnarray*}$$
 En combinant les deux équations $ xT=S$ et $S'={1\over 2}T$  on arrive à l'équation différentielle :
$$\partial_x xT=T+x\partial_x T=\partial_x S={1\over 2}T\Rightarrow x\partial_x T=-{1\over 2}T$$
réciproquement si une distribution $f$ vérifie cette équation différentielle alors c'est une distribution régulière et en dehors de $x=0$ la distribution s'exprime par  ${C\over\sqrt{|x|}}$ avec $C\in{\mathbb R}$. Le problème  c'est qu'il n'y a aucune raison que la constante pour les $x>0$ soit la même que pour $x<0$. 

Proposition Soit $f\in{\cal D}'$ telle que $x\partial_x f(x)=-{1\over 2}f(x)$ alors
$$ \exists a,b\in{\mathbb R},~~~~f(x)={a\over\sqrt{|x|}}H(x)+{b\over\sqrt{|x|}}H(-x)$$
où H est  la fonction de Heaviside (H(x)=1 si x>0 et H(x)=0 sinon).

Maintenant si pour calculer les TF de S et T on applique les formules de dérivation/multiplication à $ xT=S$ et $S'={1\over 2}T$  on obtient :
$$\widehat{S'}=i\xi\widehat{S}={1\over 2}\widehat{T}
~~~~et~~~~
\widehat{xT}=i\partial_\xi\widehat{T}=\widehat{S}\Rightarrow \xi \partial_\xi\widehat{T}=-{1\over 2}\widehat{T}$$
 d'après la proposition donnée plus haut on a donc que
$$\widehat{T}(\xi)={a\over\sqrt{|\xi|}}H(\xi)+{b\over\sqrt{|\xi|}}H(-\xi)$$
 reste à calculer les deux constantes a et b. Pour celà on  va utiliser une technique que j'ai déjà utilisé pour le calcul de la TF de VP1/x   tester la distribution $\widehat{T}$ contre des fonctions tests bien choisies :

• avec $\varphi(x)=xe^{-x^2/2}$  comme $\widehat{\varphi}(\xi)=-\sqrt{2\pi}i\xi e^{-\xi^2/2}$ on a$$\begin{eqnarray*}<\widehat{T},\varphi>&=&\int_0^\infty a{e^{-x^2/2}\sqrt{x}}dx+\int_{-\infty}^0 -b{e^{-x^2/2} \sqrt{|x|}}dx\\  &=&(a-b)\int_0^\infty {e^{-x^2/2}\sqrt{x}}dx\\ <T,\widehat{\phi}>&=&\int^\infty _{-\infty} -\sqrt{2\pi}i{e^{-\xi^2/2}\xi\over \sqrt{|\xi|}}d\xi=0\\&&\Longrightarrow a=b\end{eqnarray*}$$
• avec $\phi(x)=e^{-x^2/2}$  comme $\widehat{\phi}(\xi)=\sqrt{2\pi}e^{-\xi^2/2}$ on a $$\begin{eqnarray*}<\widehat{T},\phi>&=&\int_0^\infty a{e^{-x^2/2}\over \sqrt{x}}dx+\int_{-\infty}^0 b{e^{-x^2/2}\over \sqrt{|x|}}dx\\ &=&(a+b)\int_0^\infty {e^{-x^2/2}\over \sqrt{x}}dx \\<T,\widehat{\phi}>&=&\int^\infty _{-\infty} \sqrt{2\pi}{e^{-\xi^2/2}\over \sqrt{|\xi|}}d\xi=2\sqrt{2\pi}\int_0^\infty {e^{-\xi^2/2}\over \sqrt{\xi}}d\xi\\ &&\Longrightarrow a=b=\sqrt{2\pi}\end{eqnarray*}$$

conclusion :
 $$\widehat{T}(\xi)={\sqrt{2\pi}\over\sqrt{|\xi|}}H(\xi)+{\sqrt{2\pi}\over\sqrt{|\xi|}}H(-\xi)
=\sqrt{2\pi}{1\over\sqrt{|\xi|}}={\sqrt{2\pi}T(\xi)}$$

On aurait pu obtenir que $a=b$ en étudiant la parité de $\widehat{T}$  (car T est paire) , comme le suggérait RRt  en commentaire de mon billet sur la TF de VP1/x, mais pour obtenir la valeur exacte de a et b je ne connais pas d'autre moyen que de tester sur une bonne fonction test ...