Formule sommatoire de Poisson

Voici un petit calcul de série amusant :
 $$ \sum_{n=0}^\infty{1\over 1+n^2}={(\pi+1)e^{2\pi}+\pi-1\over 2(e^{2\pi}-1)}={\pi{\rm coth}(\pi)+1\over 2}\approx 2.07667404746858\dots $$
la solution repose sur une formule que j'aime beaucoup la formule sommatoire de Poisson :

Théorème   Soit $f\in{\cal S}({\mathbb R})$ alors $$\displaystyle  \sum_{n\in{\mathbb Z}}\widehat{f}(n)={ 2\pi}\sum_{n\in{\mathbb Z}} f({2\pi}n)$$

1) Preuve de la formule sommatoire de Poisson 
elle repose sur l'étude de la fonction :
$$F(x)=\sum_{n\in{\mathbb Z}}f(x+2\pi n)$$
cette formule  a un sens car $f$ étant à décroissance rapide la somme converge rapidement, on peut alors facilement en déduire que $F$ est une fonction $C^\infty({\mathbb R}) $ et en plus  $2\pi$-périodique puisque :
$$F(x+2\pi)=\sum_{n\in{\mathbb Z}}f(x+2\pi+2\pi n)=\sum_{n\in{\mathbb Z}}f(x+2\pi (n+1))=F(x)$$
on peut donc calculer ses coefficients de Fourier :
$$c_n(F) ={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}e^{-ixn}F(x) dx
={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}e^{-ixn}\sum_{k\in{\mathbb Z}}f(x+2\pi k) dx$$
en appliquant le théorème de convergence dominée on obtient
$$c_n(F)=\sum_{k\in{\mathbb Z}}{1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}e^{-ixn}f(x+2\pi k) dx$$
il ne reste plus qu'à faire le changement de variable $t= x+2\pi k$ pour obtenir :
$$c_n(F)=\sum_{k\in{\mathbb Z}}{1\over 2\pi}\int_{2\pi k}^{2\pi (k+1)}e^{-itn}f(t) dt
={1\over 2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-itn}f(t) dt  ={1\over {2\pi}}\widehat{f}(n)$$
donc en appliquant le théorème de Dirichlet on obtient
$$ F(x)=\sum_{n\in{\mathbb Z}}f(x+2\pi n)= \sum_{n\in{\mathbb Z}}{1\over 2\pi}\widehat{f}(n)e^{ixn}$$
en particulier en $x=0$ on a :
 $$ F(0)=\sum_{n\in{\mathbb Z}}f(2\pi n)= \sum_{n\in{\mathbb Z}}{1\over 2\pi}\widehat{f}(n)e^{i0n}={1\over 2\pi}\sum_{n\in{\mathbb Z}}\widehat{f}(n)$$

2)Calcul de la série
On remarquera que la validité de la formule peut être étendue, en jouant sur la densité des fonctions de l'espace de Schwartz, tant que les deux séries sont absolument convergentes. Donc on peut remplacer l'hypothèse $f\in{\cal S}({\mathbb R})$ par
$$f\in{\mathbb L}^1({\mathbb R})~~~~et~~~~\widehat{f}\in{\mathbb L}^1({\mathbb R})$$
Cette remarque est nécessaire pour appliquer la formule à la fonction $f(x)=e^{-|x|}$ qui est a décroissance rapide mais pas $C^\infty$! Sa transformée de Fourier est $\widehat{f}(\xi)={2\over 1+\xi^2}$ ce qui s'obtient facilement en calculant les intégrales :
$$\int_0^\infty e^{-ix\xi}e^{-|x|}dx= \int_0^\infty e^{-(1+i\xi)x}dx= \left[-{e^{-(1+i\xi)x}\over 1+i\xi}\right]_0^\infty= {1\over 1+i\xi}$$
et
$$\int^0_{-\infty} e^{-ix\xi}e^{-|x|}dx= \int^0_{-\infty} e^{(1-i\xi)x}dx= \int_0^{\infty} e^{-(1-i\xi)t}dt=  {1\over 1-i\xi}$$
 donc $\widehat{f}$ n'est pas à décroissance rapide mais quand même dans ${\mathbb L}^1({\mathbb R})$. La formule sommatoire de Poisson donne alors :
$$\sum_{n\in{\mathbb Z}} {2\over 1+n^2}=2\pi \sum_{n\in{\mathbb Z}}e^{-2\pi |n|}$$
or la deuxième somme est calculable à partir d'une série géométrique :
$$\sum_{k=0}^\infty e^{-2\pi n}={1\over 1-e^{-2\pi}}={e^{2\pi}\over e^{2\pi}-1}$$
par symétrie
$$ \sum_{n\in{\mathbb Z}}e^{-2\pi |n|}=2\left(\sum_{n=0}^\infty e^{-2\pi n}\right)-1=2{e^{2\pi}\over e^{2\pi}-1}-1={e^{2\pi}+1\over e^{2\pi}-1}$$
de même
$$ \sum_{n=0}^\infty{2\over 1+n^2}=\left(\sum_{n\in{\mathbb Z}} {1\over 1+n^2}\right)+1=\pi {e^{2\pi}+1\over e^{2\pi}-1}+1={(\pi+1)e^{2\pi}+\pi-1\over e^{2\pi}-1}$$
d'où finalement le résultat annoncé!

On remarquera au passage que la formule sommatoire de Poisson permet souvent de remplacer une série convergeant lentement ($\sum {1\over n^2+1} $) par une autre convergeant bien plus rapidement ($\sum e^{-2\pi |n|} $) ...