Convolution d'une distribution par une distribution à support compact

Dans un premier billet  sur la convolution des distributions j'ai expliqué comment on peut définir la convolution d'une distribution par une fonction test. Cette définition est assez contraignante   car dans beaucoup d'applications on a besoin de pouvoir  convoler des distributions avec la distribution de Dirac $\delta$. Pour pouvoir  résoudre ce problème on va se contenter de considérer le cas d'une distribution à support compact :

Définition  soit $u\in{\mathcal E}'$ (distribution à support compact) et $v\in{\mathcal D}'$  alors $u*v$  est la distribution définie par
$$ \langle u*v,\varphi\rangle = \langle u, \langle v,\varphi(t+s)\rangle_s\rangle_t,~~\forall \varphi \in{\mathcal D}~~~(1)$$
de telle sorte que la définition (1) coïncide avec  la définition usuelle de la convolution si $v$  est une fonction test et/ou $u$  est une distribution régulière.

Les sens cachés de la définition (1)

Pour bien comprendre la  définition (1)  on a fait apparaître le nom des variables (s et t) associées à chaque crochet de dualité comme si les distributions u et v étaient à régulières, pour autant les distributions u et v peuvent très bien ne pas être régulières ! Il faut donc comprendre cette formule comme faisant intervenir l'opérateur de translation $\tau_h$ :

$$  \langle u, \langle v,\varphi(t+s)\rangle_s\rangle_t
=\langle u(t), \langle v(s),\varphi(t+s)\rangle_s\rangle_t
=\langle u(t), \langle \tau_{t}v(s),\varphi(s)\rangle_s\rangle_t$$
Pour vérifier la cohérence des notations il faut rappeler que  pour les fonctions usuelles  $(\tau_hf)(x)=f(x-h)$  et pour les distributions :
$$   \langle \tau_h v, \varphi\rangle = \langle v, \tau_{-h} \varphi\rangle $$
le changement de signe $h\to-h$ assure la compatibilité de la définition avec celle des fonctions lorsque la distribution u est régulière (par changement de variable) puisque :

$$  \langle  \tau_h v, \varphi\rangle
=  \int_{\mathbb R} v(x-h)\varphi(x)dx
=  \int_{\mathbb R} v(s)\varphi(s+h)ds
= \langle   u,  \tau_{-h} \varphi\rangle$$

Une autre manière de comprendre cette définition (1) est de considérer le double crochet de dualité  comme une intégrale double,  et donc de considérer la convolution de deux distributions comme un produit tensoriel de distributions ! En d'autres termes on considère la distribution $u\otimes v \in{\mathcal D}'({\mathbb R}^2)$  définie sur les fonctions test du plan par :

$$ \langle u\otimes v,\phi\rangle = \langle u(t)v(s),\phi(t,s)\rangle,~~~\forall \phi \in{\mathcal D}({\mathbb R}^2) $$
et $u*v$ est juste  la restriction de cette distribution aux fonctions de la forme $(s,t)\to \varphi(t+s)=\tilde{\varphi}(s,t)$ :
$$ \langle u*v,\varphi\rangle = \langle u\otimes v,\tilde{\varphi}\rangle = \langle u(t)v(s),\varphi(t+s)\rangle~~~\forall \varphi \in{\mathcal D}({\mathbb R}) $$

Cette définition à l'avantage  de montrer une symétrie entre les rôles de u et v (et donc d'obtenir facilement que $u*v=v*u$) mais le problème c'est que $\varphi\in C^\infty_0({\mathbb R})$ ne suffit pas à assurer que $\varphi(t+s)$ soit à support compact dans ${\mathbb R}^2$!  En effet si on dessine le support de la fonction $\varphi(s+t)$  on voit bien qu'il est contenu dans une bande en "diagonale" dont la "largeur" est déterminée par le support de $\varphi$. 

C'est pour cette raison qu'on a besoin d'ajouter une hypothèse de compacité sur le support de la distribution u. En effet si u est à support compact, il suffit de considérer une fonction $\chi\in C^\infty_0({\mathbb R})$ valant 1 sur le support de u et alors :

$$ \langle u*v,\varphi\rangle= \langle u(t)v(s),\varphi(t+s)\rangle= \langle \chi(t)u(t)v(s),\varphi(t+s)\rangle= \langle u(t)v(s),\chi(t)\varphi(t+s)\rangle$$

qui est parfaitement définie puisque le support de $\chi(t)\varphi(t+s)$  est l'intersection  de la "bande en diagonale" correspondant au support de $\varphi(t+s)$ et de  la "bande verticale" correspondant au support de $\chi(t)$ qui est donc bien compact dans  ${\mathbb R}^2$ :

Extension des résultats usuels sur la convolution

On peut maintenant généraliser quelques résultats obtenus dans le cas de la convolution de distributions par des fonctions tests  au cas de la convolution par une distribution à support compact.

Théorème soient $u\in{\mathcal E}'$ (distribution à support compact) et $v\in{\mathcal D}'$  alors $(u*v)'=(u')*v=u*(v')$

Soit $\phi\in {\mathcal D}$
$$\begin{eqnarray*}
\langle (u*v)' ,\phi \rangle
&=& -\langle u*v ,\varphi'\rangle\\
&=& -\langle u(t) ,\langle v(s), \phi'(s+t)\rangle\rangle  \\
&=& \langle u(t) ,-\langle v(s), \phi'(s+t)\rangle\rangle   \\
&=&  \langle u(t) ,\langle v'(s),\phi(s+t)\rangle\rangle   \\
&=& \langle u*(v') ,\phi\rangle 
\end{eqnarray*}$$
Dans la démonstration on peut facilement échanger le rôle de u et v et donc la distribution sur laquelle porte la dérivation.

Théorème soit $u\in{\mathcal D}'$  alors $u*\delta=\delta*u=u$

comme $\delta$ est à support compact on peut bien faire la convolution et on obtient pour soit $\phi\in {\mathcal D}$:
$$\begin{eqnarray*}
\langle u*\delta ,\phi \rangle
&=& \langle u(t) ,\langle \delta(s), \phi(t+s)\rangle\rangle  \\
&=& \langle u(t) ,\phi(t+0)\rangle   \\
&=&  \langle u,\phi\rangle
\end{eqnarray*}$$

Théorème Soient $u\in{\mathcal E}'$ (distribution à support compact) et $v\in{\mathcal S}'$  (distribution tempérée) alors $\widehat{u*v}=\widehat{u}\times\widehat{v}$

On démarre  avec une fonction test  $\phi\in S$ et on applique les définitions de Transformée de Fourier et de convolution :
$$\begin{eqnarray*}
\langle \widehat{u*v} ,\phi \rangle
&=& \langle{u*v} ,\widehat{\phi} \rangle\\
&=&\langle u(t) ,\langle v(s), \widehat{\phi}(s+t)\rangle\rangle  \\
&=&\langle u(t) ,\langle v(s), \widehat{e^{-i\xi t}\phi(\xi)}(s)\rangle\rangle  \\
&=&\langle u(t) ,\langle \widehat{v}(\xi), {e^{-i\xi t}\phi(\xi)}\rangle\rangle  \\
\end{eqnarray*}$$
Tout ceci est bien justifié. D'abord le crochet $\langle v(s), \widehat{\phi}(s+t)\rangle$  est bien défini car   $\widehat{\phi}(s+t)\in S({\mathbb R}_t)$. Le résultat $\tilde{\phi}(t)$  sera même une fonction $C^\infty$  et comme u est à support compact  le  crochet  $\langle u(t), \tilde{\phi}(t)\rangle$  est bien défini lui aussi . Maintenant si on considère le résultat auquel on doit arriver $\langle \widehat{u}(\xi)\times \widehat{v}(\xi), {\phi}(\xi)\rangle $ comme  $u\in{\mathcal E}'$  alors d'après théorème de Payley-Wiener  $\widehat{u}(\xi)=\langle u(t), e^{-i\xi t}\rangle \in C^\infty$ et est bornée, donc $ \widehat{u}(\xi)\times \widehat{v}(\xi)$  reste bien une distribution tempérée. On peut donc écrire :
$$\begin{eqnarray*}
\langle \widehat{u}(\xi)\times \widehat{v}(\xi), {\phi}(\xi)\rangle
&=&\langle \widehat{v}(\xi), \widehat{u}(\xi)\times {\phi}(\xi)\rangle \\
&=&\langle \widehat{v}(\xi), \langle u(t), e^{-i\xi t}\rangle \times {\phi}(\xi)\rangle \\
&=&\langle \widehat{v}(\xi), \langle u(t), e^{-i\xi t} {\phi}(\xi)\rangle \rangle \\
\end{eqnarray*}$$
Le théorème repose donc sur la commutation des deux crochets :
$$\langle u(t) ,\langle \widehat{v}(\xi), {e^{-i\xi t}\phi(\xi)}\rangle\rangle =\langle \widehat{v}(\xi), \langle u(t), e^{-i\xi t} {\phi}(\xi)\rangle \rangle $$
commutation qui est totalement justifiée si on regarde le double crochet comme un produit tensoriel de distributions.