Quelques formules utiles d'analyse de Fourier

Tout cours d'analyse de Fourier contient de nombreuses formules compliquées mêlant intégrales, TF, convolution, exponentielles ...  il est souvent difficile de s'y retrouver car ces formules ne représentent pas grand chose de concret pour le néophyte. Personnellement j'ai toujours eu besoin d'associer chaque formule  à une expérience, une figure,  un schéma pour me les approprier. Avec les outils numériques d'aujourd'hui ce type d'illustration est beaucoup plus facile à réaliser qu'il y a une vingtaine d'année, en particulier on peut utiliser la dimension "temporelle"  pour rendre ces formules plus vivantes. Vous trouverez ici quelques animations (réalisées avec scilab) que j'utilise pour illustrer mon cours d'analyse de Fourier .

modulation d'amplitude et densité spectrale d'un signal

 Modulation et notion de spectre/fréquence

je vais commencer par les formules de modulation/translation pour la TF :

Théorème : soit $f\in{\mathbb L}^1({\mathbb R})$et $\mu\in{\mathbb R}$ alors  $$\widehat{f(t-\mu)}(\nu)=e^{-i\nu\mu}\widehat{f}(\nu)~~~~\widehat{e^{it\mu} f(t-\mu)}(\nu)=\widehat{f}(\nu-\mu)$$

la démonstration de ces formules  repose sur un changement de variable $t-\mu=x$ ou d’inconnue $\xi=\nu-\mu$  dans la définition de la TF, ici :

$$\widehat{f}(\nu)=\int_{\mathbb R}e^{-ix\nu}f(x){dx\over \sqrt{2\pi}}$$

 Si on  applique cette formule à la fonction Gaussienne $f(x)= e^{-{x^2\over 2}} $ , qui est  sa propre TF , on obtient :

$$ \widehat{e^{\pm iax}f(x)}(\xi)= \widehat{f}(\xi\mp a)= e^{-{(\xi\mp a)^2\over 2}}\Rightarrow \widehat{\cos(ax) f(x)}(\xi)={e^{-{(\xi+ a)^2\over2}}+e^{-{(\xi- a)^2\over 2}}\over 2}$$

 quand on fait varier  $a$  on voit on voit apparaître dans le graphe de f  des oscillations de période $2\pi/a$ et symétriquement dans le graphe de $\widehat{f}$  deux pics d'amplitude centrés en $\pm a$. Cela illustre parfaitement la notion de modulation d'amplitude (AM) en traitement du signal :

• le signal $f(x)$ sert de porteuse pour la modulation $\cos(ax)$ de fréquence $a$
• sa TF  montre la densité d'énergie du signal en fonction de la fréquence $\nu$, cette densité est donc concentré sur la fréquence $\vert \nu\vert =a$

cela permet de comprendre comment la TF  permet d'isoler les différentes fréquences d'oscillation  présentent dans un signal.

Changement d'échelle et principe d'incertitude

Commençons par rappeler la formule de changement d'échelle :

Théorème : soit $f\in{\mathbb L}^1({\mathbb R})$et $a>0$ alors  $$\widehat{f(at)}(\nu)={1\over a}\widehat{f}\left({\nu\over a}\right)$$

La encore la démonstration repose sur un simple changement de variable $x=at$  dans l'intégrale définissant la TF de $f(at)$. On peut  comprendre cette formule avec l'animation suivante  où l'on utilise $f(t)={\bf 1}_{[-1,1]}(t)$ qui correspond à $\widehat{f}(\nu)={\sin(\nu)\over \nu}$.

formule de changement d'échelle et principe d'incertitude

Lorsque $a$ tend vers l'infini le support de $f(at)$ se contracte,  puisque
$$f(at)\neq 0\Leftrightarrow -1\leq at\leq 1\Leftrightarrow -{1\over a}\leq t\leq {1\over a}$$

alors que le graphe de $\widehat{f(at)}(\nu)=\widehat{f(at)}(\nu)={1\over a}{\sin(\nu/a)\over \nu/a}={\sin(\nu/a)\over \nu}$ s'étale . On peut le justifier  en calculant la position où  $\widehat{f(at)}(\nu)$ s'annule au plus près de l'origine ( $\nu=a\pi$)  qui s'éloigne donc à l'infini quand $a$ augmente. Conclusion plus le signal $f$ est concentré plus sa TF est "étalée"  et inversement plus le support de la TF est concentré plus le signal de départ est étalé. C'est ce qu'on appelle le principe d'incertitude très populaire en en mécanique quantique  mais tout aussi important en traitement du signal.

Convolution et corrélation entre signaux :

La corrélation croisée de deux signaux  est définie de manière très analogue à la convolution :

\[\Phi(f,g)(x)=\int_{\mathbb R} f(t) g(t-x) dt= f*\check{g}(x)\]

D'après les propriétés de la convolution, dans le cas ou $f=g\in {\mathbb L}^\infty({\mathbb R})$ et à support compact alors $f*g \in {\mathbb L}^\infty({\mathbb R})$  aussi. En particulier  la fonction $\Phi(f,g)(x)$    est continue , bornée , à support compact et possède donc un maximum. Si $g(t)=\tau_a f(t)=f(t-a)$  alors on a en plus que

$$\Phi(f,g)=f*\check{\tau_a f}=\tau_a(f*\check{f})=\tau_a\Phi(f,f)$$

le maximum  de  $\Phi(f,g)$  va donc être décalé par rapport à celui de $\Phi(f,f)$ du même décalage que $g$ par rapport à $f$. Repérer  la position de ce maximum permet de calculer  le décalage entre deux signaux de manière automatique.  On pourrait se dire qu'il est aussi simple  pour calculer  le décalage entre deux signaux de chercher un maximum sur les signaux de départ  et d'en calculer l'écart mais c'est sans compter sur la présence de bruit. Or l'effet régularisant de la convolution  permet de gommer le bruit, il sera donc plus facile de repérer le maximum  $\Phi(f,g)(x)$, c'est ce qu'illustre cette dernière animation  où les signaux f et g , qui apparaissent en rouge et bleu sont très bruités, et pourtant $\Phi(f,g)(x)$ tracé en vert  possède un maximum assez net et peu bruité.

le maximum de $\Phi(f,g)(x)$ (en vert) correspond bien
au décalage "a" entre les signaux f et g (bleu et rouge)