mécanique des transits de Vénus

A l'approche du transit de Vénus de cette année 2012, j'ai eu envie de  m'intéresser à ce phénomène astronomique d'un point de vu plus mathématique. La question principale est

pourquoi les transits de Vénus devant le soleil sont-ils aussi rares alors que Vénus est fréquemment en conjonction avec le Soleil ?

Ce problème apparence simple demande de bonnes notions de trigonométries et d'analyse pour être résolu, mais il a quand même été résolu dès le début du XVIIième siècle par Képler, et observé quelques années plus tard par Horrocks et Crabtree.




Mouvements apparents de Vénus vus depuis la Terre

Les trajectoires de la Terre et de Vénus autour du soleil sont en première approximation des cercles, contenus dans un même plan (l'écliptique),  parcourus à vitesse constante et ayant des paramètres assez simples  :

• la terre tourne autour du soleil en TT=365.25696 jours  
• le rayon de l'orbite terrestre est RT=1 u.a.=150 millions de km 
• vénus tourne autour du soleil en TV=224.701 jours 
• le rayon de l'orbite de Vénus est RV=0.723332 u.a.=108.5  millions de km

La conjonction de Vénus intervient quand la Terre Vénus et le Soleil sont aligné (dans cet ordre). L'écart de temps $T_V'$ entre deux passages de Vénus entre la Terre et le soleil (la conjonction donc) est obtenu lorsque l'angle parcouru par la Vénus $2\pi{t\over T_V}$ est égal à 1 tour de plus que celui parcouru par la Terre :
$$2\pi{T_V'\over T_V}=2\pi {T_V'\over T_T}+2\pi\Longleftrightarrow T_V'=\left({1\over T_V}-{1\over T_T}\right)^{-1}= 583.9212{\rm j}$$
C'est ce qu'on appelle la période synodique de Vénus. Elle s'en produit donc une environ tous les 1ans et 7 mois, après celle du 06/06/2012 la prochaine conjonction aura lieu le 11/01/2014.

Vu d'au-dessus la situation est la suivante :

orbites de la Terre et de Vénus vues de dessus

Vu depuis la Terre, les choses sont plus difficiles à comprendre. Il est pratique de prendre la direction du Soleil comme référence, de sorte que la double rotation de Vénus et de la Terre nous apparaissent comme un mouvement périodique de Vénus autour du Soleil. Si on admet que les rotations de Vénus et de la Terre sont circulaires et uniformes (ces deux conditions sont équivalentes en fait) alors la coordonnée X de Vénus, dans le repère ci-dessus, est donnée par :
$$X=r_V\sin(\omega t)~~{\rm avec}~~\omega={2\pi\over T_V'}=0.0107603~{\rm rad/j}=0.6165215^\circ/{\rm j}=37 '/{\rm j}$$
Mais dans la pratique on préfère travailler avec des angles, ici l'angle de Vénus vu depuis le Soleil serait $$X_S=\arcsin(X/r_v)=\omega t$$
 mais attention, vus depuis la terre les angles apparents sont modifiés, à l'aide des formules de base de la trigonométrie  on trouve :
$$(r_T-r_V\cos(X_S))\tan(X_T)=r_V\sin(X_S)\Leftrightarrow \alpha_T=\arctan\left({r_V\sin(X_S)\over r_T-r_V\cos(X_S)}\right)$$
donc en unité angulaire apparentes vues depuis la Terre on a
$$X_T=\arctan\left({r_V\over r_T-r_V\cos(\omega t)}\sin(\omega t)\right)$$
en étudiant cette fonction on peut voir que depuis la Terre l'élongation maximale de Vénus par rapport au soleil est de $46,3^\circ$ et se produit presqu'au même moment que la quadrature angle (Terre-Venus-Soleil $=180^\circ - (X_S+X_T)\approx 90^\circ$).

élongation de Vénus en fonction de sa position héliocentrique

Quand on approche de la conjonction les angles sont petits ($X_S$, $X_T$ et $\omega t\approx 0$) on peut donc simplifier les formules en faisant les approximations courantes
$$\cos(u)\approx 1,~~ \sin(u)\approx u,~~\arcsin(u)\approx u,~~~~u\to 0$$
pour Vénus cela revient à faire  $X_T\approx c\times X_S$ par $c={r_V\over r_T-r_V} \approx 2.6$, donc le mouvement journalier apparent de Vénus par rapport au Soleil est d'environ
$$ \omega_V\approx {r_V\over r_T-r_V}\omega  =0.0281322{\rm rad/j}=1^\circ 36'/{\rm j}$$
On peut déduire de cette valeur que la durée maximale d'un transit de Vénus devant le Soleil, en utilisant que le diamètre apparent du Soleil vu de la Terre est $d_T=32'$ 
$$ T={\text{diamètre angulaire Soleil}\over \text{vitesse angulaire Vénus/Soleil}}=
{d_T\over\omega_V}=
{32'\over 96'/{\rm j}}=0.3333{\rm j}=8h$$

Condition pour avoir un transit à la conjonction 

On l'a dit plus haut vu depuis la Terre la position  de Vénus oscille autour du Soleil vu dans le plan des directions $X$ et $Y$ que nous regardons de profil.  Mais il faut aussi tenir compte du fait que la trajectoire de Vénus est inclinée de $i=3.4^\circ$ par rapport à l'écliptique. En conséquence vu depuis la Terre la situation ressemble plutôt à :

orbite de Vénus vue de profil

on a toujours que 
$$X_T=\arctan\left({r_V\over \sqrt{r_T-r_V\cos(\omega t)}}\sin(\omega t)\right)$$
  mais la coordonnée en $Z$ varie selon la période orbitale de Vénus $T_V$, en première approximation on peut dire que
$$Z=r_V\sin(i)\sin(2\pi (t+\phi)/T_V)=r_V\sin(i)\sin(\omega_V(t+\phi))$$
 en supposant que sa ligne des nœuds reste fixe (à notre précision c'est presque vrai), $\phi$ étant le décalage initial entre conjonction et passage au nœud, et avec
$$ \omega_V=2\pi/T_V =0.0279624{\rm rad/j}=1^\circ 36'/{\rm j}$$
qui correspond bien au mouvement apparent de Vénus par rapport au Soleil calculé plus haut! En utilisant la formule d'Al-Kashi  on peut exprimer cet écart en angles apparents vus depuis la Terre ça donne :
$$Z_T=\arctan\left({r_V\over \sqrt{r_T^2+r_V^2\cos(i)^2-2r_Tr_V\cos(i)\cos(\omega t)}}\tan(\sin(i)\sin(\omega_V(t+\phi)))\right)$$

 Pour qu'un transit de Vénus  ait lieu il faut qu'au moment de la conjonction (donc $t\approx 0$) la distance apparente de Vénus au centre du soleil  soit plus petit que le rayon apparent du soleil
$$\sqrt{X_T^2+Z_T^2}\leq d_T/2~~{\rm avec }~~d_T\approx 0.53^\circ=32'$$
Pour résoudre ce problème on a tout intérêt à faire quelques approximations justifiées par le fait que $t\approx 0 $ :
$$X_T\approx {r_V\over r_T-r_V}\omega t
~~~~
Z_T\approx {r_V\over \sqrt{r_T^2+r_V^2\cos(i)^2-2r_Tr_V\cos(i)}}\sin(i)\omega_V(t+\phi)$$
obtenue avec les simplifications  :
$$\cos(\omega t)\approx 1,~~\tan(\omega t)\approx \omega t,~~\tan(\sin(i)\sin(\omega_V(t+\phi)))\approx \sin(i)\omega_V(t+\phi),~~$$
pour qu'il y ait un transit juste au moment de la conjonction (t=0) il faut que
$${r_V\over \sqrt{r_T^2+r_V^2\cos(i)^2-2r_Tr_V\cos(i)}}\sin(i)\omega_V\phi\leq d_T/2$$
$$\Leftrightarrow \phi\leq {d_T\sqrt{r_T^2+r_V^2\cos(i)^2-2r_Tr_V\cos(i)}\over 2r_v\sin(i)\omega_V}=
0.5358364 {\rm j}\approx 12h50m$$
pour savoir s'il y a un transit au moment de la conjonction il suffit donc de vérifier que le décalage entre passage au nœud et conjonction est inférieur à environ 1/2 jour. En fait cette condition est un peu trop forte, on peut l'assouplir en demandant seulement que le transit ait lieu "près de la conjonction" :

transit légèrement décalé de la conjonction

On cherche alors s'il existe des valeurs $t$ telles que  :
$$X_T^2+Z_T^2=\left({r_V\over r_T-r_V}\omega\right)^2 t^2+\left( {r_V\over \sqrt{r_T^2+r_V^2\cos(i)^2-2r_Tr_V\cos(i)}}\sin(i)\omega_V\right)^2(t+\phi)^2\leq d_T^2/4$$
on est donc ramené à l'étude du signe d'un  trinôme du second degré $At^2+Bt+C\leq 0$ dont les coefficients sont
\begin{eqnarray*}
A&=& \left({r_V\over r_T-r_V}\omega\right)^2 +\left( {r_V\over \sqrt{r_T^2+r_V^2\cos(i)^2-2r_Tr_V\cos(i)}}\sin(i)\omega_V\right)^2=0.00081 \\
B&=& 2\left( {r_V\over \sqrt{r_T^2+r_V^2\cos(i)^2-2r_Tr_V\cos(i)}}\sin(i)\omega_V\right)^2\phi =0.0000373\phi\\
C&=&\left( {r_V\over \sqrt{r_T^2+r_V^2\cos(i)^2-2r_Tr_V\cos(i)}}\sin(i)\omega_V\right)^2\phi^2-d_T^2=0.0000186\phi^2-0.0000186
\end{eqnarray*}
son discriminant s'écrit facilement en fonction de $\phi$ et doit être positif pour qu'il y ait des solutions :
$$\Delta= B^2-4AC= (1.388\times 10^{-9}- 6.035\times 10^{-8})\phi^2+6.931\times 10^{-8}=(6.931- 5.896\phi^2)10^{-8}\geq 0$$
ce qui nous amène à trouver la valeur maximale du décalage :
$$ \vert \phi\vert \leq \sqrt{6.931\over 5.896}\approx 1.0842104=1{\rm j}2h$$

Il faut donc que la conjonction ait lieu à environ $\pm1$ un jour du passage de Vénus au nœud

Le 08/06/2004 j'ai pu observer un transit de Vénus et prendre quelques photos :

On déduit grossièrement de cette photo la valeur du décalage entre passage au nœud et conjonction puisque à $t=0$ on a  $Z_T\approx -0.18^\circ=-11'=- 0.0031416~{\rm rad}$
donc :
\begin{eqnarray*}
-0.18^\circ &=&Z_T=\arctan\left({r_V\over \sqrt{r_T^2+r_V^2\cos(i)^2-2r_Tr_V\cos(i)}}\tan(\sin(i)\sin(\omega_V\phi_{2004}))\right)\\
\Rightarrow \phi_{2004}&=&{1\over \omega_V}\arcsin\left({1\over \sin(i)}\arctan\left(\tan(Z_T){ \sqrt{r_T^2+r_V^2\cos(i)^2-2r_Tr_V\cos(i)}\over r_V}\right)\right)\\
\Longrightarrow \phi_{2004}&=& - 0.7279811 \approx - 17h30m \Rightarrow \vert \phi_{2004}\vert <1.0842104
\end{eqnarray*}
(d'après des données de l'IMCE le décalage était plutôt de 18h, je suis pas loin!) la condition est bien vérifiée, il y a bien eu transit en 2004!

Prédiction des futurs transits 
Pour trouver les autres transits possibles de Vénus il suffit de rechercher des relations entre la période orbitale de Vénus $\omega$ et la période orbitale par rapport au couple Terre-Soleil (période synodique) $\omega_V$ de la forme
$$p\times T_V'\approx q\times T_V,~~p,q\in {\mathbb Z}$$
par exemple si on remarque que

• $8 T_T=2922.0557$ jours  (8 années terrestres)
• $13T_V= 2921.113$ jours (13 années Vénusiennes)
• $5T_V'=2919.606$ jours (5 cycles de conjonctions Vénus-Soleil

on comprend que dans environ 8 ans Vénus et la Terre se retrouverons quasiment dans les même positions relatives. Il y a quand même un petit décalage par rapport à l'année terrestre :
$$8\times 365.25696-5T_V'=2922.0557\dots-2919.606\dots=2.4497035\approx 2j11h$$
donc le transit suivant pourrait donc avoir lieu le

08/06/2004 11h30TU + 8ans - 2jours11h = 06/06/2012 0h30 TU 

(je suis pas loin de l'heure réelle de fin qui doit être 4h30TU) de même il y a un petit décalage de Vénus sur son orbite
$$13T_V-5T_V'=2921.113\dots-2919.606\dots=1.5070235\approx 1j12h$$
donc le nouveau décalage entre passage au nœud et conjonction sera de $1j12h-17h30=18h30$ qui est bien inférieur à la limite de $1j$ donc il y aura bien transit!

Si on applique les même idées mais en remontant le temps,  8 ans avant il y a eu une conjonction de Vénus le

08/06/2004 11h30TU - 8ans + 2jours11h = 10/06/1996 22h30 TU 

mais le décalage était de $-1j12h-17h30=-2j5h30$ donc très supérieur à la limite de $1j$ donc aucun transit visible. On peut essayer avec d'autres valeurs par exemple :

• $395T_V-152T_V'=0.8733152$ jours, qui donne le cycle principal des transits de 243 ans
• $382T_V-147T_V'=- 0.6337083$ jours qui donne 235=243-8 ans 
• $197.5T_V-76T_V'=0.4366576 $ jours qui permet de retrouver au nœud opposé de l'orbite de Vénus (121.5 ans plus tard) qui ont lieu vers décembre 
• $184.5T_V-71T_V'=- 1.0703659$ jours transit au nœud opposé de l'orbite de Vénus (dans 113.5 ans)

on en déduit facilement les différents écarts observés lors des derniers transits

...8-{1769}-105.5-{1874}-8-{1882}-121.5-{2004}-8-{2012}-105.5-{2117}-8-{2125}-121.5-{2247}-8...

Ces relations presque entières entre les périodes orbitales de vénus et de la Terre ne sont pas le fruit du hasard mais la conséquence de l'influence gravitationnelle de Vénus et de la Terre l'une sur l'autre, c'est ce qu'on appelle des résonances mais là c'est un peu plus compliqué à expliquer....