jeudi 27 septembre 2012

équations différentielles linéaires à solutions bornées

Cette semaine je suis tombé sur une question intéressante posée sur le blog de Math O' Man  :

Soient $A$ une matrice carrée  et $B(t)$ une matrice carrée (de même taille) continue pour $t\geq 0$. Si toutes les solutions de $X'(t)=AX(t)$ sont bornées, alors quelles sont les conditions sur $B(t)$ pour que les solutions du système $X'(t)=(A+B(t))X(t)$ soient bornées pour $t\geq 0$?

cette question en apparence simple ne l'est pas et est l'occasion de montrer l'utilisation de deux outils très importants dans l'étude d'équations différentielles : Le lemme de Grönwall et la formule de Duhamel.

Face à une question comme celle là on peut se retrouver perdu, il ne faut donc pas hésiter à regarder des cas simple pour essayer de deviner une condition raisonnable sur $B(t)$. Par exemple en dimension 1 la situation est assez simple, puisqu'on peut résoudre exactement l'équation :
 $$x'(t)=(a+b(t))x(t)\Longrightarrow x(t)=x_0\exp\left({at+\int_0^t b(s) ds}\right)$$
on en déduit facilement les conditions sur $a$ et $b(t)$  :
  • pour que les solutions de $x'(t)=ax(t)$ soient bornées (pour $t\geq 0$) il faut que ${\rm Re}~a\leq 0$
  • pour que les solutions de $x'(t)=(a+b(t))x(t)$ soient bornées (pour $t\geq 0$) il faut en plus que
    $$\sup_{t\geq 0}\left\vert \int_0^t b(s) ds\right\vert <\infty $$
En dimension supérieure on peut généraliser ces conditions :
  • pour que les solutions de $X'(t)=AX(t)$ soient bornées (pour $t\geq 0$) il faut que toutes les valeurs propres $\lambda$ de $A$  aient une partie réelle  négative  ${\rm Re} \lambda\leq 0$
  • pour que les solutions de $X'(t)=(A+B(t))X(t)$ soient bornées (pour $t\geq 0$) il faut en plus que
    $$\sup_{t\geq 0}\int_0^t \vert B(s)\vert ds <\infty $$
Les conditions sont donc un peu plus restrictives qu'en dimension 1, comme le montre  le passage de la valeur absolue $\vert\dots\vert$ à l'intérieur de l'intégrale. C'est dû au fait qu'on ne va plus pouvoir calculer exactement les solutions et qu'on va devoir faire des majorations nous faisant perdre un peu en précision.

Le cas le plus important à comprendre  est celui  des matrices de rotation, dont les trajectoires sont des cercles comme :
$$A=\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix};~~X'(t)=AX(t);~~X(0)=r_0 \begin{pmatrix}\cos(\theta_0)\\ \sin(\theta_0)\end{pmatrix} \Longrightarrow X(t)=r_0 \begin{pmatrix}\cos(t+\theta_0)\\ \sin(t+\theta_0)\end{pmatrix} $$
celle-ci vérifie que $<X,AX>=0$ pour tout vecteur $X$, ce qui va nous simplifier les choses dans un premier temps. Dans ce cas la démonstration qui conduit à la condition sur $B(t)$  repose sur le Lemme de Grönwall

Soient $\phi(t)$ et $\psi(t)$ des fonctions positives et continues pour $t_0\leq t\leq t_1$ alors
$$\exists K,L>0,~~\phi(t)\leq K+L\int_{t_0}^t \psi(s)\phi(s) \, \mathrm{d} s  \Rightarrow \phi(t)\leq K\exp\left(L\int_{t_0}^t \psi(s)\, \mathrm{d} s\right),~~~~\forall t_0\leq t\leq t_1.$$

En effet si on pose $\phi(t)=\vert X(t)\vert ^2$  la dérivée de $\phi$ vérifie :
 $$ \phi'(t)=2<X(t),X'(t)>=\underbrace{2<X(t),AX(t)>}_{=0}+2<X(t),B(t)X(t)>$$
 on va vérifie les hypothèses du lemme de Grönwall en écrivant que $\phi(t)=\phi(0)+\int_0^t \phi'(s) ds $ puis en majorant brutalement les dans l'intégrale :
$$\phi(t)=\vert \phi(t)\vert \leq \vert\phi(0)\vert +\int_0^t \vert 2<X(s),B(s)X(s)>\vert ds
\leq \vert\phi(0)\vert +\int_0^t 2 \vert B(s)\vert \phi(s) ds $$

on en déduit donc le même type d'estimation que en dimension 1 :
$$\vert X(t)\vert= \sqrt{\phi(t)}\leq \vert X_0\vert \exp\left(\int_0^t \vert B(s)\vert ds\right)$$
On peut le vérifier sur quelques exemples,  en utilisant un logiciel comme Scilab  capable de résoudre numériquement l'équation et d'afficher les trajectoires (voir aussi mon autre billet j'utilise Scilab pour des problèmes de mécanique céleste). Le petit script suivant permet de calculer des trajectoires en choisissant le point de départ par un clic de souris dans une fenêtre graphique :

A=[0 -1;1 0]//matrice de rotation
function y=f(t, x)
    x=x(:)// mettre x en colonne
    B=[1,1;1,1]*(1+t^2).^(-1)//matrice B(t)
    y=(A+B)*x// définit l'équation différentielle
endfunction
    t=[0:0.02:30]';// intervalle de temps 
    bouton=5;
    clf;plot(0,0,'*');xgrid(3)// lancement fenêtre graphique
while bouton<>3// tant qu'on a pas fait un clic gauche
    [bouton,x1,x2]=xclick();//choix du point de départ
    x=ode([x1;x2],0,t,f);// résolution de x'=f(t,x)
    plot(x(1,:),x(2,:),'-r')// affichage de la trajectoire
end

voici les trajectoires qu'on obtient pour différentes matrices $B(t)$ :

On a pris ici à chaque fois $B(t)=b(t)\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ et on peut vérifier la pertinence de la condition annoncée sur $b(t)$ :
  • la trajectoire semble bien rester bornée pour $b(t)={1\over 1+t^2}$ ou $b(t)=\exp(-t)$
  • la trajectoire semble par contre s'échapper à l'infini pour $b(t)={1\over 1+t}$ ou $b(t)=\cos(t)$

Attention, les résultats sont en fait très sensible à la "forme" des matrices. Par exemple si on avait pris  $B(t)=\cos(t)\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ alors la trajectoire reste bornée contrairement à ce qui se passe avec $B(t)=\cos(t)\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ ! Ca se démontre facilement en écrivant que
$$(\vert X(t)\vert^2)'=2<X(t),B(t)X(t)>=2\cos(t) \vert X(t)\vert^2\Longrightarrow \vert X(t)\vert= \vert X_0\vert \exp\left(\int_0^t\cos(s)ds\right)$$
qui reste bien bornée pour tout $t$.  Pour généraliser le résultat à  d'autres matrices  $A$ ayant leur trajectoires bornées mais ne vérifiant pas la propriété $<X,AX>=0$ , il faut utiliser la formule de Duhamel qui exprime les solutions de $X'=(A+B(t))X$ en fonction de $e^{At}$ :
$$X(t)=e^{At}X_0 +\int_0^t e^{A(t-s)}B(s)X(s) ds$$
si on suppose que les trajectoires intégrales de $A$ sont bornées (pour $t\geq 0$), c'est à dire que :
$$ \exists C>0,~~\forall t\geq 0,~~\vert e^{At}X_0\vert \leq C \vert X_0\vert $$
alors
$$\begin{eqnarray*}
\vert X(t)\vert &\leq &\vert e^{At}X_0\vert +\int_0^t \vert e^{A(t-s)}B(s)X(s)\vert  ds\\
&\leq & C\vert X_0\vert  +C\int_0^t \vert B(s)\vert~ \vert X(s)\vert  ds
\end{eqnarray*}$$
en utilisant encore le Lemme de Grönwall on obtient finalement que :
$$\vert X(t)\vert \leq C\vert X_0\vert \exp\left({C\int_0^t \vert B(s)\vert ds}\right),~~~\forall t\geq 0$$
ce qui généralise les résultats précédents (au prix de l'apparition de la constante $C$ dans la majoration).


91 commentaires:

  1. Bonsoir,
    merci beaucoup pour cette réponse très claire!

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  2. Bonjour Philippe,
    peux-tu m'aider à résoudre cet exercice:

    1. Résoudre le système différentiel dans $\R^2:$
    $
    \begin{cases}
    x' (t) &= x(t) + y(t)\\
    y'(t) &= -x(t) + y(t)
    \end{cases}
    $
    [b]question 1[/b]- résoudre ce système.
    il s'agit d'un système linéaire homogène, je trouve que les valeurs propres de la matrice sont $\lambda_1 = 1-i$ et $\lambda_2= 1+i$ et les vecteurs propres associés à $\lambda_1$ sont
    $u
    =
    \alpha
    \begin{pmatrix}
    &1\\
    &i
    \end{pmatrix}
    $
    et les vecteurs propres associés à $\lambda_2$ sont
    $v
    =
    \beta
    \begin{pmatrix}
    &i\\
    &1
    \end{pmatrix}
    $
    on conclut alors que toute solution $\psi$ de ce problème s'écrit
    $\psi(x) =
    \begin{pmatrix}
    & c_1 e^{1-i)x} + i c_2 e^{(1+i)x}\\
    & c_1 i e^{(1-i)x} + c_2 e^{(1+i)x}
    \end{pmatrix}
    $
    avec $c_1$ et $c_2$ deux constantes.

    [b]question 2[/b]. calculer $x^2(t) + y^2(t).$ Je trouve $x^2(t) + y^2(t) = 4i c_1 c_2 e^{2x}.$

    [b]question 3[/b]. En déduire la représentation des solutions dans le plan $(x,y).$

    est-ce qu'il y'a un moyen de savoir si mes réponses aux questions 1 et 2 sont exactes? Comment répondre à la question 3?

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    1. pour la question 1 c'est bon,

      pour la question 2 c'est bon aussi .... sauf que tu confonds la variable $t$ avec $x$, le résultat est plutôt que la norme augmente exponentiellement en t(=temps) : $|(x,y)|=ce^t$ (ou encore $x^2+y^2=c^2 e^{2t}$),

      pour la question 3 la matrice du système d′équation est $Id+A$ ou $A$ est la matrice de rotation étudiée dans ce billet, donc le système est facile a réécrire en coordonnées polaires $(r,\theta)$,grosso−modo $r'(t)= r(t)$ et $\theta'(t)=C^{ste}$, en revenant encoordonnées cartésiennes on a $(x(t),y(t))=c e^t(\cos(t+\phi),\sin(t+\phi))$ les trajectoires sont des spirales à croissance exponentielle ...


      PS : pas de BBcode sur ce blog par contre pour LaTeX c'est juste à mettre entre dollars :-)

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  3. Bonjour,
    aidez-moi svp à résoudre cet exercice
    On cobsidère le système différentiel dans $\mathbb{R}^2:$
    $
    \begin{cases}
    &x' = - x^2 + xy, t > 0 , x(0) = x_0\\
    & y' = -y^2 - xy , t > 0, y(0) = y_0
    \end{cases}
    $
    1. montrer que pour tout $(x_0,y_0) \in \R^2,$ ce problème admet une unique solution $(x(t),y(t))$ définie dans un intervalle $(0,\alpha)$ avec $\alpha > 0.$
    2. Supposons $x_0 > 0, y_0 > 0.$
    - montrer que pour tout $t \leq 0, (x(t),y(t))$ est positive.
    - en ajoutant membre à membre les deux équations, montrer que $(x(t),y(t))$ est bornée.

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    1. 1) il faut montrer les hypothèse du théorème de Cauchy-Lipschitz (lire son cours ....)

      3) $x'+y'=-x^2-y^2\leq 0$ donc $x(t)+y(t)\leq x(0)+y(0)$ si on sait que $x(t)$ et $y(t)$ sont positifs (question 2) alors on en déduit facilement qu'ils sont minorés (par 0) et majorés (pas de compensations entre $x$ et $y$ dans $x+y$)

      2) pour l'instant je vois pas ...

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    2. une idée pour le 2)

      on démarre avec $x(0)$ et $y(0)$ positifs et on a ${x'\over x}=y-x$ et ${y'\over y}=-y-x$ qui sont définis pour $t$ assez petit au moins. Mais en intégrant on a :

      $$\ln(x(t))=\ln(x(0))+ \int_0^t y(t)-x(t) dt$$
      donc tant que $y(t)$ et $x(t)$ n'explosent pas (ok sur l'intervalle de définition des solutions) la valeur de $\ln(x(t))$ est bien définie ... donc le $x(t)$ reste positif!!! Même chose pour $y$.

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    3. Mais c'est $\ln(|x(t)|)$ que l'on obtient et pas $\ln(x(t))!$ Non?

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    4. $x(t)$ est continue, au départ $x(t)=|x(t)|$ (puis que positif) pour qu'elle devienne négative il faut qu'elle passe par la valeur 0 mais alors $\ln(x(t))$ explose ... donc $x(t)$ est positive et $x(t)=|x(t)|$

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    5. Soit $t\mapsto (x(t),y(t))$ une solution du système définie sur un intervalle $I$ contenant $0$, telle que $x(0)>0$ et $y(0)>0$.

      Supposons par l'absurde qu'il existe $t_0$ tel que $y(t_0)=0$.
      On peut suivre ces étapes?
      a) Montrer qu'il existe une fonction $t\mapsto f(t)$ telle que $f(t_0)=x(t_0)$ et telle que $(f(t),0)$ est solution du système au voisinage de $t_0$.

      b) En déduire que $A=\{t\in\R\mid y(t)=0\}$ est à la fois ouvert et fermé.

      c) En déduire que $A=\emptyset$.

      d) En déduire que $y(t)> 0$ pour tout $t\in I$.

      e) Procéder de même pour $t\mapsto x(t)$
      pour le point a), c'est évident. Pour le point b), je bloque.

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  4. pour le 1n j'ai dans mon cours le théorème de Cauchy-lipschitz pour $y' = f(x,y), y(x_0)= y_0$ alors si $f$ est continue et localement lipschitzienne par rapport à $y,$ il y'a existence et unicité.
    Mais là, on a un système, et je ne trouve pas d'exemple de méthode à suivre pour prouver l'existence et l'unicité de la solution d'un système d'équations.
    Aides moi stp.

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    1. pour Cauchy-Lipschitz, il faut penser à adapter la formulation au contexte. Ici la variable c'est $t$ (le temps) plutôt que $x$, et pour un système on a $Z'(t)=f(t,Z(t))$ avec $Z$ qui est un vecteur $(x(t),y(t))$ ... il faut donc regarder la régularité de $f(t,Z)$ par rapport à $Z$ (fonction à 2 variable ...)

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  5. et aussi, qu'est ce qu'on peut conclure des 3 questions?

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    1. au départ on sait juste qu'une solution existe sur un temps $[0,\alpha[$ mais ensuite on trouve que la solution est bornée pour tout temps, donc on a jamais $|x(t)|\to\infty$ en temps fini, conclusion on peut prendre $\alpha=\infty$.

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  6. Ok. Je commence à comprendre.
    donc il faut regarder deux points:
    1. continuité de $f,$
    2. $f$ est localement lipschitzienne par rapport à $Z.$

    pour 1, $f$ est continue par construction.
    pour le 2, comment argumenter le fait que $f$ soit localement lipschitzienne stp.

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    1. reprendre les définitions dans ton court :

      $$|f(t,Z_1)-f(t,Z_2)|\leq C|Z_1-Z_2|^\alpha$$

      ceci dit quand $f$ est continûment dérivable en $Z$ ça marche avec $\alpha=1$ (c'est le cas ici!).

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  7. Aides moi, je t'en prie à écrire une preuve propre de l'existence et l'unicité sur $[0, \alpha]$ pour que je comprenne enfin ce genre d'exercice. Je t'en remercie par avance.

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  8. Oui, c'est la définition de Lipscgitz. J'avais en tete d'utiliser le fait que si une fonction est de classe $C^1,$ alors elle est localement lipschitzienne.
    Bon, on a $|f(t,Z_1) - f(t,Z_2)| = |Z'_1(t) - Z'_2(t)|$
    mais là je ne vois vraiment pas comment le majorer avec $C|Z_1 - Z_2|$
    je suis un peu bête sur ce coup.

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    1. c'est juste un résultat qui découle de la dérivabilité de $f$ en $Z$. Reprend tes cours sur le "théorème des accroissements finis" ou la formule de Taylor :

      $$f(Z)= f(Z_1)+Df(Z_1) (Z-Z_1)+ o(|Z-Z_1|^2) \Rightarrow F(Z_2)-F(Z_1)=O(Z-1-Z_2)$$

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    2. en fait je n'y suis pas arrivé.
      on écrit le système sous la forme $Z'(t) = f(t,Z(t)$ et on prouve que $f$ est lipschitzienne par rapport à $Z(t).$ alors soient $Z_1(t)$ et $Z_2(t).$ On a $|f(t,Z_1(t)) - f(t,Z_2(t)| = |Z_1'(t) - Z_2'(t)|$ je n'arrive pas à majorer et je n'ai pas compris l'indication que tu as donné. tu veux bien expliciter un peu. Je t'en remercie par avance.

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    3. la démonstration est quasiment écrite dans mon message précédent ... pas besoin de faire intervenir $Z_1'(t)$ ou $Z_2'(t)$, c'est une propriété élémentaire de la fonction $f$.

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  9. tu as écris: $f(Z) = f(Z_1) + Df(Z_1) (Z-Z_1) + o$ c'est un développement de Taylor d'ordre 2 de $f(Z)$ au voisinage du point $Z_1.$
    mais après je ne comprend vraiment pas! quand tu écris que $f(Z_2) - f(Z_1) = o$
    d'où est-ce que ca vient? et comment majorer.j'ai vraiment de comprendre comment on fait ca proprement.
    après ca je te promet de te laisser un peu tranquil, et merci par avance.

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    1. -on applique la formule de Taylor en $Z=Z_2$,
      -on passe $f(Z_1)$ dans le membre de gauche,
      -on prend la norme $|...|$
      -on majore la différentielle $Df(Z_1)$ (qui est bornée par disons $C_K$ sur n'importe quel compact K)
      -dans le membre de droite $C_K|Z_1-Z_2|=O(Z_1-Z_2)$ qui absorbe donc le $o(Z_1-Z_2)$ (bien faire la différence entre les notations de Landau "O" et "o")

      Ces techniques calculatoires sont basiques, elles doivent être maitrisées avant de s'attaquer à la théorie des équations différentielles ...

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    2. Mais juste un truc. La fonction est $f(t,Z).$ Il doit y avoir un problème d'écriture lorsque l'on fait le développement de Taylor. donc on le fait au point $(t,Z_2)?$ Ce qui posera problème après pour trouver $|Z_2 - Z_1|$ dans le membre de gauche. Ou je me trompe?

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    3. On fait la formule de Taylor en un point $Z_1$ et on applique en $Z=Z_2$ ou l'inverse peut importe. On montre juste que $f$ est Lipschitzienne "autour" d'un point, mais ce point étant quelconque on a montré qu'elle est partout "localement Lipschitzienne".

      La force de l'analyse mathématique c'est que des propriétés locales permettent souvent d'aboutir à des résultats globaux !

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  10. Bonjour,
    si j'essaye de montrer qu'elle est localement lipschitzienne. Peux-tu me dire si ce que j'ai fais est bon
    Le système est de la forme $Z'(t) = f(t,Z(t))$ avec $Z(t) = (x,(t),y(t))$ et la question est de prouver que le problème de Cauchy associé admet une solution unique sur $[0 , \alpha].$on commence par prouver que $f$ est localement lipschitzienne par rapport à $Z(t)$ avec $Z(t) = (x(t) , y(t)).$
    Soit $(t, Z(t))$ point de $\R^*_+ \times \R^2.$ Soit $K$ un voisinage compacte de $(t,Z(t)).$ on remarque que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ donc $\dfrac{\partial f}{\partial Z}$ esr bornée sur $K.$
    On a alors par le théoeème des accroissements finis: quelque soient $(t , Z_1(t)), (t, Z_2(t)) \in K,$ il existe $c \in [Z_1(t) , Z_2(t)]$ tel que $|f(t,Z_1(t)) - f(t,Z_2(t))| \leq |\dfrac{\partial f}{\partial Z}(t,c)| ||Z_1(t) - Z_2(t)||.$
    ce qui signifie que $f$ est localement lipschitzienne par rapport à $Z(t).$
    Alors, puisque $f$ définie de $[0,\alpha] \times \R^2$ à valeurs dans $\R^2$ est continue, et localement lipschitzienne par rapport à $Z(t),$ pour tout $(t_0,Z_0),$ il existe au voisinage de $t_0 = 0,$ une solution unique au problème de Cauchy, donc sur $[0,\alpha[.$
    Alors, c'est ok?

    édit: on dit qu'il existe une unique solution au voisinage de $t_0 = 0$ mais $[0,\alpha]$ n'est pas un voisinage de 0! en principe, il suffit juste que l'intervalle de définition de la solution contienne $t_0= 0$ et pas qu'il contienne un ouvert qui contient $t_0.$ Je me trompe?

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  11. tu te compliques les choses inutilement:

    1) dans ton problème $f$ ne dépend pas de $t$ : $f(t,x,y)=f(x,y)$ on appelle ça un système autonome (voir http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle_autonome) la continuité de $f$ par rapport à $t$ est donc évidente ($f$ est constante par rapport à $t$)

    2) $f\in C^1 $ et $f'$ localement bornée $\Rightarrow f$ localement Lipschitzienne (voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Application_lipschitzienne) j'en ai redonné la preuve plus haut via la formule de Taylor, cette propriété est indépendant de toute notion d'équation différentielle donc il n'y a aucune raison d'écrire des formules en faisant apparaitre des $t$ partout ($Z_1,Z_2$ donc des vecteur de ${\mathbb R}^2$) ça complique inutilement les choses

    3) Le théorème de Cauchy Lipschitz donne directement l'existence d'une solution maximale à $Z'(t)=f(Z(t))$ ($f$ étant constante par rapport à $t$ elle est continue par rapport à $t$) "maximale" voulant dire "sun un intervalle $[0,\alpha[$ qui ne peut être étendu" (le but étant de montrer que $\alpha=\infty$)

    4) si la solution existe pour $t\in [0,\alpha[$ il suffit de faire un changement de variable $t\to -t$ et d'appliquer la même méthode pour montrer que la solution se prolonge à un intervalle de $t<0$ (ce qui règle tes problèmes de voisinage)

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  12. Je lis ta réponse. Sinon, tu as vu ma proposition pour le 2) plus haut?

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  13. On n'a pas besoin que $f$ soit localement bornée en fait. On utilise la forme faible du théorème de Cauchy-Lipscjitz qui dit que si $f$ est de classe $C^1$; alors il y'a existence et unicité...
    Ici, on définit l'application $f$ de $\R \times \R^2$ dans $\R^2$ par $f(t,x,y) = (-x^2 + xy , -y^2 - xy)$ on remarque que $f$ est de classe $C^1$ ( puisque $f = (f_1 , f_2)$ avec $f_1$ de classe $C^1$ et $f_2$ de classe $C^1$) on conclut par la fdorme faible du théorème de Cauchy-Lipscitz qu'il existe au voisinage de $t_0 = 0$ une solution maximale unique au problème de Cauchy associé.
    donc, cette solution est aussi définie sur $(0 , \alpha)$ avec $\alpha > 0.$

    C'est ok?

    PS: dans l'exercice, ils écrivent $(0,\alpha)$ fermé du côté de $\alpha$ c'est normal de poser $\alpha = + \infty?$

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    1. si tu dis $f \in C^1$ alors elle est localement bornée :-) Mais tu as raison dans la pratique on utilise presque exclusivement la forme faible du Théorème de Cauchy-Lipschitz car on manipule des fonction $C^1$ et rarement des fonctions uniquement Lipschitziennes ...

      ps si c'est écrit $(0,\alpha)$ c'est un intervalle ouvert

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  14. Pour la conclusion. On sait que $(x(t),y(t))$ est positive, et bornée. La conclusion ne nous pousse pas à prouver que la solution peut tendre vers 0?

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    1. comme $x,y\geq 0$ et $x'+y'=-x^2-y^2$ et $x^2+y^2\leq (x+y)^2$ on en déduit facilement que
      $$ (x+y)'\geq -(x+y)^2\Rightarrow \left({1\over x+y}\right)'\geq 1 \Rightarrow 0\leq x+y\leq {1\over t+c}$$
      qui tend bien vers 0 quand $t\to\infty$.

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    2. ha mince erreur de signe dans les inégalités! je peux juste déduire que $x+y\geq {1\over t+c}$ mais bon en bossant un peu on doit pouvoir montrer que $x(t),y(t)\sim{1\over t}$ quand $t\to\infty$.

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  15. Je ne suis plus là! Stp tu peux expliciter juste ce point? Après je te laisse un peu tranqui promis!
    Merci d'avance.

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    1. ça y est je l'ai ! Je pars des 3 équations :

      1) $x,y\geq 0$ (déjà montré plus haut)
      2) $x′+y′=−x^2−y^2$ (déjà montré plus haut)
      3)et $x^2+y^2\geq {(x+y)^2\over 2}$ vraiment pas dur à montrer :-)

      on en déduit facilement que (en faisant attention aux signes dans les inégalités, changement de sens des inégalités si on multiplie par des négatifs ....)
      $$(x+y)′\leq -{(x+y)^2\over 2}\Rightarrow -{x'+y'\over (x+y)^2}=\left({1\over x+y}\right)'\geq 1/2 $$
      on intègre cette équation (ce qui conserve les inégalités!) pour obtenir :
      $$\left({1\over x(t)+y(t)}\right)\geq t/2 +c\Rightarrow 0\leq x(t)+y(t)\leq {1\over t/2+c}$$
      qui tend bien vers 0 quand $t\to\infty$

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    2. Dis moi, dans la première conclusion que tu avais donné, ce n'était pas ca.
      en faite quand ils demandent "qu'est-ce qu'il faut conclure?" il veulent dire qu'on doit voir si $(x(t),y(t))$ tend vers 0??

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    3. il n'y a aucune contradiction dans ce que j'ai dit car si $(x(t),y(t))\to(0,0)$ alors $(x(t),y(t))$ est bien bornée (donc définie pour tout temps, car sinon on doit avoir $|(x(t),y(t))|\to \infty$ en temps fini).

      Solution bornées définies pour tout temps, c'était la conclusion la plus simple à tirer :-) Ensuite j'ai obtenu une conclusion plus forte : que $(x(t),y(t))\to(0,0)$ (avec une estimation de la vitesse en $O({1\over t})$ ) mais ça m'a demandé plus de travail ...

      Celui qui t'a posé la question n'attend peut être pas qu'on ailles aussi loin dans les conclusions! Ça s'appelle une "question ouverte" c'est fait pour pousser les étudiants à chercher plus loin, et des fois ça marche!

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    4. Pour la question 2, tu as vu ce que j'ai proposé? est-ce que c'est une bonne idée stp?

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    5. je t'ai dit pour cette question 2) ce que tu proposes est inutilement compliqué, (les $Z_i(t)$ partout, les dérivées partielles ...) et le théorème des accroissements finis faut éviter en dimension supérieur à 1. Le bon argument c'est "$f\in C^1$ donc localement Lipschitzienne" et comme elle ne dépend pas de $t$ la continuité est évidente. J'ai redonnée une démonstration, mais c'est quelque chose qui doit être connu et maitrisé avant un cours sur les équations différentielles.

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  16. non, tu confond! je parle de la question où l'on demande de prouver que si $x_0 > 0$ et $y_0 > 0$ alors $(x(t),y(t)) > 0.$

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    1. pour $x(t)>0$ et $y(t)>0$, je n'ai rien vu dans ce que tu as écrit qui marche. Parcontre je t'ai donnée une démonstration valable en passant par l'étude de $\ln(x(t))$ et $\ln(y(t))$ .

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  17. Oui mais, ca marche dans le cas où $x(t)$ et $y(t)$ n'explosent pas! et on n'a pas encore prouvé que la solution est bornée. Donc, si elle explose qu'est ce qu'on peut dire?

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    1. non ça marche, ça montre que la tant que $x(t)$ ou $y(t)$ ne "passent pas en dessous de 0" elles n'explosent pas. Mais en même temps $x(t)$ ou $y(t)$ sont majorées ... résultat elles sont coincées et les solutions sont globales !

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    2. pour montrer que $x^2 + y^2 > \dfrac{(x+y)^2}{2}$
      j'ai utilisé que x^2 + y^2 >= 2xy. est-ce que c'est correcte?

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    3. oui (avec $\geq$ au lieu de $>$ )puisque $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\geq 0$

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  18. Bonjour,
    j'ai un problème urgent que je dois résoudre et de puis des semaines je n' y arrive pas. Aidez-moi svp. Merci par avance.

    Soit donné un système d'équations différentielles autonomes d'ordre $n$: $\frac{dX}{dt}=f(X)$

    $X=(x_1,x_2,...,x_n).$

    1- Montrer que si on pose [tex]\tau=t_2-t_1[/tex], alors pour toute solution [tex]X[/tex] du système, qui vérifie $X(t_1)=X(t_2)$ on a: [tex]X(t+\tau)=X(t)[/tex].

    Soit $K$ l'ensemble des nombres $\tau$ tel que $X(t+\tau)=X(t)$ soit vérifiée.

    2- Montrer que $K$ est un groupe additif.

    3- Montrer que si $K$ n'admet pas un minimum strictement supérieur à 0, la solution $X$ est constante.

    4- En déduire que la solution du système est soit périodique, soit non périodique soit constante.i}

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    1. Reprend ton cours pour compléter mes indications

      1)il faut utiliser le théorème d'unicité des solutions d'une équation différentielle vérifiant les conditions de Cauchy-Lipschitz :
      $Y(t)=X(t+\tau)$ est une solution de l'équation différentielle car
      $$Y'(t) =(X(t+\tau))'=X'(t+\tau)\times (1+0)=f(X(t+\tau))=F(Y(t))$$
      elle vérifie en plus la condition initiale
      $$Y(t_1)=X(t_1+t_2-t_1)=X(t_2)=X(t_1)$$
      donc $Y(t)=X(t)$

      2) reprendre la définition de sous-groupe dans ton cours d'algèbre : il faut vérifier que pour $a,b\in K$ alors $a+b\in K$ et $-a\in K$. Ici c'est très facile à vérifier puisque car l'égalité $x(t+\tau)=X(t)$ est vraie $\forall t\in {\mathbb R}$ (c'est le point important et tu ne l'écris pas)
      - $X(t+b)=X(t) $ donc en posant $t=s+a$ on a aussi pour tout $s$ $X(s+a+b)=X(s+a)=X(s)$ donc $a+b\in K$
      - pour l'opposé c'est pareil en partant de $X(t+a)=X(t)$ et en prenant $t=s-a$.

      3) si on connaît son cours d'algèbre on a fait l'étude des sous-groupes de $\mathbb R$ qui ne peuvent être que de la forme $n\mathbb Z$ (cas discret) ou $a{\mathbb Z}+b\mathbb Z$ qui sont dense dans $\mathbb R$ si $a/b\notin \mathbb Q$. Ce dernier cas correspond justement au fait que K ne possède pas de minimum STRICTEMENT positif ... si on sait ça (et tu dois le savoir si tu suis un cours sur les équations différentielles) alors on obtient que $X(a)=X(0+a)=X(0)$ $\forall a\in K$ comme K est dense dans $\mathbb R$ et que $X$ est continue $X(t)=X(0)$ pour tout $t$ donc $X$ est constante.

      4) telle que tu poses la question ça n'a pas de sens puisque toute fonction est soit périodique, soit non-périodique. Deplus une fonction constante est une fonction périodique (pour n'importe qu'elle période d'ailleurs!).

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    2. Salut, et merci beaucoup de prendre le temps de me répondre.
      pour la réponse à la question 1) ce n'est pas un problème de Cauchy, sinon qui est la condition initiale?

      pour la réponse à la question 2), vous avez montré que $-a \in K$ ce n'est pas $\lambda a \in K$?

      Enfin,

      pour la réponse à la question 3), scincérement il n'y a pas tout ca dans mon cours, et je ne comprend pas pourquoi dans le cas où $K$ est dense dans $\R$ alors son minimum n'est pas strictement supérieur à 0. Si $K=n\Z$ alors son minum aussi n'est pas trictement supérieur à 0.
      Je ne comprend pas non plus la stratégie qui vient après, c'est à dire de considérer $X(a+0)$ pourquoi poser $\tau = 0?$
      Aidez-moi s'il vous plait.

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    3. 1) réfléchi un peu : si tu as une solution X de X'=f(X) alors X(0) est la condition initiale à t=0 ... donc a posteriori c'est un problème de Cauchy!
      2) attention là tu sembles confondre sous-groupe et espace vectoriel, pour faire plus simple je crois qu'on peut montrer que (K,+) est un sous-groupe de (G,+) si $a-b\in K$ pour tous $a,b\in K$.
      3) oui ce n'est pas dans ton cours sur les équations différentielles mais dans un cours que tu as du faire avant. Moi quand j'ai fais ce genre d'exercices c'était 1 ou 2 ans après avoir fait les exercices sur les sous-groupes de $\mathbb R$. Quand on apprend un truc en math il faut se dire que ce sera réutilisé plus tard, voir plusieurs années plus tard .
      si K est dense dans $\mathbb R$ alors il a une suite d'éléments de K qui converge vers chaque réels donc une $(x_n)$ vers l'élément 0 , donc il n'y a pas de plus petit élément positif puisque $|x_n|$ est dans K et tend vers 0.
      Au contraire dans $n{\mathbb Z}=\{...,-2n,-n,0,n,2n,...\}$ il y a un plus petit élément strictement positif (c'est n).
      Pour l'explication de la stratégie c'est pas $\tau=0$ mais $t=0$ que je prend (j'aurai du écrire dans l'ordre inverse).

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    4. D'accord pour l'explication du' un minimum strictement positif. Par contre je ne comprend pas la suite pour montrer que dans ce cas la solution est constante. Quelle est la relation entre le minimum de $K$ et la solution du système, et qu'est ce que ca change si $K$ n'admet pas un minimum strictement positif?

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    5. L'ensemble K représente l'ensemble des nombres qui sont des "périodes" de la fonction X,c'est à dire l'ensemble des nombres T tels que X(t+T)=X(t) pour tout t.
      Je met "période" entre guillemet par ce que cette définition est volontairement ambiguë, en effet si T est une période alors 2T l'est aussi car X(t+2T)=X((t+T)+T)=X(t+T)=X(t) et de même pour 3T, 4T,5T ... et aussi pour 0T,-T,-2T,... ça montre bien que l'ensemble des période est apriori un sous-groupe de $\mathbb R$ et que le problème est de trouver la plus petite "période" STRICTEMENT positive possible qui "la" vrai période!
      S'il n'y a pas de plus petite période strictement positive alors c'est qu'il y a au moins un ensemble de périodes dense dans $\mathbb R$, mais en fait par continuité tout réel a est une "période" de X ce qui donne : X(t+a)=X(t) pour tout $t\in\mathbb R$ (en particulier pour t=0) pour n'importe quel a. La fonction X ne peut être que constante ...

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  19. Bonjour,
    pour l'exercice Soient A une matrice carrée et B(t) une matrice carrée (de même taille) continue pour t≥0. Si toutes les solutions de X′(t)=AX(t) sont bornées, alors quelles sont les conditions sur B(t) pour que les solutions du système X′(t)=(A+B(t))X(t) soient bornées pour t≥0?

    Il y'a trop d'exemples dans ce topic. Quelle est la rédaction optimal pour répondre à cette exercice, en tenant compte uniquement des hypothèses de notre exercice s'il vous plait?

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    1. Il faut lire le billet jusqu'au bout ! La seule hypothèse est que la matrice $A$ conduit à des trajectoires bornées c'est à dire :
      $$ \exists C>0,~~\forall t\geq 0,~~\vert e^{At}X_0\vert \leq C \vert X_0\vert $$
      ensuite on utilise la formule de Duhamel qui dit que si $X'=(A+B(t))X$ alors :
      $$X(t)=e^{At}X_0 +\int_0^t e^{A(t-s)}B(s)X(s) ds$$
      en prenant les normes on obtient
      $$\begin{eqnarray*}
      \vert X(t)\vert &\leq &\vert e^{At}X_0\vert +\int_0^t \vert e^{A(t-s)}B(s)X(s)\vert ds\\
      &\leq & C\vert X_0\vert +C\int_0^t \vert B(s)\vert~ \vert X(s)\vert ds
      \end{eqnarray*}$$
      et enfin en utilisant le Lemme de Grönwall on arrive a :
      $$\vert X(t)\vert \leq C\vert X_0\vert \exp\left({C\int_0^t \vert B(s)\vert ds}\right),~~~\forall t\geq 0$$
      Pour que les trajectoires restent bornées il faut que dans la formule ci-dessus le terme dépendant de $t$ soit aussi borné, donc il faut que $\exp\left({C\int_0^t \vert B(s)\vert ds}\right)<\infty$ pour tout $t>0$ soit encore que $\int_0^\infty \vert B(s)\vert ds<\infty$.

      PS: quand un exercice semble difficile en maths il faut savoir revenir à des exemples simple pour comprendre la situation. C'est vraiment très important.

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  20. Salut, alors j'ai un exercice du meme genre mais je ne m'en sort pas si vous pouvez m'aider svp.
    On considère l'équation diffrere,tielle d'ordre 2: $$u'' + a(x) u = 0$$ où $a$ est continument dérivable sur $[0,+\infty[$.
    On sait que cette équation admet au moins une solution et que l'ensemble de ses solutions constitue un sous espace vectoriel de dimension 2.
    1- Prouver que si $a(x) \rightarrow +\infty$ quand $x \rightarrow + \infty$, alors toutes les solutions de cette équation sont bornées sur $[0,+\infty[$.
    2- Démontrer que si toutes les solutions de cette équation sont bornées sur $[0,+\infty[$ et si $b(x) \rightarrow 0$ quand $x \rightarrow +\infty$ ou $\int_0^{\infty} |b(s)|ds < \infty$, alors toutes les solutions de l'équation $$u'' + (a(x) + b(x)) u = 0$$ sont aussi bornées sur $[0,+\infty[$.

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    1. tu es sûr de l'équation ? ce serait pas plutôt un "moins" devant $u''$
      $$ -u''(x)+a(x) u(x) =0$$

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    2. oui je suis sure que c'est $$u''(x)+a(x) u(x)=0$$

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    3. intéressantes questions, j'en ferai bien un billet pour ce blog, mais ça risque de prendre un peu de temps et je suis assez occupé en ce moment ... en attendant je te donne quelques pistes :

      0)Pour commencer je me permet de prendre comme variable $t$ au lieu de $x$

      1) Je n'ai pas vraiment trouvé de solution pour montrer que les solutions de $u''(t)+a(t)u(t)=0$ sont bornées sous les hypothèses données ($a(t)\to \infty$ quand $t\to\infty$), par contre j'y arrive en ajoutant l'hypothèse que :
      $a(t)\to \infty$ et croissante (soit $a'(t)>0$) à partir de $t>t_0$
      de là tu étudies la fonction
      $$w(t)={(u'(t))^2\over a(t)}+ (u(t))^2$$
      (définie pour $t$ assez grand seulement), tu montreras facilement que la dérivée $w'(t)<0$ pour $t>t_0$ donc $w(t)$ est décroissante et positive (donc majorée et de même pour $u(t)$ puisque pour $t\geq t_0$ on a $ (u(t))^2\leq w(t)\leq C^{ste}$

      2) Pour la deuxième partie essaie de mettre l'équation $$u''(t)+a(t)u(t)=0$$ sous forme d'une équation de degré 1 $X'(t)=AX(t)$ c'est facile en posant $X=(u,u')$) :
      $$X'(t)=\underbrace{\begin{pmatrix}0&1\cr a(t)&0\cr\end{pmatrix}}_{A}X(t)$$
      tu auras montré à la question 1) que le système associé à A à toutes ses trajectoires bornées ... il ne te reste alors qu'à appliquer les résultats de ce billet pour obtenir que $u''(t)+(a(t)+b(t))u(t)=0$ en écrivant que
      $$X'(t)=\left(\begin{pmatrix}0&1\cr a(t)&0\cr\end{pmatrix}+\underbrace{\begin{pmatrix}b(t)&0\cr 0&0\cr\end{pmatrix}}_{B(t)}\right)X(t)$$
      la condition pour que les trajectoires restent bornées devient $\int_0^\infty \Vert B(t)\Vert dt <\infty$ ce qui revient à $\int_0^\infty \vert b(t)\vert dt <\infty$ .

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  21. je crois que la question qui suit est mieu poser.on considère les deux équations $$u''+u=0.....(1)$$ et $$u''+(1+\dfrac{2 \sin 2x}{x}(\dfrac{\sin 2x}{8x}-1))u.....(2)$$
    est-ce que la condition que $b(x)-->0$ quand $x-->0$ est suffisante pour conclure que toutes les solutions de (3) sont bornées?

    - est-ce que la condition $b(x)-->0$ quand $x-->=\infty$,devient suffisante si on ajoute la condition $\int_0^{+\infty} |b'(s)|ds<+\infty$? démontrer.

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    1. svp quel est l'expression des solutions de $$u''+(1+\dfrac{2 \sin (2x)}{x} (\dfrac{\sin (2x)}{8x} - 1))u=0$$
      svp c'est urgent

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  22. un point de départ c'est que la solution de $u''(t)+u(t)=0$ est de la forme $\alpha\cos(t+\phi)$ (il faudrait rajouter des conditions initiales). J'avais dans l'idée de partir de $u(t)=\alpha\cos(t+\phi) v(t)$ et de chercher une équation sur $v$ (je pense que c'est comme ça qu'a du être obtenue l'équation que tu donnes) . J'arrive au final à
    $$ u''(t)+u(t)\left(1\underbrace{- 2{\sin(t+\phi) v'(t)\over \cos(t+\phi) v(t)}+{v''(t)\over v(t)}}_{b(t)}\right)=0$$
    ce qui ne s'identifie pas facilement à ta formule ... logiquement en prenant $v(t)\to\infty$ on devrait pouvoir trouver facilement des exemples ou $b(t)\to 0$ mais n'est pas intégrable. Le problème c'est surtout le $\cos $ au dénominateur qui va s'annuler tous les $\pi$ ...

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  23. Bonjour
    On considère le système différentiel où $t>0$
    $$
    \begin{cases}
    & y'(t)=a y(t)^3 + b z(t)\\
    & z'(t)=c z(t)^5 - b y(t)\\
    &y(0)=y_0, \ z(0)=z_0,\ a<0,\ c<0,\ b\in \mathbb{R}
    \end{cases}
    $$
    Comment montrer que ce système admet une solution unique sur $[0,+\infty[$ ?
    J'ai essayé d'appliquer Cauchy-Lipschitz mais je ne sais pas comment, il y a deux inconnues ici.
    Merci d'avance.

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    1. L'existence d'une solution maximale découle directement du théorème de Cauchy-Lipschitz. Il faut donc montrer que l'intervalle sur lequel cette solution maximale est définie est $[0,+\infty[$. Pour cela étudie la fonction $h(t)=y(t)^2+z(t)^2\geq 0$, à partir des 2 équations tu obtiendras facilement que $h'(t)<0$. On en déduit facilement que $h(t)$ et donc $y(t)$ et $z(t)$ sont bornées $\forall t>0$ ce qui assure leur existence sur $[0,+\infty[$.

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    2. Je ne comprend pas deux choses:
      1- Pourquoi ca découle directement du th. de Cauchy Lipschitz? Comment justifier?
      2- Je ne comprend pas la seconde partie, pourquoi prendre un tel $h?$ et il y'a des puissances 2 et 5 dans les équations

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    3. 1) le système se réécrit sous la forme $X'=f(X)$ avec $X=(y,z)$ et $f(y,z)=(ay^3+bz,cz^5-by)$ donc polynomial ... pas bien complique de voir que c'est une fonction qui vérifie les conditions du théorème de Cauchy-Lipshitz (constante en t et continue en (y,z))
      2) il faut le faire pour le voir :-) dérive h et simplifie la formule en utilisant les équations les exposants de y et z seront pairs et les signes de a et c seront négatifs d'ou le signe de h'

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    4. Le théorème de Cauchy Lipschitz assure l'existence et l'unicité d'une solution maximal dans un ouvert qui contient 0. Pour montrer qu'elle est définie sur $[0,+\infty[$, vous suivez ma méthode que vous décrivez plus haut. Mais pourquoi avoir choisi une telle fonction $h$?

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    5. Voici ce que ca donne: $$h'(t)= 2[a y^3(t)+bz(t)+ce^5(t)-by(t)]$$
      Mais ca ne nous done rien.

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  24. non la dérivée de h est $h'(t)=2y(t)y'(t)+2z(t)z'(t)$ donc en reprenant les équations :
    $$
    \begin{cases}
    & y(t)y'(t)=ay(t)^4 + bz(t)y(t)\\
    & z(t)z'(t)=cz(t)^6 - by(t)z(t)
    \end{cases}
    $$
    on obtient $h'(t)=2ay(t)^4+acz(t)^6<0$

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    1. Ce qui signifie que $h(t)$ est décroissante pour tout $t \in ]0,+\infty[$, ainsi $h(t) \leq h(0)$ où $h(0)=y^2(0)+z^2(0)=y_0^2+z_0^2$. Mais elle est décroissante sur $]0,+\infty[$ ouvert en 0, on a le droit de déduire que comparer $h(t)$ avec $h(0)$? Enfin, comment ca nous aide à conclure que l'intervalle de la solution maximale est $[0,+\infty[$?

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    2. je ne sais pas pourquoi vous vous posez un problème en t=0 ? C'est le point de départ, y(0) et z(0) sont bien définies donc h(0) aussi, et ensuite elle décroit donc forcément $h(t)\leq h(0)$ ensuite ...
      La deuxième partie de votre question est plus fondamentale tant qu'une solution d'équation différentielle reste bornée la solution est définie donc obtenir une majoration $<\infty$ apriori sur la solution implique qu'elle doit exister pour tout t ... à retrouver dans votre cours (ça y est forcément!).

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    3. Bonjour,
      il y'a quelque chose que je n'arrive pasà comprendre. Pourquoi on a pensé à choisir une telle fonction $h$ et à montrer qu'elle est décroissante pour déduire que l'intervalle maximal est $[0,+\infty[$?

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    4. comment penser à choisir un tel h ? Il y a plusieurs réponses :

      1) la première c'est de rappeler que dans l'étude des solutions d'équations différentielles les intégrales premières (fonctions h telles que h(X(t))=Cste ) jouent un rôle très important. Ce sont des invariants de l'équation qui ont souvent une interprétation physique essentielle (l'énergie, la quantité de mouvement, le moment ...). A défaut de trouver des intégrales premières, chercher des quantités monôtone va aussi donner de l'information sur la solution (exemple l'entropie en physique ...).

      2) la deuxième réponse c'est qu'on cherche à montrer que la solution (y,z) est bornée donc c'est normal de regarder la variation de la norme de (y,z) donc de $h=y^2+z^2$ (on enlève la racine pour que ce soit dérivable ...)

      3) la troisième c'est que c'est un exercice de maths et que donc la solution est certainement caché derrière une simplification pas trop astucieuse pour que l'étudiant la trouve :-) ici dès que j'ai lu le sujet je me suis dit que les termes +bz(t) et -by(t) devraient certainement être à l'origine de la simplification en additionant les deux équation ... évidement pour que ça marche il faut multiplier la première ligne par y et la seconde par z, et on doit reconnaitre la dérivée de $h^2$ (ou presque).

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  25. Bonjour, j'ai l'exercice suivant si vous pouvez m'aider.
    On considère l'équation différentielle
    $$y'(t)=f(t,y(t)),\quad t\geq 0, y(0)=y_0$$
    où $f$ est une fonction de $\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$, lipschitzienne par rapport à $t$ et $y$ (pour simplifier).
    Soit $T>0$ donnée. On suppose que le problème admet une solution sur $[0,T[$ et qu'il existe $M>0$ telle que $\sup_{t\in [0,T[} |y(t)| \leq M$.
    1)- Montrer que $y(t)$ converge vers une limite finie quand $t --> T_-$.
    2)- Montrer que l'intervalle $[0,T[$ n'est pas l'intervalle maximal d'existence de la solution de ce problème. (c'est à dire que l'intervalle d'existence est strictement plus "grand" que $[0,T[$.)

    Pour la question 2 je n'ai aucune piste, je ne sais pas quoi faire. Pour la question 1, j'ai commencé par essayé de montrer que $y$ est continue en $T_-$, puis je n'ai pas su comment faire, après j'ai essayé d'utiliser les hypothèses mais rien.

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    1. cet exercice sert à montrer le résultat fondamental tant qu'une solution d'équation différentielle reste bornée la solution est définie .
      1) d'après les hypothèses de Cauchy-Lipshitz $y(t) =y_0+\int_0^t f(s,y(s))ds$ va être une fonction continue comme car $h(s)=f(s,y(s))$ tant que celle-ci reste sur un compact ou f est bien définie, ici il faut prendre comme compact $K=[0,T]\times \{x\in E; \vert x\vert \leq M\}$. Conclusion y est continue jusqu'en T et à donc une limite L à gauche en ce point.
      2) L'intervalle précédent n'est donc pas maximal puisqu'on a défini y jusqu'en T ! Une autre manière de le voir c'est de considérer l'équation $z'(t)=f(t,z(t))$ avec $z(T)=L$ elle a une solution maximale z définie sur $[T,T'[$ et en posant $y(t)=z(t)$ pour t>T on a un prolongement de y audela de T (vérifies que le raccordement en t=T est bien continu et dérivable ...CQFD

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    2. pour la question 1)- Quand vous dites qu'il faut montrer que $y$ est continue en $T$ ca veut dire qu'il faut montrer quelle relation? Et il faut utiliser l'hypothèse que $\sup_{t\in [0,T[} |y(t)| \leq M$ avec le $\sup$ considéré sur $[0,T[$ ouvert en $T$. Ca doit poser un problème de prendre le compact $K$ fermé en $T$.

      pour 2) je ne comprend pas très bien pour quoi finalement l'intervale $[0,T[$ n'est pas maximal. J'ai trouvé les éléments de réponses suivantes, en anglais:
      according to Picard-Lindelof's Theorem, there exists a solution $\tilde y$ of the initial value problem
      $$
      x'=f(t,x),\quad y(T)=\xi, \tag{2}
      $$
      defined in an interval $(T-\tau,T+\tau)$. Lipschitz condition guarantees uniqueness, and as the previous solution $y$ satisfies $(2)$ in $[0,T]$, then $y$ and $\tilde y$ coincide in their common domain, and hence $\tilde y$ extends $y$ to a solution in $[0,T+\tau)$, and therefore $y$ extends, and its not a maximally defined solution.

      Mais je ne comprend pas très bien comment ils font.

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    3. et à quoi nous sert l'hypothèse que $f$ est Lipschitz par rapport à $t$ et $y(t)$ pourquoi les deux? Lipschitz par rapport à $y(t)$ suffit. Non?

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    4. 1) la fonction f(t,z) n'a pas de problème en t=T car elle est continue pour tout t (la première variable et aussi pour tout z (variable qui ne contient pas de t .... même is dans la suite remplace z par y(t).) Ton erreur vient du fait que tu voissystématiquement la fonction f(t,z) comme u(t)=f(t,y(t)) .Cependant comme y(t) reste dans le compact $\{x\in E; \vert x\vert \leq M\}$ on sait que f(t,y(t)) va rester borné ce qui va suffire pour justifier la convergence de $y(t) =y_0+\int_0^tf(s,y(s))ds$ quand t tend vers T.
      2) L'article que tu cites fait la même chose que moi (mais en anglais!) puisqu'on a une valeur limite pour y(t) en t=T on "redémarre" une nouvelle équation différentielle z'=f(t,z(t)) avec condition initiale z(T)= la limite trouvée, d'après Cauchy_Lifshitz il y a une solution maximale z(t) définie sur un intervalle [T,T+e[ et cette solution va se recoller parfaitement avec le y(t) précédent prolongement la solution y(t) qui n'était donc pas maximale ...
      3) l'hypothèse que f(t,z) est Lipshitzienne par rapport à z ne sert qu'à assurer l'unicité des solutions, avec f seulement continue il peut exister des solutions différentes pour une même condition initiale (voir le livre de Zully et Quéffélec pour un contre-exemple). Là encore tu remplaces le z par un y(t) qui n'a aucun sens ... tu retrouveras cette erreur dans plusieurs fils de commentaires ci-dessus

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  26. Bonjour,
    j'ai des difficultés à résoudre l'exercice suivant. Pouvez vous m'aider je vous prie
    on considère sur $[0,+\infty[$, le système $Y'=A Y, Y(0)=Y_0$ où $Y_0 \in \mathbb{R}^n$ et $A$ est une matrice $n \times n$ diagonalisable (par exemple symétrique).
    La question est: donner une condition nécessaire et suffisante sur $A$ pour que ce système admette une solution bornée sur $[0,+\infty[$.
    Merci d'avance.

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    1. Tu as vraiment lu le billet? Par ce que c'est tout le début du billet : si A est diagonalisable de valeurs propres $a_i$ alors tu fais le changement de base pour ramener le système d'équations $Y'=AY$ à n équations différentielles d'ordre 1 : $Y_i'(t)=a_i Y_i(t)$ dont les solutions sont explicites $Y_i(t)=Y_i(0)\exp(a_i t)$ (lire le début du billet).Si on veut que la solution soit bornée pour chaque t il faut que l'exponentielle reste bornée ce qui amène à la condition ${\rm Re} a_i<0$ .

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    2. Oui j'ai lu le billet et je ne vois pas de réponses à mes interrogations. Que viennent faire les valeurs propres de $A$ ici? Je n'arrive pas à comprendre ce point. Puisque $A$ est diagonalisale, elle s'écrit $A=P^{-1}DP$ où $D$ est diagonale, et $P$ est inversible. Après ca je ne décolle pas, je ne sais pas quoi faire logiquement et d'où vont sortir les valeurs propres de $A$. Aidez moi svp .

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    3. tu ne vois pas le rapport entre valeurs propres et une matrice diagonalisable ?!?!? Faut revoir tes cours d'algèbre linéaire d'urgence, les valeurs propres sont les valeurs sur la diagonale de D. Le passage d'un système général (où toutes les fonctions $Y_i$ apparaissent dans chaque équation) à un système "découplé" (une seule fonction par équation) se fait comme suit :
      $$Y'(t)= A Y(t)\Rightarrow Y'(t)= P^{-1} D P Y(t)\Rightarrow PY'(t) = D P Y(t)$$
      on pose donc $Z(t)=P\times Y(t)$ et comme P est une matrice fixe on a
      $$P\times Y'(t)= \left(P\times Y(t)\right)'=Z'(t)$$
      donc on a obtenu que $Z'(t)=D\times Z(t)$ comme D est diagonale on a n équation à 1 seule inconnue $Z_i(t)'=D(i,i) Z_i(t)$ donc facile à résoudre ....

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    4. Okay, à partir de là les solutions de ce système sont $$Z_i(t)=e^{\lambda_i t} (Z_0)_i, \quad \forall 1 \leq i \leq n$$
      c'est à dire que la solution du système est $$Z(t)=e^{Dt} Z_0$$
      Ainsi, pour que que les solutions soient bornées, il suffit que les composantes de la matrice $D$, qu'on a noté par $\lambda_i$ aient une partie réelle strictement négative, ce qui revient à dire qu'il suffit que les valeurs propres de $A$, notées $\lambda_i$ ainent une partie réelle négative (pouisque les valeurs propres de $A$ sont les composantes de la matrice diagonale $D$.

      Question: comment savoir si cette condition est necessaire ET suffisante?

      2- Comment trouver la condition necessaire et suffisante sur $A$ pour que le système admette une solution $Y(t)$ telle que $||Y(t)|| --> 0$ quand $t --> +\infty$?

      Merci d'avance pour l'aide.

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    5. S'il vous plaît, aidez moi à répondre aux questions de mon dernier post.
      Merci d'avance.

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  27. Bonjour
    La formule de Duhamel s'applique à un probleme du type $X'(t)=AX(t)+B(t)$ mais vous l'appliquer pour $X'(t)=AX(t)+B(t)X(t)$ une preuve ou une reference stp

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    1. si la formule de Duhamel s'applique au cas $X'(t)=AX(t)+B(t)$ elle s'applique aussi au cas $X'(t)=AX(t)+\tilde{B}(t)$ avec $ \tilde{B}(t)=B(t)X(t)$ , donc elle s'applique à $X'(t)=AX(t)+B(t)X(t)$ :-) c'est juste qu'elle donne une formule intégrale implicite et pas explicite, il faut donc prouver que $X(t)$ reste bornée par estimation à priori (ce que je fait ici). J'ai souvent rencontré cette forme de la formule de Duhamel dans les papiers traitant de théorie de la diffusion (classique ou quantique) dans une approche dépendante du temps. Ca doit se trouver dans le livre de J. Derezinski & C. Gerard: Scattering Theory of Classical and Quantum N-Particle Systems

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  28. Si on prend $B(t)=A$ les solutions de $X'(t)=(A+A)X(t)$ sont $X(t)=e^{2At}X(0)$ et d'apres ta formule sont aussi $X(t)=e^{At}X(0) +\int_0^t e^{A(t-s)}A X(s)ds$ absurde non?

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    1. Non ça n'a rien d'absurde, poursuit le calcul en utilisant $X(t) =e^{2tA}X(0)$ et tu retrouveras bien ce résultat :
      $$\begin{align*}
      X(t)&= e^{At}X(0)+\int_0^t e^{A (t+s)}AX(s) ds\\
      &= e^{At}X(0)+\int_0^t e^{A (t-s)}Ae^{A 2s}X(0) ds\\
      &= e^{At}X(0)+\left[ e^{A (t+s)}X(0)\right]_0^t\\
      &= e^{At}X(0)+e^{2tA}X(0)- e^{tA }X(0)=e^{2tA}X(0)
      \end{align*}$$

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    2. oups j'ai sauté une ligne dans mon calcul, pour plus de clarté insère en 3ième ligne la simplification
      $$e^{At}X(0)+\int_0^t e^{A (t+s)}AX(0) ds$$
      c'est possible car $e^{As}$ commute bien avec $A$ (ce sont des matrices), ensuite ça doit être évident que la dérivée par rapport à s de $(e^{A(t+s)})'$ est bien $e^{A(t+s)}A$ ...

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  29. Merci beaucoups
    Pour la preuve , on a pas besoin de reference, elle est immediate dans ce cas $X'(t)+AX(t)+B(t)X(t)$

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  30. une coquille à lire $X'(t)=AX(t)+B(t)X(t)$
    pour le plaisir comment s'en sortir si on s'attaque a l'equation $X'(t)=AX(t)+B(t)X^2(t)$

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  31. Bonsoir,
    j'ai la question suivante: qui sont les solutions (ou la solution) du problème
    $$
    \begin{cases}
    y'=2x \sqrt{y-1}\\
    y(x_0)=1
    \end{cases}
    $$
    En sachant que le théorème de Cauchy Lipschitsz ne me donne que l'existence et l'unicité des solution à valeurs dans $]1,+\infty{$.
    Merci par avance pour votre aide.

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    1. je reprend votre question en entier :

      on considère le problème de Cauchy $$
      \begin{cases}
      y'=2x \sqrt{y-1},\\
      y(x_0)=y_0
      \end{cases}
      $$ La question est de calculer la solution de ce problème.

      Voici ce que j'ai fait. On remarque que l'edo est d'ordre 1 à variables séparables.
      On commence par étudier l'existence et l'unicité de la solution de ce problème.
      On pose $f(x,y)=2 x \sqrt{y-1}$, et on a que $f$ est de classe $C^1$ par rapport à $y$ sur l'intervalle $]1,+\infty[$. On conclut par le théorème de Cauchy Lipschitz (formulation faible), que pour tout $(x_0,y_0)$, ce problème admet une solution unique à valeurs dans $]1,+\infty[$.

      [b]Mes deux questions sont[/b] 1. Pour le cas où $y$ est identique à 1, on n'a pas unicité de la solution ? Dans ce cas là, il peut y avoir des solution[b]s[/b] t.q il existe $x_i: y(x_i)=1$. Comment faire dans ce cas ?

      2. Autre chose, si la condition initiale est $y(0)=2$ par exemple, est ce qu'on peut écrire que l'edo est équivalente à $\dfrac{1}{\sqrt{y-1}} y'=2x$ sans se soucier du cas où $y$ peut être égale à 1 en certains points?
      Merci par avance pour votre aide.

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    2. 1)comme vous le dite l'edo est à variables séparables :
      $${y'\over 2\sqrt{y-1}}=x\Rightarrow \sqrt{y-1}=\int x dx= {x^2\over 2}+C$$
      en faisant attention à la condition initiale on trouve
      $$ y(x)=1 + \left({x^2\over 2}-{x_0^2\over 2}+\sqrt{y_0-1}\right)^2$$
      mais en faisant celà on a divisé par 0 puis que $\sqrt{y-1}$ s'annule!!! En même temps on remarque facilement que la fonction constante $y(x)=1$ est aussi solution du problème:
      $$ y'=0=2x\sqrt{y-1}=2x\sqrt{0}$$
      C'est normal car les condition du théorème de Cauchy-Lipschitz ne sont pas vérifiées ! La fonction $f(x,y)=2 x \sqrt{y-1}$ est continue en $x$ mais n'est pas Lipschitzienne par rapport à $y$ sur l'intervalle $[1,+\infty[$ car il faudrait avoir
      $$\exists C>0 ,~~\forall x,y,z\in\Omega,~~\vert f(x,y)-f(x,z)\leq C\vert y-z\vert$$
      le problème vient du point $y=1$ où la dérivée de $\sqrt{y-1}$ tend vers l'infini. Cependant la version faible du théorème de Cauchy Lipschitz($f(x,y)$ seulement continue en $y$) assure l'existence d'une solution pour tout $(x_0,y_0)\in[0,+\infty[\times [1,+\infty[$ mais il n'y a pas unicité (cf plus haut). Il n'y a rien à espérer dans ce cas vous aurez toujours plusieurs solutions possibles pour une même condition initiale ...

      2.)si la condition initiale est $y(0)=2$, on peut écrire que l'edo est équivalente à $\dfrac{1}{\sqrt{y-1}} y'=2x$ car vous pouvez diviser par $\sqrt{y-1}$ qui n'est pas nul. Dans ce cas on a bien une seule:
      $$ y(x)=1 + \left({x^2\over 2}-{x_0^2\over 2}+\sqrt{y_0-1}\right)^2$$
      qui existe tant que $y(x)\not\to\infty$ (théorème d'explosion) ce qui n'arrive que quand $x\to\infty$ donc la solution est définie $\forall x>0$. Du coup $y(x)$ ne risque plus de tendre vers 1 dès que $y(0)>1$ et il n'y a plus de risque d'avoir 2 solutions . D'ailleurs on aurait pu remarquer que:
      $$y'=2x\sqrt{y-1}>0\Rightarrow y(x)>y(0) ~~\forall x>0$$

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Pour écrire des formules mathématiques vous pouvez utiliser la syntaxe latex en mettant vos formules entre des "dollars" $ \$....\$ $ par exemple :
- $\sum_{n=1}^\infty {1\over n^2}={\pi^2\over 6}$ s'obtient avec \sum_{n=1}^\infty {1\over n^2}={\pi^2\over 6}
- $\mathbb R$ s'obtient avec {\mathbb R} et $\mathcal D$ s'obtient avec {\mathcal D}
- pour les crochets $\langle .,. \rangle$ dans les commentaires utilisez \langle .,. \rangle
vous pouvez écrire du html dans les commentaires :
- italique <i> ... </i> gras <b> ... </b>
- lien <a href="http://adresse "> .... </a>