Distributions à dérivée nulle

Déjà trois ans depuis l'ouverture de ce blog et voici enfin  le centième billet !!  Les lecteurs réguliers (merci à eux) auront remarqué que mon rythme de publication s'est bien ralenti depuis que j'ai intégré  une école d'ingénieur à la dernière rentrée. Mais j'ai la chance cette année de prendre en charge de nouveaux cours très intéressants , dont en particulier un cours d'analyse de Fourier avec un CM complet sur la théorie des distributions :-) Ce billet anniversaire est donc une bonne occasion de revenir  sur une question   évoquée dans l'un des tout  premiers billet publié sur ce blog:

Théorème Soit $T\in {\cal D}'$ une distribution telle que  $T'=0$ alors  $ T=C^\text{ste}$

Puisque la dérivée usuelle d'une constante est nulle , au sens des distributions on a bien $C'=0$. L'objectif ici  est donc de montrer la réciproque . La stratégie est la même que celle utilisée pour montrer que $xT=0\Rightarrow T=\delta$ :

• à partir de $\phi$ construire une fonction test spéciale $\psi$
• appliquer T à $\psi$, ou plutôt $<T',\psi>=0$,   pour obtenir
  $$<T,\phi> =C\int_{\mathbb R} \phi(x) dx~~~~(1)$$

L'idée de départ pour trouver le "bon"   $\psi$ est de remarquer qu'en partant de (1) on peut écrire :
 $$<T,\phi> -C\int_{\mathbb R} \phi(x) dx= 0 =-<T',\varphi>=<T,\varphi'>~~~~(2)$$
donc on va chercher $\psi=\varphi'=\phi +\int_{\mathbb R} \phi(x) dx \chi $ qui soit bien  une fonction test et  vérifie  $<T,\psi>=0$. On commence par regarder quand une primitive de fonction test peut être une fonction test :

Lemme 1 $ \forall \varphi\in {\mathcal D},~~\psi(x)=\int_{-\infty}^x\varphi(x)dx$ alors $\psi \in {\mathcal D}\Leftrightarrow \int_{\mathbb R} \varphi(x) dx=0$

Si $\phi \in {\mathcal D}$ avec ${\rm supp}(\phi)\subset[-M,M]$ alors 
$$ \forall x>M ,~~\psi(x)=\int_{-\infty}^x\varphi(x)dx=C^\text{ste}=\int_{\mathbb R} \varphi(x) dx=0$$

Ensuite on regarde à quelle condition  $<T,\varphi>=0$

Lemme 2 si $T'=0$ alors  $<T,\varphi>=0$ pour tout $\varphi\in{\cal D}$ telle que $ \int_{\mathbb R} \varphi(x) dx=0$

Pour le montrer on applique $T$  à la fonction test $\psi$ construite dans le lemme1, comme  $\psi'=\phi$ on a  
$$ <T,\varphi>=<T,\psi'>=-<T',\psi>=-<0,\psi>=0$$

Il reste à choisir la fonction $\chi$ dans la définition (2) de $\psi$ pour qu'elle soit d'intégrale nulle :

Lemme 3 Si on choisit une fonction test $ \chi\in {\mathcal D}$ telle que $\int_{\mathbb R} \chi(x) dx=1$ et qu'on pose
$\displaystyle \forall \phi\in {\mathcal D},~\psi(x)=\phi(x)-\left(\int_{\mathbb R} \phi(t) dt\right)\chi(x) $ alors $\psi\in {\cal D}$  et $\int_{\mathbb R} \psi(x) dx=0$

Pour  $\phi\in{\cal D}$  on pose ${\gamma}=\int_{\mathbb R} \phi(t) dt$  et $\psi(x)=\phi(x)-\gamma\chi(x) $ en intégrant $\psi$ on trouve bien 0 :
$$\begin{align*}
\int_{\mathbb R}\psi(x) dx&= \int_{\mathbb R} \phi(x)-{\gamma}\chi(x) dx
&\text{définition de }\psi \\
&= \int_{\mathbb R} \phi(x) dx-\left(\int_{\mathbb R} \phi(t) dt\right) \int_{\mathbb R}\chi(x) dx
&\text{linéarité de } \int\\
&=\gamma-\gamma\times1=0
\end{align*}$$

On peut maintenant démontrer le théorème en appliquant $T$  au $\psi$ construit dans le lemme3  :

$$\begin{align*}
 0& =<T,\psi>=\left\langle T,\phi(x)-\gamma\chi(x)\right\rangle
 &\text{définition de }\psi \\
 &=\left\langle T,\phi(x)\right\rangle-\gamma\underbrace{\left\langle T, \chi(x)\right\rangle}_{=C}
 &\text{linéarité de }<.,\bullet> \\
 & =<T,\phi(x)>-C\int_{\mathbb R} \phi(x) dx & \text{car } {\gamma}=\int_{\mathbb R} \phi(t) dt\\
\end{align*}$$

 Conclusion $\displaystyle <T, \phi>=\int_{\mathbb R} C\phi(x) dx=<C,\phi>$  où $C=<T,\chi>$  ne dépend pas de $\phi$ et est donc bien une constante.