Produit de convolution des fonctions

Actuellement je reprend mes cours d'Analyse de Fourier face à un public de futurs ingénieurs en optronique/électronique. Le cours porte principalement sur la maitrise de deux outils importants en traitement du signal : La Transformation de Fourier  et le produit de  convolution . J'ai beaucoup parlé de la TF sur ce blog, c'est l'occasion aujourd'hui de parler de la convolution. Cette opération (notée *)  est formellement définie par la formule :

 $$f*g(x)=\int_{\mathbb R} f(x-t) g(t) dt$$
je dis formellement car le problème principal est l'existence de la fonction $f*g(x)$, c'est à dire la convergence de l'intégrale.  Les trois principaux résultats à connaître sont les suivants :

Théorème 1 $\forall p,q\geq1$ avec ${1\over p}+{1\over q}=1$ , si $f\in {\mathbb L}^p({\mathbb R})$ et $g\in {\mathbb L}^q({\mathbb R})$ alors $ f*g\in {\mathbb L}^\infty({\mathbb R})$ et on a en plus que  $\Vert f*g\Vert_\infty\leq \Vert f\Vert_p \times \Vert g\Vert_q$.

Théorème 2 si $f\in {\mathbb L}^1({\mathbb R})$ et $g\in {\mathbb L}^p({\mathbb R})$ alors $f*g\in {\mathbb L}^p({\mathbb R})$,  $\forall p>1$, et on a en  plus que  $\Vert f*g\Vert_p\leq \Vert f\Vert_1 \times \Vert g\Vert_p$.

Théorème 3 si $f,g\in {\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$  et  causales alors $f*g\in{\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$ et causale, et on a en plus que $f*g(x)=H(x)\int_0^x f(x-t) g(t) dt$ (où $H$ est la fonction de Heaviside).

Pour démontrer ces théorèmes il faut une certaines maitrise des calculs faisant intervenir des intégrales et des  inégalité classique : Cauchy-Schwartz, Hölder, Fubini. C'est un excellent exercice sur l'intégrale de Lebesgue que de redémontrer ces théorèmes avec ces inégalités de bases .

 Pour le théorème 1

• cas $p=1 $ et $q=\infty$  est le plus simple car
  $$\begin{eqnarray}\vert f*g(x)\vert &\leq &\int_{\mathbb R}\vert f(x-t) g(t)\vert dt\\ &\leq &\int_{\mathbb R}\vert f(x-t) \vert \times \Vert g\Vert_\infty dt\\ &\leq & \Vert f\Vert_1 \times \Vert g\Vert_\infty \end{eqnarray}$$
•  le cas $p=2=q$  repose sur l'inégalité de Cauchy-Schwartz
  $$\begin{eqnarray}\vert f*g(x)\vert &\leq &\int_{\mathbb R}\vert f(x-t) g(t)\vert dt\\ &\leq &\left(\int_{\mathbb R}\vert f(x-t) \vert^2 dt\right)^{1/2} \times \left(\int_{\mathbb R}\vert g(t)\vert^2 dt\right)^{1/2} \\ &\leq & \Vert f\Vert_2 \times \Vert g\Vert_2 \end{eqnarray}$$
• le cas général s'obtient avec l'inégalité de Hölder 
  $$\begin{eqnarray}\vert f*g(x)\vert &\leq &\int_{\mathbb R}\vert f(x-t) g(t)\vert dt\\ &\leq &\left(\int_{\mathbb R}\vert f(x-t) \vert^p dt\right)^{1/p} \times \left(\int_{\mathbb R}\vert g(t)\vert^q dt\right)^{1/q} \\ &\leq & \Vert f\Vert_p \times \Vert g\Vert_q \end{eqnarray}$$

 Le théorème 2 signifie en quelque sorte que si $f\in {\mathbb L}^1( {\mathbb R})$  alors $f*g$ a les mêmes propriétés que $g$.

• le cap $p=1$  repose sur le théorème de Fubini
  $$\begin{eqnarray}\int_{\mathbb R}\vert f*g(x)\vert dx&\leq &\int_{\mathbb R}\int_{\mathbb R}\vert f(x-t) g(t)\vert dt dx\\ &\leq &\int_{\mathbb R}\left( \int_{\mathbb R}\vert f(x-t) \vert dx\right) \vert g(t)\vert dt\\ &\leq &\int_{\mathbb R}\Vert f\Vert_1 \vert g(t)\vert dt\\ &\leq& \Vert f\Vert_1 \times \Vert g\Vert_1 \end{eqnarray}$$
• le cas général $p\geq 1$ résulte encore de l'inégalité de Hölder, en prenant ${1\over p}+{1\over q}=1$ :
  $$\begin{eqnarray}
  \vert{f}* {g}(x)\vert&\leq &\int_{\mathbb R}\vert {f}(x-t) \times {g}(t)\vert dt  \\
  &\leq &\int_{\mathbb R}\underbrace{\vert {f}(x-t)\vert^{1-1/p}}_{=\vert {f}(x-t)\vert^{1/q}} \times \underbrace{\vert f(x-t)\vert ^{1\over p}\vert{g}(t)\vert}_{=h(t)} dt  \\
  &\leq &\left(\int_{\mathbb R}\vert {f}(x-t)\vert^{q/q}dt\right)^{1/q} \times \left(\int_{\mathbb R}\vert f(x-t)\vert ^{p\over p}\vert{g}(t)\vert^p dt \right)^{1/p} \\
  &\leq &\Vert {f}\Vert_1^{1/q} \times \left(\int_{\mathbb R}\vert f(x-t)\vert\times \vert{g}(t)\vert^p dt \right)^{1/p} \\ \end{eqnarray}$$
  puis
  $$\begin{eqnarray}
  \Vert{f}* {g}\Vert_p^p &=& \int_{\mathbb R}\vert {f}* {g}(x)\vert^p dx \\
  &\leq &
  \Vert {f}\Vert_1^{p/q} \times \underbrace{
  \int_{\mathbb R}\left(\int_{\mathbb R}\vert f(x-t)\vert\times \vert{g}(t)\vert^p dt \right)dx
  }_{\vert f\vert*\vert g\vert^p,~f\in{\mathbb L}^1,~g^p\in{\mathbb L}^1} \\
  &\leq & \Vert {f}\Vert_1^{p/q}\times \Vert {f}\Vert_1\times \Vert {g}^p\Vert_1
  = \Vert {f}\Vert_1^{p+q\over q}\times \Vert {g}\Vert_p^p\\
  \Vert{f}* {g}\Vert_p
  &\leq & \Vert {f}\Vert_1^{p+q\over qp}\times \Vert {g}\Vert_p= \Vert {f}\Vert_1\times \Vert {g}\Vert_p\\
  \end{eqnarray}$$ 
• le cas $p=2$ peut être démontré de manière  plus astucieuse ! En utilisant les propriétés de la transformation de Fourier (TF) dans ${\mathbb L}^1({\mathbb R})$  et dans ${\mathbb L}^2({\mathbb R})$ :
  $$ h\in {\mathbb L}^1({\mathbb R})\Rightarrow\Vert \widehat{h}\Vert_\infty\leq \Vert h\Vert_1
  ~~et~~ h\in {\mathbb L}^2({\mathbb R})\Rightarrow\Vert \widehat{h} \Vert_2=\Vert h\Vert_2$$
    et la formule liant TF et convolution  $\widehat{f*g}= \widehat{f}\times \widehat{g}$  on obtient que
  $$\Vert f*g\Vert_2= \Vert \widehat{f*g}\Vert_2= \Vert \widehat{f}\times \widehat{g}\Vert_2 $$
  ensuite comme $f\in {\mathbb L}^1({\mathbb R})$ on a que $ \widehat{f}\in {\mathbb L}^\infty({\mathbb R})$ donc
  $$\begin{eqnarray}
  \Vert \widehat{f}\times \widehat{g}\Vert_2^2&=&\int_{\mathbb R}\vert \widehat{f}(t) \times \widehat{g}(t)\vert^2 dt  \\ &\leq &\int_{\mathbb R}\Vert \widehat{f}\Vert_\infty^2  \vert\widehat{g}(t)\vert^2 dt= \Vert \widehat{f}\Vert_\infty^2 \times \Vert \widehat{g}\Vert_2^2 \\ &\leq & \Vert {f}\Vert_1^2 \times \Vert {g}\Vert_2^2 \end{eqnarray}$$

Pour le théorème 3 il faut remarquer que pour que $f(x-t)g(t)\neq 0$ il faut que
$$ x-t\geq 0 ~~et~~ t\geq 0 \Longleftrightarrow 0\leq t\leq x$$
de là on déduit que 

• si $x<0 $ aucun $t$ ne convient et donc l'intégrale se réduit à :
  $$ f*g(x)=\int_{\mathbb R} 0 dt =0 $$
  et donc $f*g$ est bien causale
• si $x\geq 0$  alors
  $$ f*g(x)=\int_0^x f(x-t) g(t)  dt =H(x)\int_0^x f(x-t) g(t)  dt $$

si on intègre sur un compact K alors, en notant $K^+=K\cap[0,+\infty[$
$$\begin{eqnarray}
\int_K\vert f*g(x)\vert dx
&=&
\int_K\left\vert H(x)\int_0^xf(x-t)g(t) dt \right\vert dx\\
&\leq &
\int_{K^+}\int_{K^+}\vert f(x-t)\vert\times \vert g(t)\vert dt dx~~\textrm{car $t\in [0,x]\subset K_+$}\\
&\leq &
\int_{K^+}\int_{K^+}\vert f(s)\vert\times \vert g(t)\vert dt ds~~\textrm{changement de variable $s=x-t$}\\
&\leq &
\underbrace{ \int_{K^+} \vert f(s)\vert ds}_\textrm{ finie car $f\in {\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$}  \times\underbrace{ \int_{K^+} \vert g(t)\vert dt}_\textrm{ finie car $g\in {\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$} \\
&<&\infty
\end{eqnarray}$$
ce qui démontre que $f*g\in {\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$