Transformé de Fourier d'une Gaussienne complexe

Dans la série des calculs "simples" de transformées de Fourier de distribution, en voici un qui découle des intégrales de Fresnel (dont j'ai parlé récemment):

Théorème  la fonction $f(x)=e^{ix^2\over 2}$ définit une distribution tempérée telle que $$ \widehat{f}(\xi)={e^{i\pi/4}\over \sqrt{2\pi}}e^{-i{\xi^2\over 2}}={e^{i\pi/4}\over \sqrt{2\pi}} \overline{f}(\xi)$$

Pour commencer il faut remarquer qu'on a bien que $f(x)\in {\mathcal S}'({\mathbb R})$. Comme $f$ est une distribution régulière (et même une fonction $C^\infty$)   on calcule ses dérivées :
$$\partial_x f(x)= ixe^{ix^2/2}, \dots \partial_x^n f(x)= \underbrace{((ix)^n+ \dots )}_\text{polynôme de degré n}e^{ix^2/2}$$
donc $f$ et ses dérivées sont à croissance lente   à l'infini puisque  au plus polynomiale:
$$\vert \partial_x^n f(x)\vert \leq C_n \vert x\vert^n$$
On peut donc calculer la transformée de Fourier de $f$ au sens de ${\mathcal S}'$. Pour ce faire on va utiliser le résultat suivant :

Proposition soit $u\in{\mathcal D}'$  alors
$$\partial_x u(x)=iax\, u(x)\Rightarrow  u(x)=C\times e^{iax^2/2}$$

La démonstration est très simple puisqu'il suffit de vérifier  que la distribution $T=e^{-iax^2/2}\times u$  vérifie $T'=0$.
Maintenant si on applique les formules de dérivation de la transformation de Fourier  à $f$  on obtient :
$$\partial_xf(x)=ix f(x)\Rightarrow i\xi\widehat{f}(\xi)=-\partial_\xi \widehat{f}(\xi)$$
d'où l'on déduit que
$$\partial_\xi \widehat{f}(\xi)=-{i\xi}\widehat{f}(\xi)
\Rightarrow \widehat{f}(\xi)= C \times e^{-i\xi^2\over 2}$$
Il reste à déterminer la valeur de $C$ pour cela on va évaluer $\widehat{f}$ contre une fonction test  bien choisie :
$$\varphi(x)=e^{-x^2\over 2}\Rightarrow\widehat{\varphi}(\xi)={1\over \sqrt{2\pi}}e^{-\xi^2\over 2}$$
En effet dans ce cas :
$$\begin{align*}
\langle\widehat{f},\varphi\rangle
&=\langle{f},\widehat{\varphi}\rangle={1\over \sqrt{2\pi}}\langle{f},\varphi\rangle={1\over \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\xi^2\over 2} e^{-\xi^2\over 2} d\xi\\
\langle\widehat{f},\varphi\rangle
&=\int_{-\infty}^{+\infty}C e^{-i\xi^2\over 2} e^{-\xi^2\over 2} d\xi
= C\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i\xi^2\over 2} e^{-\xi^2\over 2} d\xi
\end{align*}$$
Le calcul de $\langle e^{\pm ix^2\over 2} , e^{-x^2\over 2} \rangle$  a été fait dans le billet sur l'intégrale de Fresnel :
$$\langle{f},{\varphi}\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{\pm ix^2\over 2} e^{-x^2\over 2} dx
=\sqrt{2\pi\over (1\pm i)}=\sqrt{\sqrt{2}\pi}e^{\pm i\pi/8}$$
qui donne :
$${1\over \sqrt{2\pi}} \sqrt{\sqrt{2}\pi}e^{ i\pi/8}=C\sqrt{\sqrt{2}\pi}e^{- i\pi/8}
\Rightarrow  C={1\over \sqrt{2\pi}}e^{ i\pi/4}$$