Quelques formules utiles d'analyse de Fourier

Tout cours d'analyse de Fourier contient de nombreuses formules compliquées mêlant intégrales, TF, convolution, exponentielles ...  il est souvent difficile de s'y retrouver car ces formules ne représentent pas grand chose de concret pour le néophyte. Personnellement j'ai toujours eu besoin d'associer chaque formule  à une expérience, une figure,  un schéma pour me les approprier. Avec les outils numériques d'aujourd'hui ce type d'illustration est beaucoup plus facile à réaliser qu'il y a une vingtaine d'année, en particulier on peut utiliser la dimension "temporelle"  pour rendre ces formules plus vivantes. Vous trouverez ici quelques animations (réalisées avec scilab) que j'utilise pour illustrer mon cours d'analyse de Fourier .

modulation d'amplitude et densité spectrale d'un signal

La formule de Stirling

Quand on me demande ce qui m'a donné envie de faire des mathématiques il me vient toujours  deux formules à l'esprit : la série $\sum_{k\geq 1}{1\over k^2}={\pi^2\over 6}$ (question aussi appelée "problème de Bâle") et la formule de Stirling:

$$n!=1\times 2\times \dots\times n\sim_\infty \left({n\over e}\right)^n\sqrt{2\pi n}
\Leftrightarrow
\lim_{n\to\infty} {n!\over \left({n\over e}\right)^n\sqrt{2\pi n}}=1$$

le fait qu'un objet  défini uniquement à partir de nombres entiers puisse conduire à une formule contenant $\pi$ (et même combinant $e,\pi$ et $\sqrt{~}$ dans le cas de $n!$)  m'a tout de suite fasciné, et en rentrant à l'université  je voulais absolument comprendre "la" démonstration  de telles curiosités mathématiques. Vingt-cinq ans après je suis toujours impressionné de la richesse de ces deux problèmes, l'étude de leurs démonstrations conduit toujours à l'introduction de méthodes  mathématiques fondamentales que je décris souvent sur ce blog. Laissez moi vous en donner un petit aperçu dans le cas de formule de Stirling.