Théorème spectral en dimension infinie

Je termine enfin cette série de billets la théorie spectrale en dimension infinie pour les opérateurs non-bornées  par le théorème spectral.  En dimension finie ce théorème affirme que tout opérateur auto-adjoint est diagonalisable, c’est à dire qu’on peut trouver une base orthonormée \(({\bf e}_n)_{\mathbb N}\) de l’ev \(\mathcal H\) telle que
\[A{\bf u}=\sum_{n\in I}\lambda_n\langle{\bf u},{\bf e}_n\rangle \, {\bf e}_n\] où \((\lambda_n)_{I}\) est l’ensemble des valeurs propres de \(A\). Ce théorème se généralise en dimension infinie mais sous une forme bien plus complexe car le spectre n’est alors plus limité a un ensemble discret de valeurs propres.

Théorème spectral Soit \(A\) un opérateur auto-adjoint sur un espace de Hilbert \( \mathcal H\) alors il existe une mesure spectrale \(E(\lambda)\) telle que :  
\[A=\int_{\mathbb R} \lambda\,d\, E(\lambda)
\Leftrightarrow
\forall {\bf u}\in{\mathcal H},\,
\langle A{\bf u},{\bf u}\rangle=\int_{\mathbb R} \lambda\,d\langle E(\lambda){\bf u},{\bf u}\rangle\]

Pour comprendre ce théorème il faut savoir ce qu’est une mesure spectrale. Au départ il s’agit une famille de projecteurs \(( E(\lambda))_{\mathbb R}\) croissante, continue à droite, et totale  dans l’espace de Hilbert \(\mathcal H\) :
\[\forall \lambda>\mu\in{\mathbb R},\varepsilon>0, {\bf u}\in{\mathcal H},\,
\left\{
\begin{array}{ll}
E(\lambda)^2{\bf u}=E(\lambda) {\bf u}&\text{projecteurs}\\E(\lambda)E(\mu)=E(\mu)E(\lambda)= E(\lambda)
& \text{croissante}\\
\lim_{\varepsilon\to 0^+ }E(\lambda+\varepsilon)=E(\lambda)
& \text{continue à droite}\\
\lim_{\lambda\to+\infty }\langle E(\lambda){\bf u},{\bf u}\rangle
=\Vert {\bf u}\Vert^2
&\text{ totale}\\
\lim_{\lambda\to-\infty }\langle E(\lambda){\bf u},{\bf u}\rangle=0
\end{array}
\right.\]

Ceci permet bien de définir une famille de mesures positive sur les réels indexé par les vecteur de ${\mathcal H}$: \[\forall {\bf u}\in{\mathcal H},\,m(X)=\int_X d\langle E(\lambda){\bf u},{\bf u}\rangle\] le projecteur \(E(X)\) s’obtient pour tout borélien \(X\) à partir de ceux de la famille d’intervalles semi-ouverts \(E(\lambda)=E(]-\infty,\lambda])\) qui engendrent l’ensemble des intervalles semi-ouverts puis tous les Boréliens : \[\langle E(]a,b]){\bf u},{\bf u}\rangle\int_{]a,b]} d\langle E(\lambda){\bf u},{\bf u}\rangle
= \langle E(b){\bf u},{\bf u}\rangle -\langle E(a){\bf u},{\bf u}\rangle
= \langle (E(b)-E(a)){\bf u},{\bf u}\rangle\] La mesure spectrale permet aussi de définir un calcul fonctionnel pour les opérateurs auto-adjoint
\[\phi(A)=\int_{\mathbb R}\phi(\lambda)\,dE(\lambda)\]
les projecteurs spectraux correspondent aux fonctions indicatrices :
\[ {\bf 1}_{I}(A)=\int_{\mathbb R} {\bf 1}_{I}(\lambda)\,dE(\lambda)
=\int_{A} \,dE(\lambda)=E(I)\] puis par linéarité on peut étendre à toute fonction réglée \[\varphi(A)=\sum_k\alpha_k{\bf 1}_{I_k}(A)
=\sum_k\alpha_kE(I_k)\] et à toute fonction \({\mathbb L}^1({\mathbb R},dE(\lambda))\) par densité ... Cette définition coïncide avec avec la définition usuelle si \(\phi\) est polynomiale ou rationnelle, par exemple pour la résolvante \((A-z)^{-1}\) .

Décomposition du spectre d'un opérateur auto-adjoint

Comme tous les opérateurs sur \(\mathcal H\) on peut décomposer le spectre en parties ponctuelle et continue (le spectre résiduel étant vide dans le cas auto-adjoint!) mais il existe une autre décomposition du spectre spécifique aux opérateur auto-adjoints. Elle découle du Théorème de Radon-Nikodym qui permet de décomposer toute mesure en trois parties dites purement ponctuelle, absolument continue et singulière-continue :  

\[m(X)=m_{pp}(X)+m_{sc}(X)+m_{ac}(X)\]

• \(m_{ac}\) est une mesure absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, de densité \(f(\lambda)\) supportée dans \(\sigma_{ac}(A)\) \[m_{ac}(X)=\int_{\sigma_{ac}(A)\cap X}f(\lambda)\, d\lambda
  \;et\;
  {\rm supp}(m_{ac})=\sigma_{ac}(A)\]
• \(m_{pp}(X)=\sum_{\lambda\in \sigma_{pp}(A)} \lambda\delta_\lambda(X)\) est purement ponctuelle supportée dans un ensemble discret \(\sigma_{pp}(A)\) \[m_{pp}(X)=\sum_{\lambda\in \sigma_{pp}(A)} \lambda\delta_\lambda(X)\; et\;
  {\rm supp}(m_{pp})=\sigma_{pp}(A)\]
• \(m_{sc}(X)\) est une mesure singulière continue supportée dans \(\sigma_{sc}(A)\subset {\mathbb R}\) et étrangère aux deux autres (un bon exemple est la mesure de Cantor sur \([0,1]\))

avec ces définitions on peut décomposer le spectre en trois nouvelles parties (pas forcément disjointes) :
\[\sigma(A)=\overline{\sigma_{pp}(X)}\cup\sigma_{sc}(X)\cup\sigma_{ac}(X)\]
qui hélas ne coïncide pas avec la décomposition générale du spectre, on peut seulement dire que :

\[\sigma_{pp}(A)\subset \sigma_{p}(A)
\quad et \quad \sigma_{ac}(A)\subset\sigma_{c}(A)\]

On appelle aussi parfois spectre singulier \(\sigma_s(A)=\overline{\sigma_{pp}(A)}\cup\sigma_{sc}(A)\) le complémentaire du spectre absolument continu. Enfin on peut définir les sous-espaces de \(\mathcal H\) associés à cette décomposition par projection à l’aide de la famille spectrale :

 \[{\mathcal H}={\mathcal H}_{pp}\oplus {\mathcal H}_{ac}\oplus{\mathcal H}_{sc}
\quad avec\quad
\left\{
\begin{array}{rcl}
{\mathcal H}_{pp}&=& E(\sigma_{pp}(A)){\mathcal H}\\
{\mathcal H}_{ac}&=& E(\sigma_{ac}(A)){\mathcal H} \\
{\mathcal H}_{sc}&=& E(\sigma_{sc}(A)){\mathcal H}
\end{array}
\right.\]

Quelques exemples de mesures spectrales

opérateur compact

si on repend l’exemple de l’opérateur (compact) de multiplication \( A(x_n)=(a_n\times x_n)\) sur l’espace des suites \(l^2({\mathbb N})\) (avec \(a_n>0,\forall n\in{\mathbb N}\) ) alors : \[\langle A{\bf x},{\bf x}\rangle= \sum_{n\in {\mathbb N}}a_n\times \vert x_n \vert^2 =\int_{\mathbb R}\lambda \underbrace{d\langle E(\lambda){\bf x},{\bf x}\rangle}_{=\sum_{n\in{\mathbb N}}\vert x_n\vert^2\delta_{a_n}(\lambda)} \Rightarrow \langle E(I){\bf x},{\bf x}\rangle =\sum_{n\in I\cap{\mathbb N}} \vert x_n \vert^2\] son spectre est donc singulier \[\sigma(A)=\underbrace{\{a_n\vert n\in {\mathbb N}\}}_{\sigma_{pp}(A)}\cup{\{0\}}\]

opérateur de multiplication

l’exemple le plus simple est celui de \( A{\bf u}(x)=x\times {\bf u}(x)\), c’est un opérateur non-borné sur \({\mathbb L}^2({\mathbb R})\) mais qui est fermé sur le domaine dense \[{\mathcal D}(A)=\{{\bf u}\in {\mathbb L}^2({\mathbb R})\,\vert\, \int_{\mathbb R}\vert x\times {\bf u}(x)\vert^2\,dx<\infty \}\] son spectre est continu \(\sigma(A)=\sigma_c(A)={\mathbb R}\) et il est auto-adjoint. La mesure spectrale s’exprime alors facilement : \[\langle A{\bf u},{\bf u}\rangle= \int_{\mathbb R}x\underbrace{{\bf u}(x)\overline{{\bf u}(x)}\,dx}_{=d\langle E(x){\bf u},{\bf u}\rangle} \Rightarrow \langle E(I){\bf u},{\bf u}\rangle =\int_{I} \vert {\bf u}(x)\vert^2 \, dx\] ainsi \(\sigma(A)=\sigma_{ac}(A)={\mathbb R}\) puisque la mesure est absolument continue par rapport à \(dx\). On peut même préciser que le projecteur spectral \(E(I)\) est la multiplication par la fonction indicatrice de \(I\) : \[E(I) {\bf u}(x)= {\bf 1}_{I}(x)\times {\bf u}(x)\]

opérateur de dérivation

l’étude de \(A=-i\partial_x\) se ramène à celle de l’opérateur de multiplication par la variable \(x\) grâce à la transformation de Fourier : \[{\mathcal F}{\bf u}(\xi)=\widehat{\bf u}(\xi)=\int_{\mathbb R} e^{i\xi x}{\bf u}(x)\, {dx\over \sqrt{2\pi}} \Rightarrow \widehat{A{\bf u}}(\xi)=\xi\widehat{\bf u}(\xi)\] donc \(-i\partial_x={\mathcal F}A{\mathcal F}^*\) d’où l’on déduit que \(\sigma(-i\partial_x)=\sigma_{ac}(-i\partial_x)={\mathbb R}\) et : \[\langle A{\bf u},{\bf u}\rangle= \int_{\mathbb R}\xi\underbrace{\widehat{\bf u}(\xi)\overline{\widehat{\bf u}(\xi)}\,d\xi}_{=d\langle E(\xi){\bf u},{\bf u}\rangle} \Rightarrow \langle E(I){\bf u},{\bf u}\rangle =\int_{I} \vert \widehat{\bf u}(\xi)\vert^2 \, d\xi\]

opérateur de Laplace:

l’étude de \(A=-\Delta\) sur \({\mathbb L}^2({\mathbb R})\) se ramène à celle de l’opérateur de dérivation par la variable \(x\) grâce encore à la transformation de Fourier : \[\begin{aligned} \langle -\Delta {\bf u},{\bf u}\rangle &= \int_{\mathbb R}\xi^2\widehat{\bf u}(\xi)\overline{\widehat{\bf u}(\xi)}\,d\xi\\ &=\int_{-\infty}^0\xi^2\widehat{\bf u}(\xi)\overline{\widehat{\bf u}(\xi)}\,d\xi +\int_0^{+\infty}\xi^2\widehat{\bf u}(\xi)\overline{\widehat{\bf u}(\xi)}\,d\xi\\ &=\int_0^{+\infty}\lambda{\widehat{\bf u}(-\sqrt{\lambda})\overline{\widehat{\bf u}(-\sqrt{\lambda})}\,{d\lambda\over -2\sqrt{\lambda}}} +\int_0^{+\infty}\lambda{\widehat{\bf u}(\sqrt{\lambda})\overline{\widehat{\bf u}(\sqrt{\lambda})}\,{d\lambda\over 2\sqrt{\lambda}}}\\ &= \int_0^{+\infty}\lambda\underbrace{{\vert \widehat{\bf u}(\sqrt{\lambda})\vert^2-\vert\widehat{\bf u}(-\sqrt{\lambda})\vert^2\over 2\sqrt{\lambda}}\,d\lambda}_{=d\langle E(\lambda){\bf u},{\bf u}\rangle}\end{aligned}\] la mesure spectrale est donc définie par \[\langle E(I){\bf u},{\bf u}\rangle =\int_{I\cap [0,+\infty[} {\vert \widehat{\bf u}(\sqrt{\lambda})\vert^2-\vert\widehat{\bf u}(-\sqrt{\lambda})\vert^2\over 2\sqrt{\lambda}}\,d\lambda\] et son spectre est bien \(\sigma(-\Delta)=\sigma_{ac}(-\Delta)={\mathbb R}_+=[0,+\infty[\).

La classification du spectre des opérateurs auto-adjoints a une interprétation physique importante en mécanique quantique lorsque l’opérateur \(A\) représente l’Hamiltonien d’un système physique :

• le spectre purement ponctuel est associé aux états liés,
• le spectre absolument continu représente les états libres.

En général il y a absence de spectre singulier continu pour les opérateurs considérés. Pendant longtemps on a cru qu’il s’agissait d’un type de spectre sans interprétation physique jusqu’à ce qu’on découvre que les opérateurs de Mathieu presque périodique ont un spectre singulier continu associé aux propriétés d’ergodicité de l’opérateur …