Fonction Dilogarithme et problème de bâle

J’ai toujours été fasciné par la formule $\sum_{k>0}{1\over k^2}={\pi^2\over 6}$, il existe beaucoup de preuve : un grand nombre utilisent les séries de Fourier, d’autre des relations entre coefficient et racines de polynômes, …, j’y ai consacré quelques billets dont une preuve n’utilisant qu’une série télescopique et une majoration d’intégrale ici ! Inversement on peut démontrer de manière très directe cette formule en utilisant toute la puissance de l’analyse complexe, c’est l’occasion de parler de la fonction holomorphe sous-cotée : la fonction Dilogarithme.

 

La fonction dilogarithm $Li_2(z)$ est définie par la série entière
$$\label{Dilog} \mathrm{Li}_2(z)=z+\frac{z^2}{4}+\frac{z^3}{9}+\frac{z^4}{16}+\ldots=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{z^k}{k^2}\,\,(1)$$
Il est facile de montrer que son rayon de convergence est R = 1 et en plus qu’elle est continue en tout point du bord du disque de convergence (car $\sum{1\over k^2}$ converge !). Or une série entière est analytique sur le disque de convergence et en plus continue sur le bord de ce disque est en fait prolongeable Analytiquement au-delà du disque de rayon R. Cet argument très puissant est aussi utilisé dans la démonstration du théorème des nombres premiers pour prolonger $\zeta(s)-{1\over s-1}$ au-delà de ℜ(s) > 1.

 

En tout cas cela justifie qu’on puisse manipuler la fonction Dilogarithme et ses dérivées pour des valeurs  $\vert z\vert=1$ pour trouver d’autres relations. Par exemple on peut faire des combinaisons linéaires puis des regroupements de termes pairs et impairs pour établir que $\mathrm{Li}_2(-1)=-\frac{1}{2} \mathrm{Li}_2(1)$ :
$$\mathrm{Li}_2(1)+\mathrm{Li}_2(-1)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}+ \frac{(-1)^k}{k^2} =\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{(2k)^2}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}=\frac{1}{2}\mathrm{Li}_2(1)$$
 

Puis en différenciant (1) puis en multipliant par z on obtient : 

$$-z \mathrm{Li}_2^{\prime}(z)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{z^k}{k}= -\ln (1-z)$$

donc ${\mathrm{Li}_2^{\prime}}(z)=-\frac{\ln (1-z)}{z}$. Par dérivation composée on a aussi :

$$\begin{aligned} {d\over dz}\left(\operatorname{Li}_2(-1 / z)\right)=-\frac{\ln (1-(-1 / z))}{-1 / z} \times \frac{1}{z^2}&=\frac{1}{z}(\ln (1+z)-\ln z) \\ {d\over dz}\left(\mathrm{Li}_2(-z)\right)= -\frac{\ln (1-(-z))}{-z} \times-1 &=-\frac{1}{z} \ln (1+z)\\ \hline {d\over dz}\left(\operatorname{Li}_2(-1 / z)+\mathrm{Li}_2(-z)\right)=-\frac{\ln (z)}{z} &=-\frac{d}{d z} \frac{1}{2}(\ln (z))^2 \end{aligned}$$
 

On en déduit une expression constante composées de valeurs de la fonction DiLogarithme valable au delà du cercle disque unité:
 

$$ \operatorname{Li}_2(-1 / z)+\mathrm{Li}_2(-z)+ \frac{1}{2}(\ln (z))^2=C\,\,(2)$$
 

Cependant l’expression est intéressante à condition de choisir une détermination du $\ln(z)$  qui soit valable aux points $\pm 1$ . Par exemple définie sur $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$ de sorte qu’on ait bien $\ln (1) = 0$ et $\ln ( − 1) = i\pi$. C’est ce qui permet de déterminer la valeur de C, d’abord en prenant $z=1$ dans (2) : 

$$\mathrm{Li}_2(-1)+\mathrm{Li}_2(-1)+0=C \Rightarrow C=2 \mathrm{Li}_2(-1)=-\mathrm{Li}_2(1)$$ puis $z=-1$ $$\mathrm{Li}_2(1)+\mathrm{Li}_2(1)+\frac{1}{2}(\ln (-1))^2=-\mathrm{Li}_2(1) \Rightarrow \mathrm{Li}_2(1)=-\frac{1}{6}(\ln (-1))^2 ={\pi^2\over 6}$$ 

 on a donc bien obtenu $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}=\operatorname{Li}_2(1)={\pi^2\over 6}$.