samedi 31 mars 2012

Valeur principale de 1/x


La théorie des distributions permet d'étendre aux fonction localement intégrables  (${\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$) un grand nombres de techniques aux départ définies pour des fonctions $C^\infty$. Mais comme souvent en mathématique on voudrait étendre ces techniques à encore plus de cas ... en particulier à des fonctions qui ne sont pas localement intégrable! Pour démarrer demandons nous comment associer une distribution $T$ à la fonction $x\longrightarrow {1\over x}$? Il est possible de définir l'action sur des fonctions tests dont le support ne contient pas 0 :

$$<T,\phi>=\int_{\mathbb R} {1\over x}\phi(x) dx ,~~~~\forall \phi\in{\mathcal D}({\mathbb R}^*)$$



mais près de 0 l'intégrale est équivalente à $\int_{r_0>\vert x\vert}{1\over x}\phi(0)dx$ qui diverge. Cependant, du fait de la parité de $x\to{1\over x}$, on a quand même  que $\int_{r_0>\vert x\vert>\varepsilon}{1\over x}\phi(0)dx=0$ pour tout $\varepsilon>0$ ce qui permet de définir la distribution en  prenant la limite des intégrales symétrisées.

Définition  $VP{1\over x}$ est la distribution définie par : $$(1)~~~~<VP{1\over x},\phi>=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{\vert x\vert>\varepsilon} {1\over x}\phi(x) dx ,~~~~\forall \phi\in{\mathcal D}({\mathbb R})$$

Pour démontrer que cette formule est correcte il suffit de faire le changement de variable $x\to -x$ dans la partie de l'intégrale sur $]-\infty,-\varepsilon]$ on obtient :
$$\int_{\vert x\vert>\varepsilon} {1\over x}\phi(x) dx=\int_{-\infty}^{-\varepsilon} {1\over x}\phi(x) dx+\int_{\varepsilon}^{+\infty} {1\over x}\phi(x) dx= \int_{\varepsilon}^{+\infty} {1\over x}(\phi(x)-\phi(-x)) dx$$

puis en utilisant un DL de $\phi$ près de $x=0$ on montre facilement que la fonction est intégrable en $x=0$ :

$$\exists a_x\in[0,x],~~\phi(x)=\phi(0)+x\phi'(a_x)\Rightarrow {1\over x}(\phi(x)-\phi(-x))= \phi'(a_x)+\phi'(-a_x)\sim_0 2\phi'(0)\in {\mathbb L}^1_{loc}({\mathbb R})$$

on peut donc faire tendre $\varepsilon$ vers 0, et en plus en séparant ce qui se passe près de 0 de ce qui ce passe ailleurs

$$ \left\vert\int_{0}^{+\infty} {1\over x}(\phi(x)-\phi(-x)) dx\right \vert\leq  \int_{0}^{1}  \vert  \phi'(a_x)\vert +\vert \phi'(-a_x) \vert dx  +  \int_{1}^{+\infty} {1\over \vert x\vert }( \vert \phi(x) \vert + \vert \phi(-x) \vert ) dx$$

ce qui montre que $VP{1\over x}$ est bien bornée sur ${\mathcal D}$

$$\vert  <VP{1\over x},\phi>\vert \leq 2\Vert \phi'\Vert_{\infty,K} +\int_{K\setminus[-1,1]}{2\over \vert x\vert} dx \Vert \phi\Vert_{\infty,K},~~~~\forall \phi\in{\mathcal D}(K),~\forall K=[-M,M]\subset{\mathbb R}$$


Théorème $VP{1\over x}$ est une distribution d'ordre 1 et vérifie : $$(2)~~~~<VP{1\over x},\phi>=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{\vert x\vert>\varepsilon} {1\over x}\phi(x) dx= \int_{0}^{+\infty} {1\over x}(\phi(x)-\phi(-x)) dx ,~~~~\forall \phi\in{\mathcal D}({\mathbb R})$$  son support est ${\mathbb R}$ et son support singulier est ${\rm supp_{sing}}(VP{1\over x})=\{0\}$.

La distribution obtenue vérifie toutes les propriétés de la fonction $x\to{1\over x}$.

Proposition  au sens des distributions on a  $$\left(\ln(\vert x\vert)\right)'=VP{1\over x}~~{\rm et}~~x VP{1\over x} =1$$

 c'est assez simple à vérifier :
  • pour $x VP{1\over x} =1$ on utilise la formule (1), $\forall \phi\in{\mathcal D}({\mathbb R}) $ $$<xVP{1\over x},\phi(x)>=<VP{1\over x},x\phi(x)>=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{\vert x\vert>\varepsilon} {1\over x}x\phi(x) dx =\int_{\mathbb R} \phi(x) dx=<1,\phi>$$
  • pour $ \left(\ln(\vert x\vert)\right)'=VP{1\over x}$ (voir mon billet sur la dérivation des distributions )on utilise la formule (2) et une intégration par partie : $$<\left(\ln(\vert x\vert)\right)',\phi(x)>=-<\ln(\vert x\vert),\phi'(x)>=\int_{-\infty}^{+\infty}-\ln(\vert x\vert)\phi'(x) dx$$ mais en faisant le changement de variable $x\to-x$ dans la partie de l'intégrale sur $]-\infty,0[$ on obtient $$<\left(\ln(\vert x\vert)\right)',\phi(x)>=\int_{0}^{+\infty}-\ln(\vert x\vert)(\phi'(x)+\phi'(-x)) dx$$ puis en faisant une intégration par parties $$<\left(\ln(\vert x\vert)\right)',\phi(x)>=\underbrace{\left[-\ln(\vert x\vert)(\phi(x)-\phi(-x))\right]_{0}^{+\infty}}_{=0}+\int_{0}^{+\infty} {1\over x}(\phi(x)-\phi(-x)) dx=<VP{1\over x},\phi(x)>$$


Pour finir le terme "valeur principale"   est considéré comme mal adapté pour désigner une distribution car faisant référence à la
"valeur principale de Cauchy" qui désigne la valeur qu'on peut assigner à une intégrale impropre. Certains préfèrent parler de "pseudo-fonction"  (notée P.F. au lieu de V.P.)  ce qui peut être confondu avec la notion de "partie finie" d'une intégrale impropre ....


13 commentaires:

  1. Juste une petite remarque esthétique, utiliser \langle et \rangle au lieu de < et > est mieux pour écrire le crochet de dualité. Par exemple ca évite d'avoir le signe > collé au signe =.

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  2. Dans l'absolu tu as raison Valvino, cependant j'ai toujours gardé l'écriture <.,.> pour deux raisons :
    - d'abord j'ai souvent la flemme d'écrire \langle et \rangle :-)
    - ensuite il y a des cas où lorsque \langle et \rangle s'adaptent à la hauteur de la formule qu'ils encadrent, je trouve alors qu'ils deviennent moins "lisibles" que les <.,.>

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  3. S'il vous plaît c'est urgent les examens sont à la porte quel est le support de la valeur principale et commet le déterminer Merci

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    1. comme dit dans ce billet le support de $VP{1\over x}$ est $\mathbb R$ et son support singulier est $\{0\}$. Ça mériterai peut être un billet supplémentaire pour tout bien expliquer :-) Pour faire simple, si on prend une fonction test $\varphi(x)\geq 0$ dont le support ne contient pas le point $x= 0$ alors la distribution s'exprime par :
      $$\langle VP{1\over x},\varphi(x)\rangle=\int_{\mathbb R} {\varphi(x)\over x} dx=\int_{{\rm supp }\varphi} {\varphi(x)\over x} dx$$
      c'est donc la distribution associée à la fonction $x\mapsto {1\over x}$, donc une distribution régulière, et comme cette fonction ne s'annule pas sur ${\mathbb R}^*$ il s'agit bien du support régulier de la distribution car :
      $$\langle VP{1\over x},\varphi(x)\rangle=\int_{{\rm supp }\varphi}\underbrace{ {\varphi(x)\over x}}_{\geq 0} dx=0\Rightarrow \varphi(x)=0,~~\forall x$$
      Si on prend une fonction test $\varphi(x)\geq 0$ avec ${\rm supp}(\varphi)\subset[-K,K]$, mais non nulle en $x=0$, alors les choses sont beaucoup plus compliquées! En utilisant un DL :
      $$ \varphi(x)=\varphi(0)+\varphi'(0)x+x^2\theta(x),~~~\theta(x)\mathop{\longrightarrow}_{x\to 0}0$$
      et la formule (2) on peut montrer que la distribution dépend directement de $\varphi'(0)$ :
      $$\langle VP{1\over x},\varphi\rangle= \int_{0}^{+\infty} {1\over x}(\varphi(x)-\varphi(-x)) dx
      = \int_{0}^{K} 2\varphi'(0)+x\theta(x) dx=2K\varphi'(0)+\dots$$
      donc le seul moyen d'obtenir 0 quelque soit la fonction test est d'avoir $\varphi'(0)=0$. Conclusion est dans le support de $VP{1\over x}$. Ça montre aussi que $VP{1\over x}$ est certainement d'ordre 1 uniquement à cause du point $x=0$, donc que la distribution ne peut pas être régulière en ce point.

      Pour comprendre en détail il faut probablement relire les billets support d'une distribution et ordre d'une distribution

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    2. D'ACCORD ET MERCI INFINIMENT POUR VOTRE INTÉRÊT

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  4. sil vous plait comment on démontre la parité de valeur principal ?

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    1. Comme à chaque fois il faut repartir de la définition de la propriété en terme d'action sur une fonction test, et calculer explicitement l'action de la distribution (avec les "crochets" $\langle.,.\rangle$). Ici, pour une fonction test $\phi$, être une fonction paire c'est vérifier que
      $$\check{\phi}(x)=\phi(-x)=\phi(x)~~~\forall x$$
      et $\check{\phi}(x)=\phi(-x)=-\phi(x)$ pour une fonction impaire. On peut donc prendre pour définition de distribution impaire l'égalité $\check{u}=-u$ (et $\check{u}=u$ dans le cas pair), en prenant pour définition de $\check{u}$ :
      $$ \langle \check{u},\phi\rangle =\langle u,\check{\phi} \rangle$$
      de telle sorte que la définition reste cohérente pour une distribution régulière associée à la fonction u :
      $$ \langle \check{u},\phi\rangle = \int_{\mathbb R} u(-x) \phi(x)dx =\int{\mathbb R} u(t) \phi(-t)dt=\langle u,\check{\phi} \rangle,~~\forall \phi \in{\mathbb D}$$
      Grâce au changement de variable -x=t. Appliquons cette définition à une distribution ${\rm VP}{1\over x}$ :
      $$\begin{eqnarray*}
      \langle\check{{\rm VP}{1\over x}} ,\phi \rangle
      &=& \langle {\rm VP}{1\over x},\check{\phi}\rangle
      = \lim_{\varepsilon\to0}\int_{\vert x\vert>\varepsilon}{1\over x}\phi(-x) dx
      \\&=& \lim_{\varepsilon\to0}\int_{\vert -t\vert>\varepsilon}{1\over -t}\phi(t) dt
      = \lim_{\varepsilon\to0}\int_{\vert t\vert>\varepsilon}-{1\over t}\phi(t) dt
      \\&=&\langle-{{\rm VP}{1\over x}} ,\phi \rangle
      \end{eqnarray*}$$
      c'est encore le changement de variable -x=t qui permet de faire sortir le "-" de $\phi$ (le $dx\to-dt$ étant absorbé par le changement d'ordre des bornes d?intégration).

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  5. comment montrer la parité de la masse de dirac au point a

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    1. Attention :seule la masse de Dirac en a=0 est paire! Reprend la démonstration précédente :
      $$\langle \check{\delta},\phi\rangle=\langle \delta,\check{\phi}\rangle=\dots $$
      c'est beaucoup plus facile qu'avec ${\rm VP}{1\over x}$, si tu n'y arrives pas c'est que tu n'as pas compris la réponse d'avant.

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  6. SVP quel est le lien entre la valeur principale $Vp(1/x)$ les parties finies $Pf(1/x^+)$ , $Pf(1/x^-)$avec $x^+=max(x,0)$ et $x^-=max(-x,0)$

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    1. ça mériterai effectivement un article car définir proprement $T=Pf(1/x^+)$ n'est pas si simple, les définitions suivantes ne marchent pas :
      $$\langle T,\phi \rangle=\lim_{\varepsilon\to0}\int_\varepsilon^\infty {\phi(x)\over x} dx~~
      ou~~\int_0^\infty {\phi(x)-\phi(0)\over x} dx~~... $$
      Si c'est bien définit on doit trouver que $Pf(1/x)=Pf(1/x^-)+Pf(1/x^+)$ .

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Pour écrire des formules mathématiques vous pouvez utiliser la syntaxe latex en mettant vos formules entre des "dollars" $ \$....\$ $ par exemple :
- $\sum_{n=1}^\infty {1\over n^2}={\pi^2\over 6}$ s'obtient avec \sum_{n=1}^\infty {1\over n^2}={\pi^2\over 6}
- $\mathbb R$ s'obtient avec {\mathbb R} et $\mathcal D$ s'obtient avec {\mathcal D}
- pour les crochets $\langle .,. \rangle$ dans les commentaires utilisez \langle .,. \rangle
vous pouvez écrire du html dans les commentaires :
- italique <i> ... </i> gras <b> ... </b>
- lien <a href="http://adresse "> .... </a>