transformation et critère d'Abel pour les séries

J'ai écrit de nombreux billets sur les différents outils qui permettent de discuter la convergence de séries numériques, il manquait à ce panorama un outil : le critère d'Abel. Autrefois très utilisé il tend a  disparaître de l'enseignement sur les séries  pourtant il permet de justifier la convergence de séries comme $\sum{\sin(n)\over n}$ ou $\sum {(-1)^n\over n}$

Théorème (critère d'Abel) Soient $(a_n)_{\mathbb N},(b_n)_{\mathbb N}$ deux suites si $A_n=\sum_{k=0}^na_k$  est bornée et $(b_n)_{\mathbb N}$ est positive et décroissante vers 0  alors on a $ \sum_{k=0}^\infty a_kb_k$  converge

Pour démontrer ce théorème il faut commencer par établir la formule suivante qui est l'équivalent de l'intégration par parties pour les suite.

proposition (transformation d'Abel) Soient $(a_n)_{\mathbb N},(b_n)_{\mathbb N}$ deux suites on pose $A_n=\sum_{k=0}^na_k$  alors on a $$ \sum_{k=0}^na_kb_k=A_nb_n+\sum_{k=0}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1})$$

La démonstration repose sur un argument élémentaire de changement d'indice  dans la sommation :

$$ \begin{align*}
\sum_{k=0}^na_kb_k&=a_0b_0+\sum_{k=1}^n\underbrace{(A_k-A_{k-1})}_{=a_k}b_k\\
&=a_0b_0+\sum_{k=1}^{n}A_kb_k-\sum_{k=1}^{n}A_{k-1}b_{k}\\
&=a_0b_0+\sum_{k=1}^{n}A_kb_k-\underbrace{\sum_{k=0}^{n-1}A_{k}b_{k+1}}_{k\to k+1}\\
&=a_0b_0+A_nb_n+\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1})-a_0b_1\\
&=A_nb_n+\sum_{k=0}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1})\\
\end{align*}$$

On peut maintenant démontrer le théorème d'Abel, d'après la formule précédente on a  :

$$\sum_{k=0}^na_kb_k=\underbrace{A_nb_n}_{O(b_n)\to 0}+\sum_{k=0}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1})$$

on en déduit que  la convergence de la série du membre de gauche équivaut à celle du membre de droite, pour cela on vérifie qu'il s'agit bien d'une suite de Cauchy :

$$ \begin{align*}
\left\vert \sum_{k=n}^{q}A_k(b_k-b_{k+1})\right\vert
&\leq   \sum_{k=n}^{q}\underbrace{\vert A_k\vert }_{\leq C}\times\underbrace{(b_k-b_{k+1})}_{\geq 0}\\
&\leq   \sum_{k=n}^{q}C\times (b_k-b_{k+1})
= C(b_n-b_{q+1}) \leq C\times b_n\mathop{\rightarrow}_{n\to \infty}
\end{align*}$$

le reste d'ordre $n$ de la série $\left\vert \sum_{k=n}^{\infty}A_k(b_k-b_{k+1})\right\vert$ tend donc bien vers 0 et la série converge!

le premier exemple d'application de ce critère  est celui des séries alternées

Corollaire (série alternée) Soient $(b_n)_{\mathbb N}$ une suite positive et décroissante vers 0 alors $\sum (-1)^n b_n $ converge 

il suffit de vérifier que $A_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k$ est bornée mais c'est évident puisque la suite prend la valeur 0 ou 1 suivant la parité de $n$.

Le deuxième exemple intéressant est celui des séries trigonométriques :

Corollaire (série trigonométrique) Soient $(b_n)_{\mathbb N}$ une suite positive et décroissante vers 0 alors

• $\sum\sin(\theta n) b_n $ converge $ \forall \theta $
• $\sum\cos(\theta n) b_n $ converge si $ \theta \neq 0\, {\rm mod} 2\pi$

Là encore il suffit de vérifier que $\sum_{k=0}^n \sin(\theta k) $ et $\sum_{k=0}^n\cos(\theta k)$ sont bornées, cela s'obtient facilement à partir de la formule de la somme des termes d'une suite géométrique :

$$\begin{align*}
S_n&=\sum_{k=0}^n e^{i\theta k}= {e^{i\theta (n+1)}-1\over e^{i\theta}-1}
= {e^{i\theta (n+1)}-1\over e^{i\theta}-1}\\
\Rightarrow  \vert S_n\vert
&= \left\vert\sum_{k=0}^n e^{i\theta k} \right\vert
= \left\vert {e^{i\theta (n+1)}-1\over e^{i\theta}-1}\right\vert
\leq {2\over \left\vert  e^{i\theta}-1\right\vert}\\
 \left\vert \sum_{k=0}^n\sin(\theta k) \right\vert
&=\vert{\rm Im}(S_n)\vert \leq  {2\over \left\vert  e^{i\theta}-1\right\vert}\\
 \left\vert \sum_{k=0}^n\cos(\theta k) \right\vert
&=\vert{\rm Re}(S_n)\vert \leq  {2\over \left\vert  e^{i\theta}-1\right\vert}\\
\end{align*}$$

Les sommes partielles sont donc bornées sauf si $e^{i\theta}=1$  soit $\theta=0\,{\rm mod}2\pi$ sauf pour la première série puisque
$$\sum\sin(\theta n) b_n=\sum\sin(2\pi n) b_n= \sum 0=0$$

Ces techniques permettent de justifier la convergence de séries semi-convergentes mais aussi la divergence de certaines séries ! Par exemple :

Corollaire la série   $\sum {\cos(\theta n)^2\over n}$ diverge $\forall \theta$ et $\sum {\sin(\theta n)^2\over n}$  diverge sauf pour  $ \theta = 0\, {\rm mod} \pi$

en effet il suffit d'utiliser les formules de trigonométrie :

$$\cos(\theta n)^2= {1+\cos(2\theta n)\over 2},~~~~\sin(\theta n)^2= {1-\cos(2\theta n)\over 2}$$

pour transformer la série en une somme de séries dont la convergence est déjà connue :

$$\sum {\sin(\theta n)^2\over n}= \sum {1-\cos(2\theta n)\over 2n}
= \underbrace{\sum{1\over 2 n}}_{diverge}- \underbrace{\sum{\cos(2\theta n)\over 2 n}}_{converge}$$

et

$$\sum {\cos(\theta n)^2\over n}= \sum{1+\cos(2\theta n)\over 2 n}
= \underbrace{\sum{1\over 2 n}}_{diverge}+ \underbrace{\sum{\cos(2\theta n)\over 2 n}}_{converge}$$

il reste à traiter à part le cas  $ \theta = 0 {\rm mod} \pi$ puisque
$$\sum{\cos(2\theta n)\over 2 n}=\sum{1\over 2 n}~\text{diverge} $$

Le critère d'Abel permet de montrer astucieusement la convergence de certaines séries mais ne donne pas de moyen de calculer leur valeur, pour ça il faudra regarder ce billet sur les séries de Fourier  ...