Je termine enfin cette série de billets la théorie spectrale en dimension infinie pour les opérateurs non-bornées par le théorème spectral. En dimension finie ce théorème affirme que tout opérateur auto-adjoint est diagonalisable, c’est à dire qu’on peut trouver une base orthonormée ({\bf e}_n)_{\mathbb N} de l’ev \mathcal H telle que
A{\bf u}=\sum_{n\in I}\lambda_n\langle{\bf u},{\bf e}_n\rangle \, {\bf e}_n
où (\lambda_n)_{I} est l’ensemble des valeurs propres de A. Ce théorème se généralise en dimension infinie mais sous une forme bien plus complexe car le spectre n’est alors plus limité a un ensemble discret de valeurs propres.
Théorème spectral Soit A un opérateur auto-adjoint sur un espace de Hilbert \mathcal H alors il existe une mesure spectrale E(\lambda) telle que :
A=\int_{\mathbb R} \lambda\,d\, E(\lambda) \Leftrightarrow \forall {\bf u}\in{\mathcal H},\, \langle A{\bf u},{\bf u}\rangle=\int_{\mathbb R} \lambda\,d\langle E(\lambda){\bf u},{\bf u}\rangle
A=\int_{\mathbb R} \lambda\,d\, E(\lambda) \Leftrightarrow \forall {\bf u}\in{\mathcal H},\, \langle A{\bf u},{\bf u}\rangle=\int_{\mathbb R} \lambda\,d\langle E(\lambda){\bf u},{\bf u}\rangle
Pour comprendre ce théorème il faut savoir ce qu’est une mesure spectrale. Au départ il s’agit une famille de projecteurs ( E(\lambda))_{\mathbb R} croissante, continue à droite, et totale dans l’espace de Hilbert \mathcal H :
\forall \lambda>\mu\in{\mathbb R},\varepsilon>0, {\bf u}\in{\mathcal H},\, \left\{ \begin{array}{ll} E(\lambda)^2{\bf u}=E(\lambda) {\bf u}&\text{projecteurs}\\E(\lambda)E(\mu)=E(\mu)E(\lambda)= E(\lambda) & \text{croissante}\\ \lim_{\varepsilon\to 0^+ }E(\lambda+\varepsilon)=E(\lambda) & \text{continue à droite}\\ \lim_{\lambda\to+\infty }\langle E(\lambda){\bf u},{\bf u}\rangle =\Vert {\bf u}\Vert^2 &\text{ totale}\\ \lim_{\lambda\to-\infty }\langle E(\lambda){\bf u},{\bf u}\rangle=0 \end{array} \right.
Ceci permet bien de définir une famille de mesures positive sur les réels indexé par les vecteur de ${\mathcal H}$: \forall {\bf u}\in{\mathcal H},\,m(X)=\int_X d\langle E(\lambda){\bf u},{\bf u}\rangle
le projecteur E(X) s’obtient pour tout borélien X à partir de ceux de la famille d’intervalles semi-ouverts E(\lambda)=E(]-\infty,\lambda]) qui engendrent l’ensemble des intervalles semi-ouverts puis tous les Boréliens : \langle E(]a,b]){\bf u},{\bf u}\rangle\int_{]a,b]} d\langle E(\lambda){\bf u},{\bf u}\rangle
= \langle E(b){\bf u},{\bf u}\rangle -\langle E(a){\bf u},{\bf u}\rangle
= \langle (E(b)-E(a)){\bf u},{\bf u}\rangle
La mesure spectrale permet aussi de définir un calcul fonctionnel pour les opérateurs auto-adjoint
\phi(A)=\int_{\mathbb R}\phi(\lambda)\,dE(\lambda)
les projecteurs spectraux correspondent aux fonctions indicatrices :
{\bf 1}_{I}(A)=\int_{\mathbb R} {\bf 1}_{I}(\lambda)\,dE(\lambda) =\int_{A} \,dE(\lambda)=E(I)
puis par linéarité on peut étendre à toute fonction réglée \varphi(A)=\sum_k\alpha_k{\bf 1}_{I_k}(A)
=\sum_k\alpha_kE(I_k)
et à toute fonction {\mathbb L}^1({\mathbb R},dE(\lambda)) par densité ... Cette définition coïncide avec avec la définition usuelle si \phi est polynomiale ou rationnelle, par exemple pour la résolvante (A-z)^{-1} .
Décomposition du spectre d'un opérateur auto-adjoint
Comme tous les opérateurs sur \mathcal H on peut décomposer le spectre en parties ponctuelle et continue (le spectre résiduel étant vide dans le cas auto-adjoint!) mais il existe une autre décomposition du spectre spécifique aux opérateur auto-adjoints. Elle découle du Théorème de Radon-Nikodym qui permet de décomposer toute mesure en trois parties dites purement ponctuelle, absolument continue et singulière-continue :m(X)=m_{pp}(X)+m_{sc}(X)+m_{ac}(X)
- m_{ac} est une mesure absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, de densité f(\lambda) supportée dans \sigma_{ac}(A) m_{ac}(X)=\int_{\sigma_{ac}(A)\cap X}f(\lambda)\, d\lambda
\;et\;
{\rm supp}(m_{ac})=\sigma_{ac}(A)
- m_{pp}(X)=\sum_{\lambda\in \sigma_{pp}(A)} \lambda\delta_\lambda(X) est purement ponctuelle supportée dans un ensemble discret \sigma_{pp}(A) m_{pp}(X)=\sum_{\lambda\in \sigma_{pp}(A)} \lambda\delta_\lambda(X)\; et\;
{\rm supp}(m_{pp})=\sigma_{pp}(A)
- m_{sc}(X) est une mesure singulière continue supportée dans \sigma_{sc}(A)\subset {\mathbb R} et étrangère aux deux autres (un bon exemple est la mesure de Cantor sur [0,1])
\sigma(A)=\overline{\sigma_{pp}(X)}\cup\sigma_{sc}(X)\cup\sigma_{ac}(X)
qui hélas ne coïncide pas avec la décomposition générale du spectre, on peut seulement dire que :
\sigma_{pp}(A)\subset \sigma_{p}(A) \quad et \quad \sigma_{ac}(A)\subset\sigma_{c}(A)
On appelle aussi parfois spectre singulier \sigma_s(A)=\overline{\sigma_{pp}(A)}\cup\sigma_{sc}(A) le complémentaire du spectre absolument continu. Enfin on peut définir les sous-espaces de \mathcal H associés à cette décomposition par projection à l’aide de la famille spectrale :
{\mathcal H}={\mathcal H}_{pp}\oplus {\mathcal H}_{ac}\oplus{\mathcal H}_{sc} \quad avec\quad \left\{ \begin{array}{rcl} {\mathcal H}_{pp}&=& E(\sigma_{pp}(A)){\mathcal H}\\ {\mathcal H}_{ac}&=& E(\sigma_{ac}(A)){\mathcal H} \\ {\mathcal H}_{sc}&=& E(\sigma_{sc}(A)){\mathcal H} \end{array} \right.
Quelques exemples de mesures spectrales
- opérateur compact
- si on repend l’exemple de l’opérateur (compact) de multiplication A(x_n)=(a_n\times x_n) sur l’espace des suites l^2({\mathbb N}) (avec a_n>0,\forall n\in{\mathbb N} ) alors : \langle A{\bf x},{\bf x}\rangle= \sum_{n\in {\mathbb N}}a_n\times \vert x_n \vert^2 =\int_{\mathbb R}\lambda \underbrace{d\langle E(\lambda){\bf x},{\bf x}\rangle}_{=\sum_{n\in{\mathbb N}}\vert x_n\vert^2\delta_{a_n}(\lambda)} \Rightarrow \langle E(I){\bf x},{\bf x}\rangle =\sum_{n\in I\cap{\mathbb N}} \vert x_n \vert^2son spectre est donc singulier \sigma(A)=\underbrace{\{a_n\vert n\in {\mathbb N}\}}_{\sigma_{pp}(A)}\cup{\{0\}}
- opérateur de multiplication
- l’exemple le plus simple est celui de A{\bf u}(x)=x\times {\bf u}(x), c’est un opérateur non-borné sur {\mathbb L}^2({\mathbb R}) mais qui est fermé sur le domaine dense {\mathcal D}(A)=\{{\bf u}\in {\mathbb L}^2({\mathbb R})\,\vert\, \int_{\mathbb R}\vert x\times {\bf u}(x)\vert^2\,dx<\infty \}son spectre est continu \sigma(A)=\sigma_c(A)={\mathbb R} et il est auto-adjoint. La mesure spectrale s’exprime alors facilement : \langle A{\bf u},{\bf u}\rangle= \int_{\mathbb R}x\underbrace{{\bf u}(x)\overline{{\bf u}(x)}\,dx}_{=d\langle E(x){\bf u},{\bf u}\rangle} \Rightarrow \langle E(I){\bf u},{\bf u}\rangle =\int_{I} \vert {\bf u}(x)\vert^2 \, dxainsi \sigma(A)=\sigma_{ac}(A)={\mathbb R} puisque la mesure est absolument continue par rapport à dx. On peut même préciser que le projecteur spectral E(I) est la multiplication par la fonction indicatrice de I : E(I) {\bf u}(x)= {\bf 1}_{I}(x)\times {\bf u}(x)
- opérateur de dérivation
- l’étude de A=-i\partial_x se ramène à celle de l’opérateur de multiplication par la variable x grâce à la transformation de Fourier : {\mathcal F}{\bf u}(\xi)=\widehat{\bf u}(\xi)=\int_{\mathbb R} e^{i\xi x}{\bf u}(x)\, {dx\over \sqrt{2\pi}} \Rightarrow \widehat{A{\bf u}}(\xi)=\xi\widehat{\bf u}(\xi)donc -i\partial_x={\mathcal F}A{\mathcal F}^* d’où l’on déduit que \sigma(-i\partial_x)=\sigma_{ac}(-i\partial_x)={\mathbb R} et : \langle A{\bf u},{\bf u}\rangle= \int_{\mathbb R}\xi\underbrace{\widehat{\bf u}(\xi)\overline{\widehat{\bf u}(\xi)}\,d\xi}_{=d\langle E(\xi){\bf u},{\bf u}\rangle} \Rightarrow \langle E(I){\bf u},{\bf u}\rangle =\int_{I} \vert \widehat{\bf u}(\xi)\vert^2 \, d\xi
- opérateur de Laplace:
- l’étude de A=-\Delta sur {\mathbb L}^2({\mathbb R}) se ramène à celle de l’opérateur de dérivation par la variable x grâce encore à la transformation de Fourier : \begin{aligned} \langle -\Delta {\bf u},{\bf u}\rangle &= \int_{\mathbb R}\xi^2\widehat{\bf u}(\xi)\overline{\widehat{\bf u}(\xi)}\,d\xi\\ &=\int_{-\infty}^0\xi^2\widehat{\bf u}(\xi)\overline{\widehat{\bf u}(\xi)}\,d\xi +\int_0^{+\infty}\xi^2\widehat{\bf u}(\xi)\overline{\widehat{\bf u}(\xi)}\,d\xi\\ &=\int_0^{+\infty}\lambda{\widehat{\bf u}(-\sqrt{\lambda})\overline{\widehat{\bf u}(-\sqrt{\lambda})}\,{d\lambda\over -2\sqrt{\lambda}}} +\int_0^{+\infty}\lambda{\widehat{\bf u}(\sqrt{\lambda})\overline{\widehat{\bf u}(\sqrt{\lambda})}\,{d\lambda\over 2\sqrt{\lambda}}}\\ &= \int_0^{+\infty}\lambda\underbrace{{\vert \widehat{\bf u}(\sqrt{\lambda})\vert^2-\vert\widehat{\bf u}(-\sqrt{\lambda})\vert^2\over 2\sqrt{\lambda}}\,d\lambda}_{=d\langle E(\lambda){\bf u},{\bf u}\rangle}\end{aligned}la mesure spectrale est donc définie par \langle E(I){\bf u},{\bf u}\rangle =\int_{I\cap [0,+\infty[} {\vert \widehat{\bf u}(\sqrt{\lambda})\vert^2-\vert\widehat{\bf u}(-\sqrt{\lambda})\vert^2\over 2\sqrt{\lambda}}\,d\lambdaet son spectre est bien \sigma(-\Delta)=\sigma_{ac}(-\Delta)={\mathbb R}_+=[0,+\infty[.
- le spectre purement ponctuel est associé aux états liés,
- le spectre absolument continu représente les états libres.
Merci, très intéressant!!!!!!!
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